专题 关于球的外接与内切问题1(构造长方体求解、汉堡与垂面模型)-(必修第二册)(学生版)

关于球的外接与内切问题1题型一构造长方体求解情况1墙角模型遇到以上四种三棱锥(有三条两两垂直的直线)，均可构造长方体求解外接球半径R；求解外接球半径步骤①确定球心O的位置：外接球的球心是长方体的体对角线的中点；②求半径R：长方体的体对角线即外接球直径，则2R2情况2对棱相等的三棱锥若三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等(AD=BC=x,AB=CD=y,AC=BD=z)，求外接球半径.求解外接球半径步骤①确定球心O的位置：如上图构造一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；②求半径R：设长方体的长宽高分别为a,b,c，AD=BC=x,AB=CD=y,AC=BD=z，列方程组a求出R.【典题1】如图，在三棱锥A－BCD中，BD⊥平面ADC，BD=1，AB=2，BC=3，AC=11，则三棱锥A－BCD外接球的体积为.【典题2】如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AD⊥BP，PA=AC，若三棱锥P－ABC外接球表面积为8π，则三棱锥P－ACD体积的最大值为.【典题3】在三棱锥S－ABC中，SA=BC=5，SB=AC=17，SC=AB=A．20π B．25π C．26π D．34π1(★★)已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是.2(★★)设S，A，B，C是球O表面上的四点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=2BC=2，则球O的表面积等于.3(★★)在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点．将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，C，B三点重合于A'，则三棱锥A'－EFD的外接球表面积为.4(★★)在三棱锥A−BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥5(★★)三棱锥A−BCD，其中AB=CD=5，AD=BC=7，题型二汉堡模型预备知识：球体的截面都是圆，设某个不过球心的小圆圆心为O1，则球心O在过O1且垂直平面α的直线上(即模型参考图像(棱柱以三棱柱为例)模型条件：棱柱外接球问题求解外接球半径步骤①确定球心O的位置：O1是柱体底面所在的球体截面圆心，则OO1⊥平面ABC，由于柱体和外接球组合的几何体的对称性，则线段②算出小圆O1的半径AO1③求半径R：由勾股定理可得R=O【典题1】已知三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在同一球面上，且AA1⊥A．8π B．12π C．16π D．20π【典题2】已知直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，AB=AC=1，A．4π B．8π C．12π D．16π1(★★)一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为2(★★)在直三棱柱ABC−A1B1C1中，3(★★)直三棱柱ABC−A1B1C1题型三垂面模型(一条直线垂直于一个平面)情况1模型参考图像(以三棱锥为例)模型条件：三棱锥P−ABC中PA⊥平面解题步骤①确定球心O的位置:O1是△ABC的外心，则OO1⊥②由正弦定理asinA=2r算出小圆O1③求半径R：由勾股定理R=PA情况2预备知识：P的射影是∆ABC的外心⇔三棱锥P−ABC的三条侧棱相等模型参考图像模型参考图像(以三棱锥为例)模型条件：三棱锥P−ABC中P的射影是△ABC的外心O1解题步骤①确定球心O的位置:取△ABC的外心O1，因为P的射影是△ABC的外心O1，则球心在直线P②由正弦定理asinA=2r算出小圆O1的半径A③求半径R：OA2=若是如下图的三棱锥(球心在锥体的下方)，方法类似.情况3模型参考图像(以三棱锥为例，其中O是球心，O1是三角形ABC的外接圆圆心，PD⊥平面ABC模型条件：三棱锥P−ABC中P的射影不是△ABC的外心O1解题步骤①由asinA=2r算出小圆O1的半径B(一般求a有难度，需要确定点D的位置)②确定球心O的位置:球心O在过O1且垂直平面ABC的直线上，设O(一般x求不出来，因为球心O很难确定，若可以题目就比较简单了！)③求外接球半径R：在Rt∆BOO1和R求出x，从而求出外接球半径R.(多数情况当P的射影不是△ABC的外心O1，需要在两个直角三角形中求出R【典题1】正四棱锥S−ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为.【典题2】已知三棱锥P－ABC四个顶点都在球O上，PA=PB=PC=23，BC=3，∠BAC=60°．则球OA．36π B．16π C．12π D．16【典题3】在四棱锥P－ABCD中，BC∥AD，AD⊥AB，AB=23，AD=6，BC=4，PA=PB=PD=43，则三棱锥P－BCD外接球的表面积为1(★★★)在四面体S−ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120∘,SA=AC=2,AB=1,2(★★★)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为23，则该球的表面积为3(★★★)已知正三棱锥S－ABC的四个顶点都在球O的球面上