高三数学-命题及其关系充分条件与必要条件

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1.理解命题的概念.2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

1.本部分主要考查四种命题的概念及其相互关系，考查充分条件、必要条件、充要条件的概念及应用；2.题型主要以选择题、填空题的形式出现.常与集合、几何等知识相结合命题；3.本部分知识具有较强的工具性，单独考查的机会不多.

命题及其关系高考指数:★★★1.(2012·重庆高考)命题“若p则q”的逆命题是()(A)若q则p(B)若﹁p则﹁q(C)若﹁q则﹁p

(D)若p则﹁q【解析】选A.由命题的四种形式可知,A项是命题的逆命题,B项是命题的否命题,C项是命题的逆否命题,D项是命题的否定.2.(2010·辽宁高考)已知a＞0，函数f(x)=ax2+bx+c，若x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是

()(A)x∈R,f(x)≤f(x0)(B)x∈R,f(x)≥f(x0)(C)x∈R,f(x)≤f(x0)(D)x∈R,f(x)≥f(x0)【解析】选C.由x0满足方程2ax+b=0，可得∵a＞0,∴f(x0)=f是二次函数f(x)的最小值，可判定D选项是真命题，C选项是假命题；存在x=x0时，f(x)=f(x0)，可判定A、B选项为真命题，故选C.3.(2011·四川高考)函数f(x)的定义域为A,若x1,x2∈A，且f(x1)=f(x2)时总有x1=x2，则称f(x)为单函数.例如f(x)=2x+1(x∈R)是单函数，下列命题：①函数f(x)=x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)=2x(x∈R)是单函数；③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数.其中的真命题是_____(写出所有真命题的编号).【解题指南】单函数的定义实质是唯一的函数值对应唯一的自变量，也即函数在定义域内为单调函数.【解析】

选项具体分析结论①(方法一)由x2=4可得x1=2,x2=-2，则x1≠x2不合定义(方法二)f(x)=x2(x∈R)在(-∞,0)上为减函数，在［0,+∞)上为增函数，故在定义域内不是单函数.假命题选项具体分析结论②符合唯一的函数值对应唯一的自变量.真命题③“若x1,x2∈A且x1≠x2，f(x1)≠f(x2)”是“若x1,x2∈A且f(x1)=f(x2)时总有x1=x2”的逆否命题，互为逆否命题的两个命题等价.原命题为真，故逆否命题为真.真命题④符合单函数的定义，f(x1)=f(x2)时总有x1=x2.真命题答案：②③④

充分与必要条件的判定高考指数:★★★★★4.(2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+2y+4=0平行”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件【解析】选C.“a＝1”是“直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+2y+4=0平行”的充要条件.由解得a=15.(2012·上海高考)对于常数m，n,“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选B. 选项具体分析结论Am=1且n=1时方程表示圆，不成立×B符合题意√Cm=1且n=1时方程表示圆，不成立 ×Dm=1且n=2时方程表示椭圆，此时mn>0，必要性成立，所以既不充分也不必要条件不对×6.(2012·四川高考)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()(A)|a|=|b|且a∥b(B)a=-b(C)a∥b(D)a=2b【解析】选D.表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，仅a与b方向相同，有当a=2b时，a与b方向相同，故选D.

7.(2011·天津高考)设集合A={x∈R|x-2>0}，B={x∈R|x<0}，C={x∈R|x(x-2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【解题指南】求出集合C及集合A与B的并集再判断.【解析】选C.集合C是{x|x<0或x>2}，∵A∪B={x|x<0或x>2}，∴A∪B=C.

8.(2011·四川高考)“x=3”是“x2=9”的()(A)充分而不必要的条件(B)必要而不充分的条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件【解题指南】先由条件推结论，再由结论推条件.【解析】选A.x=3⇒x2=9;x2=9

x=3.故“x=3”是“x2=9”的充分而不必要条件.故选A.

9.(2010·广东高考)“x＞0”是“＞0”成立的()(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)非充分非必要条件

(D)充要条件【解析】选A.“x＞0”⇒“

＞0”；而“＞0”不一定得到“x＞0”，故选A.【方法技巧】判断充分条件、必要条件的技巧设A、B为任意两个命题(1)若说明A⇒B,应对任意的情况均成立(2)若说明A

B，只举一个反例即可(3)若直接说明A⇒B不易时，可说明﹁B⇒﹁A.10.(2010·陕西高考)“a＞0”是“|a|＞0”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选A.因为“a＞0”⇒“|a|＞0”，但是“|a|＞0”⇒“a＞0或a＜0”，所以“|a|＞0”推不出“a＞0”，故“a＞0”是“|a|＞0”的充分不必要条件，故选A.

11.(2010·福建高考)若向量a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5”的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件【解析】选A.∵|a|=5,∴=5,∴x=±4,∴x=4⇒|a|=5,|a|=5x=4,所以“x=4”是“|a|=5”的充分而不必要条件.

命题及其关系【典例1】(2012·湖南高考)命题“若α=则tanα=1”的逆否命题是()(A)若α≠则tanα≠1(B)若α=则tanα≠1(C)若tanα≠1,则α≠

(D)若tanα≠1,则α=【解题视角】由题目获取已知信息并分析如下：(1)已知信息：①已知原命题“若α=则tanα=1”;②求逆否命题.(2)信息分析：①原命题的条件为α=其否定为α≠②原命题的结论为tanα=1，其否定为tanα≠1；③写原命题的逆否命题时，把原命题的结论的否定作条件，条件的否定作结论即可.【规范解答】选C.原命题的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠

”，故选C.【命题人揭秘】命题规律：纵观历年来高考试题，该高频考点的考查内容主要有：(1)四种命题的有关概念；(2)命题真假的判断；(3)由已知命题一种形式写出命题其他三种形式；考查逻辑推理能力和判断能力.一般都以选择、填空题的形式考查,多为低档的题目.备考策略：1.熟练掌握四种命题的概念.2.掌握把已知命题改写成“若p,则q”的形式的方法.3.掌握四种命题的等价关系，会判断命题的真假.4.练习以低中档的题为主，不易过难.

充分、必要条件的判定【典例2】(2011·湖南高考)“x>1”是“|x|>1”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件

(D)既不充分又不必要条件【解题视角】由题目获取已知信息并分析如下：(1)已知信息：①已知x∈R；②判断x>1是|x|>1的什么条件.(2)信息分析：①|x|>1⇒x>1或x<-1

x>1；②x>1⇒|x|>1.

【解题流程】选A.【延伸探究】“|x|>1”成立的充要条件是_____.【解析】|x|>1⇔x>1或x<-1,所以|x|>1成立的充要条件是x>1或x<-1.答案：x>1或x<-1【命题人揭秘】命题规律：纵观历年来高考试题，该高频考点的考查内容主要有：(1)充分条件，必要条件，充分必要条件的定义；(2)充分条件、必要条件的判断方法；(3)充分、必要条件的综合应用；常以方程、不等式、函数等代数知识及几何知识为载体考查，从能力上主要考查推理判断能力和论证能力.备考策略：1.能深刻理解并熟练掌握充分、必要条件的定义.2.掌握充分、必要条件的判断方法.3.充分、必要条件经常应用于集合、函数、数列、几何等知识，关注在这些知识点上的应用类型和应用方法.

审题不细造成失误【典例3】(2011·陕西高考)设n∈N*，一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=_____.【解题视角】由题目获取已知信息并分析如下：(1)已知信息：①一元二次方程x2-4x+n=0，n∈N*;②二次方程有整数根.(2)信息分析：①由求根公式写出方程的根；②分析根为整数需要的条件，确定n的值.【规范解答】因为x是整数，即2±

为整数，所以为整数，且n≤4，又因为n∈N*，取n=1,2,3,4，验证可知n=3,4符合题意；反之由n=3,4，可推出一元二次方程x2-4x+n=0有整数根．答案：3或4【阅卷人点拨】误区警示1.审题不细致，不能准确把握“整数”的要求；2.忽视“充要条件”的条件限制;3.忽视n是不等于0的自然数;4.计算、化简整理能力差，计算错误，导致结果不正确.备考策略1.规范审题过程，读题要细心，边读题边把题目信息一一列出.2.做题时不要急于写出解答，要将读题所得信息逐一分析后，确定出正确的解题思路，然后再作答.3.通过正规训练，提高解题能力.

命题的概念、分类与一般形式用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.命题结构：命题均可化为“若p，则q”的形式，p为命题的条件，q为命题的结论.【考点突破区】【状元心得】两点注意(1)并不是任何陈述句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题.(2)一般说来，疑问句、祈使句、感叹句，都不是命题.

四种命题及其关系1.四种命题间的相互关系2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.(3)四种命题中真命题一定是偶数个.【状元心得】1.等价关系的应用可以利用等价关系判断命题的真假，要判断原命题真假，可判断其逆否命题的真假，要判断原命题的逆命题的真假，可以判断原命题的否命题的真假.2.两个提醒(1)明确“条件”与“结论”：“若p，则q”的形式是命题的基本形式，在命题变换时，可先化为“若p，则q”的形式，明确“条件”与“结论”.(2)审清“否命题”与“命题的否定”.

充分条件、必要条件与充要条件1.“若p,则q”为真命题，记p⇒q,则p是q的充分条件，q是p的必要条件.2.如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作:p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件.3.命题与充要条件的关系，原命题“若p则q”，逆命题“若q则p”原命题逆命题p、q的关系真(p⇒q)假(qp)p是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件假(pq)真(q⇒p)p是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件真(p⇒q)真(q⇒p)p与q互为充要条件假(p

q)假(qp)p是q的既不充分也不必要条件q是p的既不充分也不必要条件【状元心得】判定充分条件、必要条件、充要条件的三种方法(1)定义法①分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论；②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；③下结论：根据推式及定义下结论.(2)等价转化法条件和结论若有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断.(3)集合法记法p对应集合A={x|p(x)},q对应集合B={x|q(x)}关系ABBAA=BAB且BA结论p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件p是q的既不充分也不必要条件

否命题与命题的否定理解不透致误否命题与命题的否定不是同一个概念，否命题是相对于原命题“若p则q”的,既要否定条件p,也要否定结论q,而命题的否定，是对某一命题p进行否定，即求非p,是对命题的全盘否定.【示例】写出命题“若a2+b2+c2+d2=0，则实数a,b,c,d全为零”的否命题.【易错易混区】【错解1】原命题的否命题是“若a2+b2+c2+d2=0，则实数a,b,c,d不全为零”.【错解2】原命题的否命题是“若a2+b2+c2+d2≠0，则实数a,b,c,d