(河北卷)2021年中考数学第一次模拟考试(含答案)

2021年中考数学第一次模拟考试【河北卷】数学（考试时间：90分钟试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上．3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号．4．涂黑;答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效．一、选择题(本大题有16个小题，共42分。1~10小题各3分，11~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．甲，乙两位同学用尺规作“过直线l外一点C作直线l的垂线”时，第一步两位同学都以C为圆心，适当长度为半径画弧，交直线l于D，E两点（如图）；第二步甲同学作∠DCE的平分线所在的直线，乙同学作DE的中垂线．则下列说法正确的是（）A．只有甲的画法正确 B．只有乙的画法正确C．甲，乙的画法都正确 D．甲，乙的画法都不正确2．李老师给同学们出了一道单项式与多项式相乘的题目：﹣3x2(2x﹣[]+1)＝﹣6x3+6x2y﹣3x2，那么“[]”里应当是()A．﹣y B．﹣2y C．2y D．2xy3．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（）A． B．C． D．4．如图是由若干个完全相同的小正方体组合而成的几何体，若将小正方体①移动到小正方体②的正上方，下列关于移动后几何体的三视图说法正确的是（）A．左视图发生变化 B．俯视图发生变化C．主视图发生改变 D．左视图、俯视图和主视图都发生改变5．为了解某校九年级学生跳远成绩的情况，随机抽取名学生的跳远成绩(满分分).绘制成下表:成绩/分人数/人关于跳远成绩的统计量中，一定不随的变化而变化的是（）A．众数，中位数 B．中位数，方差C．平均数，方差 D．平均数，众数6．在“新冠”疫情期间，成都数字学校开设了语文、数学、英语等36个科目的网络直播课，四川省有1500万人次观看了课程．将数据“1500万”用科学记数法可表示为（）A．1.5×106 B．1.5×107 C．15×106 D．0.15×1087．已知在△ABC中，AB＝AC，用尺规在BC上确定中点P，则下列作图痕迹不符合要求的是（）A． B． C． D．8．下列变形不正确的是（）A． B．C． D．9．如图所示，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1，（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（）A．（﹣4，﹣3） B．（﹣3，﹣3） C．（﹣4，﹣4） D．（﹣3，﹣4）10．用简便方法计算时，变形正确的是（）．A． B．C． D．11．在《类比探究菱形的有关问题》这节网课中，老师给出了如下画菱形的步骤，请问这么画的依据是（）A．四条边都相等的四边形是菱形B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形12．a14不等于下列各式中的()A．(a7)7 B．a2·a3·a4·a5C．(a3)3·a5 D．(a2)3·(a4)213．如图，小明从A处出发沿北偏西30°方向行走至B处，又沿南偏西50°方向行走至C处，此时再沿与出发时一致的方向行走至D处，则∠BCD的度数为（）A．100° B．80° C．50° D．20°14．如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是（）A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点15．意大利文艺复兴时期的著名画家达•芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理.小明用两张全等的的纸片①和②拼成如图1所示的图形，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成.已知六边形的面积为28，.小明将纸片②翻转后拼成如图2所示的图形，其中，则四边形的面积为（）A．16 B．20 C．22 D．2416．如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下，甲：若，则点的个数为0；乙：若，则点的个数为1；丙：若，则点的个数为1．下列判断正确的是（）A．乙错，丙对 B．甲和乙都错C．乙对，丙错 D．甲错，丙对二、填空题(本大题有3个小题，共12分．17~18小题各3分;19小题有2个空，每空3分)17．计算的结果是___．18．如图，把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若，则_______．19．已知平面直角坐标系中，点，若直线与双曲线交于点，与轴交于点．探究：由双曲线与线段、、围成的区域内（不含边界）整点的个数．（点的横、纵坐标都是整数的点称为整点）①当时，如图，区域内的整点的个数为__________个．②当时，若区域内恰好有个整点，则的取值范围是__________．三、解答题(本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20．(本小题满分8分)对于实数，定义关于“”的一种运算：．例如．（1）求的值；（2）若，求的取值范围；（3）若，，求和的值．21．(本小题满分8分)小马虎做一道数学题，“已知两个多项式，，试求.”其中多项式的二次项系数印刷不清楚.（1）小马虎看答案以后知道，请你替小马虎求出系数“”；（2）在（1）的基础上，小马虎已经将多项式正确求出，老师又给出了一个多项式，要求小马虎求出的结果.小马虎在求解时，误把“”看成“”，结果求出的答案为.请你替小马虎求出“”的正确答案.22．(本小题满分8分)某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种新型商品成本为20元/件，第天销售量为件，销售单价为元．经跟踪调查发现，这40天中与成正比，前20天（包含第20天），与的关系满足关系式；从第21天到第40天中，是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与成反比，且得到了表中的数据：（天）102135（元/件）354535（件）40（1）请直接写出的值为______；直接写出这40天中与的关系式为______；（2）从第21天到第40天中，求与满足的关系式；（3）求这40天里该网店第几天获得的利润最大？最大为多少？23．(本小题满分9分)如图，，，轴，与直线交于点，轴于点，是折线上一点．设过点，的直线为．（1）点的坐标为________；若所在的函数随的增大而减小，则的取值范围是________；（2）当时，求的解析式；（3）若与线段有交点，设该交点为，是否存在的情况？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．24．(本小题满分10分)已知矩形，，，半径为的分别与，交于点，．小甲虫从点以每秒1个单位长度的速度绕着圆周顺时针爬行，再次回到点时停止，设爬行时间为秒．（1）______；当______时，小虫距离点最远．（2）小明说：“当时，与相切．”你同意的他的观点吗？若同意，请求出此时的值．（3）连接，，，直接写出面积的最大值和最小值．25．(本小题满分10分)如图：在数轴上点表示数，点表示数6，（1）A、B两点之间的距离等于_________；（2）在数轴上有一个动点，它表示的数是，则的最小值是_________；（3）若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点表示的数是_________；（4）若在原点的左边2个单位处放一挡板，一小球甲从点处以5个单位/秒的速度向右运动；同时另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）两球分别以原来的速度向相反的方向运动，设运动时间为秒，请用来表示甲、乙两小球之间的距离.26．(本小题满分10分)已知正方形的边长为6，在射线上运动，的中点，绕顺时针旋转90°得．（1）当为中点时，求点到直线距离是多少？（2）是否存在、、三点在一条直线上的时刻？若存在请求出此时的长，若不存在请说明理由；（3）当时，求的度数？（4）直接写出的最小值________．2021年中考数学第一次模拟考试【河北卷】数学·全解全析1．C【分析】利用等腰三角形的三线合一可判断甲乙的画法都正确．【详解】∵CD＝CE，∴∠DCE的平分线垂直DE，DE的垂直平分线过点C，∴甲，乙的画法都正确．故选C．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．2．B【解析】【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．【详解】解：根据题意得：(﹣6x3+6x2y﹣3x2)÷(﹣3x2)﹣2x﹣1＝2x﹣2y+1﹣2x﹣1＝﹣2y，故选：B．【点睛】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．C【分析】根据因式分解的定义，直接判断是否是因式分解即可．【详解】解：A.，属于整式乘法，单项式乘多项式，故此选项不符合题意；B.，等式左右两边都有整式加减的形式，故此选项不符合题意；C.，用提公因式法将多项式转化成整式乘法的形式，属于因式分解，故此选项正确；D.，等式左右两边都有整式加减的形式，故此选项不符合题意；故选：C.【点睛】本题主要考查整式的因式分解的意义，熟记因式分解的意义是解决此题的关键，还要注意，必须是整式．4．C【分析】根据三视图的判定分析作答即可；【详解】根据题意可知，移动之前的主视图为：；移动之后的主视图为：；∴主视图发生了变化；同时俯视图和左视图未发生变化．故答案选C．【点睛】本题主要考查了立体图形的三视图，准确判断是解题的关键．5．A【分析】由题目已知可得，据此可以判断一定不随的变化而变化的是众数，中位数．【详解】解：由题目已知，随机抽取的是名学生的跳远成绩，根据图表可知：，∴，∴定不随的变化而变化的是众数，中位数，故选：A．【点睛】此题主要考查了中位数、众数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．6．B【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】1500万＝15000000＝1.5×107．故选：B．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．7．D【分析】根据角平分线的画法及线段的垂直平分线的画法依次判断即可.【详解】A、由AB=AC故作∠BAC的平分线与BC的交点即为BC的中点P，依据是等腰三角形的三线合一的性质，故A正确；B、作线段BC的垂直平分线，与BC的交点即为线段BC的中点，故B正确；C、作∠BAC的平分线与BC的交点即为BC的中点P，依据是等腰三角形的三线合一的性质，故C正确；D、以B、C分别为圆心，任意长为半径画弧线，与BC的交点不一定是一个点，故此画法不符合要求，故D错误；故选：D.【点睛】此题考查作图能力：角平分线的画法及线段的垂直平分线的画法，正确掌握各基本图形的画法并运用解题是应该掌握的基本技能.8．B【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【详解】解：A.，此选项正确；B.=，此选项错误；C.此选项正确；D.此选项正确.故选B．【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．9．A【分析】作直线AA1、BB1，这两条直线的交点即为位似中心．【详解】由图中可知，点P的坐标为（﹣4，﹣3）．故选A．【点睛】用到的知识点为：两对对应点连线的交点为位似中心．10．B【分析】观察算式中数的特点：，符合平方差公式，利用平方差公式变形计算即可．【详解】，故选：B．【点睛】本题考查平方差公式，熟悉平方差公式的结构特点，会利用平方差公式简便运算是解答的关键．11．C【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形判断即可．【详解】由作图的第一步可知AD＝AB，由作图的第二步可知CD∥AB，由作图的第三步可知AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），故选：C．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定定理以及菱形的判定定理，熟练掌握“邻边相等的平行四边形是菱形”是解题的关键．12．A【分析】分别求出各式的结果即可判断.【详解】A.(a7)7=a49a14，符合题意;B.a2·a3·a4·a5=a14，C.(a3)3·a5=a9·a5=a14，D.(a2)3·(a4)2=a6·a8=a14，故选A.【点睛】此题主要考察幂的乘方公式的运用.13．B【解析】解：如图所示：由题意可得：∠1=30°，∠3=50°，则∠2=30°，故由DC∥AB，则∠4=30°+50°=80°．故选B．点睛：此题主要考查了方向角的定义，正确把握定义得出∠3的度数是解题关键．14．D【解析】【分析】由图可知，△ABC是锐角三角形，于是得到△ABC的外心只能在其内部，根据勾股定理得到BP＝CP＝≠PA，于是得到结论．【详解】解：由图可知，△ABC是锐角三角形，∴△ABC的外心只能在其内部，由此排除A选项和B选项，由勾股定理得，BP＝CP＝≠PA，∴排除C选项，故选D．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握三角形的外心的性质是解题的关键．15．B【分析】根据图形及勾股定理的验证得到BC2=BG2+CG2,故四边形的面积等于四边形的面积加上四边形的面积,再根据六边形的面积为28，即可求解．【详解】∵∴可设BG=2a，CG=a，∵六边形的面积为28，∴4a2+a2+=28解得a=2（-2）舍去，根据图形及勾股定理的验证得到BC2=BG2+CG2,∴四边形的面积=四边形的面积加上四边形的面积=4a2+a2=5×4=20故选B．【点睛】此题主要考查勾股定理的几何验证，解题的关键是熟知勾股定理的运用.16．C【分析】分别令x（4-x）的值为5，4，3，得到一元二次方程后，利用根的判别式确定方程的根有几个，即可得到点P的个数．【详解】当b=5时，令x（4-x）=5，整理得：x2-4x＋5=0，△=(-4)2-4×5=-6<0，因此点P的个数为0，甲的说法正确；

当b=4时，令x（4-x）=4，整理得：x2-4x+4=0，△=(-4)2-4×4=0，因此点P有1个，乙的说法正确；

当b=3时，令x（4-x）=3，整理得：x2-4x+3=0，△=(-4)2-4×3=4>0，因此点P有2个，丙的说法不正确；

故选：C．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程，解题的关键是将二次函数与直线交点个数，转化成一元二次方程根的判别式．17．【解析】【分析】根据二次根式的加减法法则计算即可．【详解】解：=故答案为：【点睛】本题考查的是二次根式的加减法，掌握二次根式的加减法法则是解题的关键．18．30°【分析】通过正三角形、正四边形、正五边形的内角度数，结合三角形内角和定理进行计算即可；【详解】等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°＝108°，则∠3＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2＝＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣50°﹣22°=30°．故答案是：30°．【点睛】本题主要考查了多边形内角和与外角定理的应用，准确分析图形中角的关系式解题的关键．19．或＜b≤．【分析】直线OA的解析式为：y=x，可知直线y1与OA平行，

①将b=-1时代入可得：直线解析式为y1=x-1，画图可得整点的个数；

②分两种情况：直线y1在OA的下方和上方，计算边界时点b的值，可得b的取值．【详解】解：∵A（4，1），

∴直线OA为y=x，

∵直线y1=x+b

∴直线y1与OA平行，

①当b=-1时，直线解析式为y1=x-1，

解方程得x1=2-2（舍去），x2=2+2，则B（2+2，），

而C（0，-1），

∴区域M内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个，

故答案为3；

②直线y1在OA的下方时，当直线y1=x+b过（1，-1）时，b=-，

且经过（5，0），

∴区域M内恰有4个整点，b的取值范围是-≤b＜-1．

直线l在OA的上方时，

∵点（2，2）在函数y2=（x＞0）的图象上，

当直线y1=x+b过（1，2）时，b=，

当直线y1=x+b过（1，3）时，b=，

∴区域M内恰有4个整点，b的取值范围是＜b≤．

综上所述，区域M内恰有4个整点，b的取值范围是或＜b≤．

故答案为或＜b≤．【点睛】本题考查了新定义和反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，本题理解整点的定义是关键，并利用数形结合的思想．20．（1）；（2）；（3）．【分析】(1)利用题目中的新定义进行计算即可；(2)利用题目中的新定义列出不等式再进行计算即可；(3)根据新定义，对式子进行化简后得到二元一次方程，求解该方程组即可．【详解】（1）根据题中的新定义，得原式；（2）根据题中的新定义，得，解得．（3）根据题中的新定义化简，得，解得．【点睛】本题借助新定义题型考查了二元一次方程组的解法，新定义题型就按照题目的意思来进行计算即可，本质还是要熟练掌握二元一次方程的解法．21．（1）-3；（2）“A-C”的正确答案为-7x2-2x+2.【分析】（1）根据整式加减法则可求出二次项系数；（2）表示出多项式，然后根据的结果求出多项式，计算即可求出答案.【详解】（1）由题意得，,A+2B=(4+)+2-8，4+=1，=-3，即系数为-3.(2)A+C=,且A=，C=4，AC=【点睛】本题主要考查了多项式加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键.22．（1），；（2）；（3）这40天里该网店第21天获得的利润最大，为725元．【分析】（1）利用表格中的数值代入可得a的值，根据当x=10时，p=40求解即可；（2）根据已知设q=b+，利用表格的两个点的坐标代入可得解析式；（3）分别计算前20天和后20利润的最大值，然后比较两者的大小可得结论．【详解】解：（1）由表格可知：当x=10时，q=35，

代入q=30+ax中得：35=30+10a，a=，设p-50=kx，当x=10时，p=40，代入得：k=-1，∴p=-x+50；（2）从第21天到第40天中，是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与成反比，设，将和分别代入得，解得，所以．（3）设利润为，则，前20天，即时，，∴当时，有最大值，最大值为．第21天到第40天，即时，，∵随的增大而减小，∴当时，有最大值,最大值为725元，综上所述，这40天里该网店第21天获得的利润最大，为725元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和反比例函数的性质以及最值的求法，此题难度不大．23．（1），（2）（3）不存在，理由见解析【分析】（1）将y＝4代入中可求出点C的坐标，由一次函数的性质结合l所在的函数随x的增大而减小，可得出点P在线段CD上且纵坐标小于2，进而可得出PD的取值范围；（2）由中位线的性质可得出点P的坐标，根据点B、P的坐标，利用待定系数法可求出直线l的解析式；（3）利用相似三角形的性质求出OE的范围，进而即可得出OE≠OB．【详解】（1）当y＝4时，有＝4，解得：x＝6，∴点C的坐标为（6，4）；∵l所在的函数随x的增大而减小，∴点P在线段CD上，且纵坐标小于2，∴0≤PD＜2．故答案为：，;（2）∵，点为线段的中点，∴点为线段的中点，即．设直线的解析式为，将，代入，得解得∴的解析式为．（3）不存在，理由如下：连接，交于点，如图，当点在上时，与线段有交点，且，∴，∴，∴，即．而，，，∴．【点睛】相似三角形的性质与判定，一次函数的综合题，一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质．24．（1）60，；（2）同意，的值为或；（3）最大值是和最小值是【分析】（1）利用可求得的度数，延长DB交于点M，此时小虫距离点最远，根据弧长公式求得优弧的长，即可求得小甲虫的爬行时间；（2）利用勾股定理的逆定理证明，即可证明与相切；利用正切函数可求得，再求得，即可求得小甲虫的爬行时间；由对称性可知，当小甲虫运动到处时，同理可求解；【详解】（1）如图，连接并延长，交于点，．在矩形中，，∵，，∴，∴；当点运动到点时，小虫离点最远，此时点经过优弧，优弧的长为，∴；故答案为：60，；（2）同意．理由如下：∵，，，，∴，∴，∴与相切；如图，在中，，∴，∴，∴．由对称性可知，当小甲虫运动到处时，与也相切，∴∴，综上所述，当与相切时，的值为或；（3）面积的最大值是，最小值是．理由如下：如图，过点作，交于点，延长交于点，此时，的面积最大，的面积最小．在中，，，根据勾股定理，可得，由面积法可知，∴，即，∴，∴，，∴．综上所述，面积的最大值是和最小值是．【点睛】本题考查了切线的判定，弧长公式，勾股定理及其逆定理，解直角三角形等知识点的运用，关键是根据圆的相关的性质，分类讨论．25．（1）16（2）16（3）2或14（4）甲、乙两小球之间的距离为：或，或.【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可；（2）先根据P点在数轴上的位置分类讨论，然后求最小值即可；（3）由题意可知：点C距离B点较近，设点C所表示的数为y，然后根据点C与点B的位置分类讨论即可；（4）根据题意：点A到表示﹣2的点的距离为：﹣2－（﹣10）=8，点B到表示﹣2的点的距离为：6－（﹣2）=8，甲球从A到﹣2所需时间为：8÷5=s，乙球从B到﹣2所需时间为：8÷2=4s，然后用t分别表示出甲球从点A到表示﹣2的点之前和之后，甲球所表示的数，乙球从点B到表示﹣2的点之前和之后，乙球所表示的数，根据数轴上两点之间的距离公式，即可求出甲乙两球的距离.【详解】解：（1）故答案为：16；（2）根据数轴上两点的距离公式可知：表示点P与点A之间的距离，表示点P与点B之间的距离①若点P在A点左侧时，即x＜﹣10，由下图可知：PB＞AB=16，即∴此时；②若点P在线段AB上时，即﹣10≤x≤6，由下图可知：PA＋PB=AB=16，∴此时；③若点P在B点右侧时，即x＞6，由下图可知：PA＞AB=16，即∴此时；综上所述：（当点P在线段AB上时，即﹣10≤x≤6，取等号）∴的最小值是16；故答案为：16.（3）∵∴点C距离B点较近设点C所表示的数为y①当C在B点左侧时，如下图所示，∴AC=y－（﹣10）=y＋10，BC=6－y∵∴y＋10=3（6－y）解得：y=2；②当C在B点右侧时，如下图所示，∴AC=y－（﹣10）=y＋10，BC=y－6∵∴y＋10=3（y－6）解得：y=14.综上所述：点表示的数是2或14.（4）点A到表示﹣2的点的距离为：﹣2－（﹣10）=8，点B到表示﹣2的点的距离为：6－（﹣2）=8，甲球从A到﹣2所需时间为：8÷5=s，乙球从B到﹣2所需时间为：8÷2=4s，∴运动秒钟后，甲球表示的数是：或；乙球表示的数是：或，∴或，或.∴甲、乙两小球之间的距离为：或，或.【点睛】此题考查的是数轴上两点之间的距离公式的应用，掌握数轴上两点之间的距离公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键.26．（