初三数学圆的对称性

28.1.2-2圆的对称性淅川县第二初级中学李朝林你能破镜重圆吗？O圆除了是旋转对称图形外，还是轴对称图形提问：圆是什么对称图形？回顾思考

OACBNMD圆是轴对称图形，

经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。OACBNMD或：任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴。MOACBN

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。垂径定理：

活动与探索

MOACBN①直线MN过圆心O②MN⊥AB③AC=BC④AM=BM⑤AN=BN垂径定理：⌒⌒⌒⌒...AAABBBCCCDDDOOOEEE下列图形中,AE=BE吗?为什么?辨一辨

如果交换垂径定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的结论呢？①直线MN过圆心O②MN⊥AB垂径定理：③AC=BC④AM=BM⑤AN=BN⌒⌒⌒⌒MOACBN①直线MN过圆心③AC=BC探索一：④AM=BM

⑤AN=BN②MN⊥AB⌒⌒⌒⌒？ (1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。推论OABMN一个圆的任意两条直径总是互相平分，但是它们不一定互相垂直。因此这里的弦如果是直径，结论就不一定成立。推论

(1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。CDMOACBN②MN⊥AB③AC=BC探索二：①直线MN过圆心O④AM=BM⑤AN=BN⌒⌒⌒⌒？推论(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;MOACBN探索三：②MN⊥AB

③

AC=BC

④AM=BM⌒⌒①直线MN过圆心O⑤AN=BN⌒⌒？推论：

(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。推论

(1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;

(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。

垂径定理及其推论的实质是把(1)直线MN过圆心;(2)直线MN垂直AB;(3)直线MN平分AB;(4)直线MN平分弧AMB;(5)直线MN平分弧ANB

中的两个条件进行了四种组合,分别推出了其余的三个结论.这样的组合还有六种，由于时间有限,课堂上未作进一步的推导,同学们课下不妨试一试.回味引伸

MOACBN已知：如图，MN、AB是⊙O的弦，相交于点C。1、如果MN是直径，MN⊥AB,那么、、。2、如果MN是直径,AB非直径，且AC=BC，那么、、。3、如果MN垂直平分BC，那么、、。4、如果MN是直径，那么、、。AN=BN⌒⌒

结论巩固例1如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。B·AOC解:连结OA，过O作OC⊥AB，垂足为C，则AC=1/2AB=4。在Rt△AOC中，OA=√AC2+OC2=5（cm)答：⊙O的半径为5cm.例题讲解

变式三：若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系式？B·AOC变式训练

变式一：在⊙O中，直径为10cm，弦AB

的长为8cm，求圆心O到AB的距离。变式二：在⊙O中，直径为10cm，圆心O

到AB的距离为3cm，求弦AB的长。CDABE例2：平分已知弧AB作法：⒈连结AB.⒉作AB的垂直平分线CD，交弧AB于点E.点E就是所求弧AB的中点。⌒已知：AB求作：AB的中点⌒CDABEFG变式一：求弧AB的四等分点。

mnCDABMTEFGHNP错在哪里？等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线。●作AB的垂直平分线CD。●作AT．BT的垂直平分线EF．GHCABE变式二：你能确定弧AB的圆心吗？mnDCABEmnO你能破镜重圆吗？ABACmn·O

作弦AB．AC及它们的垂直平分线m．n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆。破镜重圆ABCmn·O

弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。

作图依据：1、已知：AB、CD是⊙O的两条平行弦，

MN是AB的垂直平分线。求证：MN垂直平分CD。

NMOACDB

圆内平行弦的垂直平分线是互相重合的。试一试你的能力MOBNCD证明：

∵MN是AB的垂直平分线∴MN过圆心是直径∴MN⊥CD∴

MN平分CDA∵AB∥CD，MN⊥AB∴MN垂直平分CD2、判断下列语句是否正确⑴垂直于弦的直径平分这条弦

（

）⑵垂直于弦的直线必平分弦对的两条弧（）⑶平分弦的直径垂直于这条弦（）⑷弦的垂直平分线是圆的直径（）⑸平分弧的直径必平分弧对的弦（）√√×××课堂小结：

本节课探索发现了垂径定理的推论,并且运用推论等分弧。●要分清垂径定理的推论的题设和结论,即已知什么条件,可推出什么结论.这是正确理解应用的