倒立摆控制系统的研究

朱德政030810230朱德政030810230倒立摆控制系统研究【关键词】状态空间、可控可观、状态反馈、降维观测器、Simulink非线性系统仿真一、研究背景基于自动控制原理课程设计《倒立摆控制系统研究》以及3号楼实验室具有硬件实验平台，我们在已知系统的非线性模型、简化线性模型的条件下对系统进行设计控制，有利于我们将控制理论真正地应用到实际中去解决问题。同时也能有利于我们对Matlab软件具有较好的应用。二、研究目的1、学会使用Simulink软件分析复杂的控制系统。2、学会状态反馈进行控制系统设计。3、了解状态观测器的实现。4、加深对现代控制理论的理解。三、实验平台装有Matalab的计算机以及打印机一台实际倒立摆系统一套四、倒立摆的数学模型1、实际的非线性模型..A+BU=00—0.0061-O.OO144cos2(0-9)129=61.2sin9-9-1.2cos(9-9)9一1.2sin(9-9)99221211212其中：A=0.0236u+0.2979sin9+[0.00144sin(9-9)cos(9-9)9-0.0168]901121211B=-B=-0.0734cos(9-9)sin9+0.0012[cos(9-9)-sin(9-9)9]9012212122202、简化的线性模型1X2AX2+BU121222状态空间表达式为5Y=CX+DU其中：「91-「00101「0192「91100010x=，y=，A二，B=9'19265.8751-16.8751-3.70620.27605.21849'2-82212282.21224.6254-1.3444-6.5125「10001「01C二，D二010003、系统研究方法由现代控制理论知识知，原系统的状态空间模型为丈二AX+BU，若系统的状态是完全能控的，则引入状态反馈调节器U=R-KX。f乂二（A-BK）X+BR这时，闭环系统的状态空间模型为＜Y二CX设计任务是要计算反馈K使A-BK的特征值和期望的极点P相同。反馈增益K和期望极点向量P应与状态变量X具有相同的维数。五、倒立摆系统的研究内容1、原系统的稳定性、可控性、可观性研究1.1在Matlab中的M文件里输入下列程序判断系统的稳定性、可控性以及可观性。A=[0010;0001;65.8751A=[0010;0001;65.8751-16.8751-3.70620.2760;-82.212282.21224.6254-1.3444];B=[0;0;5.2184;-6.5125];C=[1000;0100];D=[0;0];G=ss（A,B,C,D）;disp（'原二阶倒立摆系统的极点为：’）T=pole（G）disp（'由此得到结论为：’）1.2（执行＜0上&述程序后T结论如&T4）＜0）disp（'系统稳定'）elsedisp（'系统不稳定'）end;Ct=ctrb（A,B）;Ov=obsv（A,C）;disp（'系统可控性矩阵的秩为：’）m=rank（Ct）ifm==4disp（'所以系统完全可控'）elsedisp（'所以系统不完全可控'）enddisp（'系统可观性矩阵的秩为：’）n=rank（Ov）ifn==4disp（'所以系统完全可观'）elsedisp（'所以系统不完全可观'）end原二阶倒立摆系统的极点为：T=Simulink仿真论原二阶倒立摆系统的极点为：T=Simulink仿真论建立的模！定构2•、由S1系2.系统可用性矩程序命令m=4；系统可观性矩阵的秩为：n=4；-12.6466-6.70279.04425.2546所以系统完全可控所以系统完全可观首先运行该非线性模型的Simulink程序，同时调用该文件下的画图命令程序，画出该非线性系统的状态响应曲线。根据给出的倒立摆的非线性数学模型用Simulink图形库实现倒立摆系统的结构图（见附件1），并给出初始角度e］为0.1左右（弧度）时系统的状态响应（给出4个响应曲线，此时令控制u=0）。其中，状态量X1代表91，状态量X2代表02，状态量X3代表以1，状态量X4代表92。得到Simulink模拟仿真图（如上述2.1的图）所示，得到的响应曲线如下图所示:A=[0010;0001;65.8751-16.8751disp（'系统可观性矩阵的秩为：'）-3.70620.2760;-82.212282.21224.6254n=rank(Ov)-1.3444];B=[0;0;5.2184;-6.5125];ifn==4disp（'所以系统完全可观'）C=[1000;0100];D=[0;0];elsedisp（'所以系统不完全可观'）G=ss(A,B,C,D);enddisp（'原二阶倒立摆系统的极点为：’）ifm==4&&n==4T=pole（G）disp（'由此得到结论为：’）disp（'采用状态反馈来配置系统的极点if(T(1)〈0&&T(2)<0&&T(3)<0&&T(4)<0)方法'）disp（'系统稳定'）elsedisp('ERROR')elsedisp（'系统不稳定'）endenddisp（'配置的系统极点如下：'）Ct=ctrb(A,B);Ov=obsv(A,C);disp('exceptpole=[-8+5i;-8-5i;-7+4idisp（'系统可控性矩阵的秩为：'）;-7-4i]')m=rank(Ct)exceptpole=[-8+5i;-8-5i;-7+4i;-7-4i];ifm==4disp（'所以系统完全可控'）K=place(A,B,exceptpole)elsedisp（'所以系统不完全可'）endA1=A-B*K;sy2=ss(A1,B,C,D);3.2程序执行结果：采用状态反馈来配置系统的极点方法配置的系统极点如下：exceptpole二[-8+5i;-8-5i;-7+4i;-7-4i]K=-5.5033-91.1691—8.1701-10.37774、引入状态反馈的非线性系统的Simulink仿真终得终得在上述2的基础上，加入状态反馈矩阵K=[-5.5033-91.1691-8.1701-10.3777],其封装的内部结构与2完全相同，得到新的系统结构图（见附件2）.在上述非线性的仿真模拟图上，用Simulink实现状态反馈，仍给出初始角度81为0.1左右（弧度）时系统的状态响应（4个响应曲线，此时令控制u=0）,并确定能使系统稳定的最大初始角度8]。同样有状态量X1代表01，状态量X2代表02，状态量X3代表9*1，状态量X4代表02。得到的响应曲线如下图所示:由上述的矩阵K是度81尝到8=0.61。1max5、降维观测器的设计5.1降为观测器的设计原理思想当状态观测器估计状态向量的维数小于被控对象状态向量的维数时，称为降维观测器。对于q维输出系统，有q个输出变量可以直接有传感器测得。只需要估计（n-q）个状态变量,称为（n-q）维状态观测器。5.2降为观测器的设计5.2.1在Matlab中的M文件里输入下列程序，求出降维观测器有待设计的矩阵H、T、F、L。A=[O010;0001;65.8751-16.8751-3.7062A11=[-3.70620.2760;4.6254-1.3444];0.2760;-82.212282.21224.6254-1.3444];A12=[65.8751-16.8751;-82.212282.2122];B=[0;0;5.2184;-6.5125];A21=[10;01];A22=[00;00];C=[1000;0100];D=[0;0];B1=[5.2184;-6.5125];B2=[0;0];T=[0010;0001;1000;0100];C1=[00;00];C2=[10;01];P=inv(T);A1=T*A*Pspole=[-8+6i;-8-6i];B1=T*B;C1=C*T;H=place(A11,A21,spole);T=A11-H*A21;F=B1-H*B2;L=(A11-H*A21)*H+A12-H*A225.2.2运行结果H=4.2938H=4.29386.2760-1.37466.6556T=-8-66-8F=5.2184-6.5125L=39.7723-107.0167-45.452666.6235.3在4中的反馈系统中引入降维观测器后的模拟图在完成4的状态反馈的基础上，考虑到状态量01、0*2在实际中不便于直接测量，故采AA用降为观测器的方法来设计观测量0*1、0*2来代替01、0*2进行状态反馈。5.4引入降为观测器后状态响应曲线在上述非线性的仿真模拟图上，用Simulink实现状态反馈，仍给出初始角度8】为0.1左右（弧度）时系统的状态响应（4个响应曲线，此时令控制u=0）,并确定能使系统稳定的最大初始角度8］。同样有状态量XI代表01，状态量X2代表02，状态量X3代表°1，状态量X4代表02。得到的响应曲线如下图所示：图3加入降维观测器的状态量响应曲线6、状态反馈与降维观测器的对比实线降维观测，虚线状态反愦0.3|::实线降维观测，虚线状态反愦0.3|:::血沁^廉奖.21OOOnunu--0.1'1100.51nunu--0.1'1100.511.52时间t实线降维观测，虚线状态反愦1:::-0.1研究采用状态反馈的方法使系统的闭环极点在S平面的左半平面内，同时兼顾到了系统的调节时间与超调量等动态指标。2、将系统的极点配置在［-8+5i;-8-5i;-7+4i;-7-4i］研究采用状态反馈的方法使系统的闭环极点在S平面的左半平面内，同时兼顾到了系统的调节时间与超调量等动态指标。2、将系统的极点配置在［-8+5i;-8-5i;-7+4i;-7-4i］；得到系统的反馈矩阵为K=-5.5033-91.1691-8.1701-10.3777；该反馈矩阵加入到实际的倒立摆系统中能较好的使摆杆保持在平衡位置处左右小幅度摆动，很好的完成了控制目标。3、在加入状态反馈的基础给予摆杆一个扰动9］，观察设计的控制系统的抗扰动能力。通过不断反复的实验，逐渐加大8］利用Simulink非线性仿真后发现最大的9】值约为0.614、考虑在实际应用中某些状态量不便于测量，故采用降维观测器，通过状态观测器来重构这些不便直接测量的状态量。但是通过这两种方法的对比发现降维观测器的控制效果不如状态反馈的效果。但是降维观测器在实际应用中便于实现，因此应用比较广泛。七、研究小结对一个实际系统的研究首要建立该系统的数学模型，通常情况下该模型是非线性的模型，为了便于研究问题方便常常将非线性系统在其平衡位置处线性化处理，得到系统的线性模型。在控制系统中无论采用何种控制理论方法，均要围绕控制系统的稳、准、快三个目标设计。对于多输入、多输出的高阶系统，现代控制理论的状态空间分析法是有力解决手段。因此在本文中采用状态反馈与降维观测器的设计方法。在处理实际非线性问题时，常常采用其简化的线性模型进行设计，设计出来的控制律，需要通过加入到非线性的模拟图中试验。在处理复杂高阶系统时，作为系统而言设计要有条理，布局尽量规范这样便于检查和设计。00.511.52时间tnu5do.-Ex*播奖nu5do.-Ex*播奖j吕丨图4状态反馈与降维观测器的对比曲线||六、研究结果分析1、实际的原倒立摆系统是一个不稳定的系统，通过对系统的空间状态的可控性、八、实验研究感想本次课程设计的过程我感觉应该是最重要的，从对倒立摆系统的认识、数学模型的建立、分析原系统的性能、引入控制律提出改进方法、进行不同控制律的对比、研究结果得分析等一系列的过程。在原系统性能分析阶段时，由于已知系统的线性数学模型，因此在判断系统的稳定性、可控性、可观性时就较为容易。但是在建立原系统的非线性模型的Simulink仿真时，由实验教材书上的非线性数学模型给出有误，导致仿真结果出错。在建立原非线性系统的模型时，由于系统设计的方法不合理，使得整体布局不是很好，导致在引入状态反馈时混淆了状态量，出现输出发散的情况。做实验就是一个研究问题、发现问题、解决问题的过程，是加深对知识掌握的最好途径。这次的课程设计让我们对经典控制理论和现代控制理论两门专业课内容有的更深的理解和更熟练的使用。对MATLAB的使用也越加娴熟，也让我们清楚的认识到MATLAB是一个功能和实用性都很强大的软件，我们专业的同学应该要努力的去掌握这一软件的使用，这会给我们找工作、走上社会增加很强的竞争力。在实验中和同组成员的配合也加强了我们的团队意识，遇到困难时可以相互讨论，遇到实在无法解决的问题时还可以向老师寻求