人口结构模型

谈研究年龄结构之数学模型Leslie'sModel许世壁对外搜寻关键词•人口动力学•固有值•固有向量PrimarydecompositioiTheorem特征多项式Frobeniusbasis本文最主要的目的是介绍如何研究人口动力学(PopulationDynamics)里的一些有关年龄结构对外搜寻关键词•人口动力学•固有值•固有向量PrimarydecompositioiTheorem特征多项式Frobeniusbasis216口的变化如何？还有每一个年龄分类(Ageclass)在总人口上的比例会不会很稳定地趋向某一个固定值？如果是的话，多快？就社会学、经济学而言，这是一个很实际而且值得研究的重要问题。下面我们就要导出有关这个问题之数学模型Leslie'sModel。它同时也可以应用到其他生物，如鱼类及昆虫等。首先，假设从现有的统计数据，我们能选择出一个适当的单位时间T而后将人口分成A类。令向量代表在第N期时(时间为NT)人口里的女性年龄结构(在此我们假设男性，女性人口数目相等)，简而言之令丫0=;_一在此，分量VkN，k=l,…,A代表年龄介于(k-l)T及kT中间之女性总人数。譬如说应用到实际人口时，我们通常取T=5年，而且将人口分成16类，即A=16，V1N=在第N期时，介于0〜5岁之女性总人数。V2N=在第N期时，介于6〜10岁之女性总人数。IIIV16N=在第N期时，介于76〜80岁之女性总人数。如果年龄超过80岁时，则我们不予讨论。下一步我们要做的工作是如何找出第N+1期的年龄结构向量(AgestructureVAT4-1VNvector)，与在第N期之年龄结构向量之关系。假设下列的b及kmk，k=1,…,A为已知，

抵=在軍位畤間f內，第氐個年齡分類之女性平均每人所生出的女孩數目

阿=第応個年龄分韻能活過甲位畤間T而變成第k+1年齡分類之百分比利用b，mk及VkN之定义，我们可以导出下列关系式：kk,N⑴％时十1=叫-1%—屮：k=2,3,■■■9A(2)匹制+1=&n+…+亦其中(2)式说明了从第N期到N+1期所出生之女孩总数。所以，如果我们假设如…®及WE这些非负之实数均可由人口之统计资料得到，则我们有下列式子巧=blV13AT+・」+亦1<4的旳①R=也1旳課⑻■臥冲+1臥冲+1mA-iVC4-i3^⑷V⑷VN_)_i=MWn(LeslieVModal)mzb]mz(RerpToductiorLkIa±riK)如果，我们假设现在的年龄结构向量G为己知，则由⑷式，我们得到:(6)Vn=MnV0所以，我们将年龄结构的问题变成一个线性代数的问题:当当N很大时，向量如何变化？为了解决这个问题，必须利用线性代数中有关固有值(eigenvalue)及固有向量(eigenvector)之观念及其重要定理PrimarydecompositionTheorem(参考[1])。首先我们考虑AxA矩阵M之固有值入。从固有值之定义，入为M之特征多/(A)=dst(M-AT)=□项式(characteristicpolynomial)之根。通常特征多项式很难算，但在这里矩阵M有其特殊形式(5)，所以利用降级展开行列式detM-XI()，得到⑺/(A)=2——b诃］入心gm】■=0A>0H川>DH川因为f(0)<0而且当够大时，所以必有一正实根。事实上,因为矩阵M里之系数皆大于或等于零，根据有名的Frobenius定理(参考[2])AD>0|A|<XDTOC\o"1-5"\h\z我们得知存在一固有值—，而且其他A-1个固有值入，满足。现在，我们假设矩阵M满足下列性质：一Xq>0一_|X|<Ad(H)存在一固有值而且其他A-1个固有值A满足。、、、、一Aq在假设(H)下，我们可以用数值分析之方法PowerMethod实际地算出(参考AqAdCd[3])。有了，因为满足(7)式，我们可以检查一下下列为一对应于入之固有向量；■ms■ms■-ma-l兀i令E0为由向量所产生之一维子空间,兀i令E0为由向量所产生之一维子空间,母匸比4。由线性代数的Primary=母爭％,其中ei是以对于固则Q^I-PTOC\o"1-5"\h\zdecompositionTheorem，我们可将RA写成RA人M加、口、、、口有值之固有向量(eigenvectors)或广义固有向量(generalizedeigenvectors)为其基底(basis)所组成的A-1维子空间。为了讨论方便起见，AdAi嘉#加匚丰jir-i我们就假设矩阵M之固有值为，，…，,一当.而且令\匚为对应于•之固有向量。所以任何，可唯一表为F=Ed©d+5址1+■■■+ca-2^A-i现令P为E0上之投影算子(ProjectionoperatoronE0)，即F(i*)=cD^a所以如果将表为V7D=CDVD-PC1"U1+则MnVd=IMyIV0=PMnPVq+pmnqvd++QMNQVa从固有值，固有向量及P,Q之性质，可得PM^PVd=咖H=说孑矶pmnqv0=pmn(^+…+d_)=PfciAfl^i4Fs—i£Ll0l—i)=□QMnPVq=QMn(c^d)=Q[CqxM)=□QM^QVd=QMN(c2lt2+…+昭_1寸at)=QE冒初:l++S_M化1寸41)=ciA^-uiq——~\~Uj4-1入A—l所以，MnVa=cbA^Vo+czA^1+■■■+ca-.Xa-^a-i—AmANTOC\o"1-5"\h\z=A^(cD^Q+cj-^1£2q^A-1AdAd|\|<An因为我们假设一，i=l,…,A-l，所以当N很大时(8)MnVd^A^c0^0TOC\o"1-5"\h\z从(8)式，我们得到两个结论Aq、、年龄结构(Agedistribution)是以之速率成长每个年龄分类(Ageclass)对总人口之比例是稳定地趋向一固定值因为由(8)式在第N期之第個年齢分帮之總人數在第N期之總人口=%”=入壯％=讥左岭何巒Ef=iVdjEf=iVoj[1]Smale&Hirsch:《DifferentialEquations,DynamicalSystemandLinearalgebra》‘AcademicPress1974.S,Karlin&H.M.Taylor:《AfirstcourseinStochasticProcess》‘AcademicPress1975.K.Atkinson:《A