【高中数学】充要条件+课件+高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4.2充要条件复习引入思考：下列“若P，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（3）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则（4）若是空集，则A与B均是空集.探究一：充要条件提示：（1）原命题：若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；真逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等.真（2）原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；真逆命题：若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等.假（3）原命题：若一元二次方程有两个不相等的实数根，则假逆命题：若，则一元二次方程有两个不相等的实数根.

真

（4）原命题：若是空集，则A与B均是空集；真命题(1)、（4）和它们的逆命题都是真命题.

逆命题：若A与B均是空集，则是空集.真说明：（1）符号“”称为等价符号，与“当且仅当”含义相同.（2）p与q互为充要条件，也可以说成“p与q等价”.归纳总结上面思考中，命题（1）（4）中，p

与

q互为充要条件.例3：下列各题中，哪些p是q的充要条件？（1）p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分；（2）p:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例；（3）p:xy>0,q:x>0,y>0;（4）

p:x=1是一元二次方程解：（1）因为正方形的对角线一定互相垂直且平分，所以；又因为对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，所以，因此p不是q的充要条件.例题说明：这里，且，因此可以说p是q的充分不必要条件.课本21页例3：下列各题中，哪些p是q的充要条件？（2）p:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例；（3）p:xy>0,q:x>0,y>0;（4）

p:x=1是一元二次方程解：（2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即.因此p是q的充要条件.（3）因为xy>0时，x>0,y>0不一定成立，所以，又因为x>0,y>0时，xy>0一定成立，所以

.因此p不是q的充要条件.说明：这里，且，因此可以说p是q的必要不充分条件.课本21页例3：下列各题中，哪些p是q的充要条件？（4）

p:x=1是一元二次方程解：因为

p:x=1是一元二次方程所以即所以

由可得所以x=1是一元二次方程所以于是有因此p是q的充要条件.

课本21页思考：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？提示：“四边形的两组对角分别相等”，“四边形的两组对边分别相等”，“四边形的一组对边平行且相等”，“四边形的对角线互相平分”，“四边形的两组对边分别平行”都是“四边形是平行四边形”的充要条件.（1）确定条件p是什么，结论q是什么；（3）确定条件p是结论q的什么条件.1.直接用定义判断充分条件、必要条件可按以下三个步骤进行：（2）尝试从条件p推导结论q，从结论q推导条件p；归纳总结1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？（1）p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等；（2）p：⊙O内两条弦相等，

q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等；（3）p：为空集，q：A与B之一为空集.

解：（1）因为，所以p是q的充要条件.练习（2）因为⊙O内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，所以，因此p不是q的充要条件.（3）因为“”

为空集，推不出“A与B之一为空集”，如，所以.因此p不是q的充要条件.课本22页2.分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.解：“两个三角形全等”的充要条件：（1）两个三角形三边对应相等；（2）两个三角形的两边及夹角对应相等.“两个三角形相似”的充要条件：（1）两个三角形三边对应成比例；（2）两个三角形三角对应相等.课本22页例题分析：设p:d=r,q:

直线l与⊙O相切.要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性（）和必要性（）即可.课本22页由（1）（2）可得，d=r是直线l与相切的充要条件.证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC＝BD.

练习课本22页随堂检测5.求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充要条件是a+b+c=0.证明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，则a+b+c=0”．∵x=1是方程的根，将x=1代入方程，得a12+b1+c=0，即