高等数学函数与极限

微积分（高等数学）——中国药科大学龙益如01初等数学预备知识03导数与微分05不定积分07多元函数微分学02极限与连续04导数的应用06定积分08微分方程C目录ONTENTS2023/9/2函数与极限3数学既是对于自然界事实的总结和归纳，如英国的哲学家培根所说“一切多依赖于我们把眼睛紧盯在自然界的事实之上”；又是抽象思考的结果，如法国哲学家笛卡尔所说“我思故我在”。这两个方法造就了目前绚丽多彩，美丽非凡的数学，非常值得欣赏。从事科学研究，最重要的是掌握思维方法。在这里，我举两个例子：牛顿是伟大的物理学家和数学家，他在《自然哲学的数学原理》中叙述了四条法则。其中“法则1：除那些真实而已足够说明其现象者外，不必去寻找自然界事物的其他原因”。这条法则后来被人们称作“简单性原则”，正如爱因斯坦所说：“从希腊哲学到现代物理学的整个科学史中，不断有人力图把表面上极为复杂的自然现象归结为几个简单的基本概念和关系。这就是整个自然哲学的基本原理。”数学之美2023/9/2函数与极限4函数1234小结与练习反函数函数的特性函数基本概念一、基本概念2023/9/2函数与极限51.集合:具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集2023/9/2函数与极限6数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:例如不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.2023/9/2函数与极限72.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,2023/9/2函数与极限8称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.2023/9/2函数与极限93.邻域:2023/9/2函数与极限104.常量与变量:

在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.2023/9/2函数与极限115.绝对值:运算性质:绝对值不等式:2023/9/2函数与极限12因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域二、函数概念2023/9/2函数与极限13自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.2023/9/2函数与极限14定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．2023/9/2函数与极限15(1)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo2023/9/2函数与极限16(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线2023/9/2函数与极限17有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数2023/9/2函数与极限18(4)取最值函数yxoyxo2023/9/2函数与极限19在自变量的不同变化范围中,

对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.2023/9/2函数与极限20例1脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间的函数关系式.解单三角脉冲信号的电压2023/9/2函数与极限212023/9/2函数与极限22例2解故三、函数的特性2023/9/2函数与极限23M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数的有界性:2023/9/2函数与极限242．函数的单调性:xyo2023/9/2函数与极限25xyo2023/9/2函数与极限263．函数的奇偶性:偶函数yxox-x2023/9/2函数与极限27奇函数yxox-x2023/9/2函数与极限284．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.2023/9/2函数与极限29

直接函数与反函数的图形关于直线对称.四、反函数五、小结2023/9/2函数与极限30基本概念集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值.函数的概念函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性.反函数2023/9/2函数与极限31思考题2023/9/2函数与极限32思考题解答设则故2023/9/2函数与极限33练习题2023/9/2函数与极限342023/9/2函数与极限35练习题答案2023/9/2函数与极限36初等函数1234小结与练习双曲函数和反双曲函数复合函数基本初等函数一、基本初等函数2023/9/2函数与极限371.幂函数2023/9/2函数与极限382.指数函数2023/9/2函数与极限393.对数函数2023/9/2函数与极限404.三角函数正弦函数2023/9/2函数与极限41余弦函数2023/9/2函数与极限42正切函数2023/9/2函数与极限43余切函数2023/9/2函数与极限44正割函数2023/9/2函数与极限45余割函数2023/9/2函数与极限465.反三角函数2023/9/2函数与极限472023/9/2函数与极限482023/9/2函数与极限49

幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.二、复合函数初等函数2023/9/2函数与极限501.复合函数定义:2023/9/2函数与极限51注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.2.初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.2023/9/2函数与极限52例1解2023/9/2函数与极限53综上所述三、双曲函数与反双曲函数2023/9/2函数与极限54奇函数.偶函数.1.双曲函数2023/9/2函数与极限55奇函数,有界函数,2023/9/2函数与极限56双曲函数常用公式2023/9/2函数与极限572.反双曲函数奇函数,2023/9/2函数与极限582023/9/2函数与极限59奇函数,四、小结2023/9/2函数与极限60函数的分类:函数初等函数非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数)代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数(多项式函数)有理分函数(分式函数)2023/9/2函数与极限61思考题2023/9/2函数与极限62思考题解答不能．2023/9/2函数与极限63一、填空题:练习题2023/9/2函数与极限642023/9/2函数与极限65练习题答案2023/9/2函数与极限662023/9/2函数与极限67数列的极限1234小结与练习数列极限的性质数列的极限数列的定义一、概念的引入2023/9/2函数与极限68“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放——刘徽2023/9/2函数与极限69正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积2023/9/2函数与极限702、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”二、数列的定义2023/9/2函数与极限71例如2023/9/2函数与极限72注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数2023/9/2函数与极限73播放三、数列的极限2023/9/2函数与极限74问题:当

无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:2023/9/2函数与极限752023/9/2函数与极限76如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：2023/9/2函数与极限77几何解释:其中2023/9/2函数与极限78数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：2023/9/2函数与极限79例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.2023/9/2函数与极限80例3证2023/9/2函数与极限81例4证四、数列极限的性质2023/9/2函数与极限821.有界性例如,有界无界2023/9/2函数与极限83定理1收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.2023/9/2函数与极限842.唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.2023/9/2函数与极限85例5证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.3.(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a2023/9/2函数与极限86五.小结2023/9/2函数与极限87数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;收敛数列的性质:有界性唯一性.2023/9/2函数与极限88思考题证明要使只要使从而由得取当时，必有成立2023/9/2函数与极限89思考题解答~（等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没有采用“适当放大”的值2023/9/2函数与极限90从而时，仅有成立，但不是的充分条件．反而缩小为2023/9/2函数与极限91练习题2023/9/2函数与极限92“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入三、数列的极限2023/9/2函数与极限932023/9/2函数与极限94三、数列的极限2023/9/2函数与极限95三、数列的极限2023/9/2函数与极限96三、数列的极限2023/9/2函数与极限97三、数列的极限2023/9/2函数与极限98三、数列的极限2023/9/2函数与极限99三、数列的极限2023/9/2函数与极限100三、数列的极限2023/9/2函数与极限101三、数列的极限2023/9/2函数与极限102三、数列的极限2023/9/2函数与极限103三、数列的极限2023/9/2函数与极限104三、数列的极限2023/9/2函数与极限105三、数列的极限2023/9/2函数与极限106函数的极限1234小结与练习函数极限的性质自变量趋向有限值时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限2023/9/2函数与极限107播放2023/9/2函数与极限108通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.2023/9/2函数与极限1092023/9/2函数与极限1102.另两种情形:2023/9/2函数与极限1113.几何解释:2023/9/2函数与极限112例1证二、自变量趋向有限值时函数的极限2023/9/2函数与极限1132023/9/2函数与极限1142023/9/2函数与极限1152.几何解释:注意：2023/9/2函数与极限116例2证例3证2023/9/2函数与极限117例4证函数在点x=1处没有定义.2023/9/2函数与极限118例5证2023/9/2函数与极限1193.单侧极限:例如,2023/9/2函数与极限120左极限右极限2023/9/2函数与极限121左右极限存在但不相等,例6证三、函数极限的性质2023/9/2函数与极限1221.有界性2.唯一性2023/9/2函数与极限123推论3.不等式性质定理(保序性)2023/9/2函数与极限124定理(保号性)推论2023/9/2函数与极限1254.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理2023/9/2函数与极限126证2023/9/2函数与极限127例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.2023/9/2函数与极限128例7证2023/9/2函数与极限129二者不相等,四、小结2023/9/2函数与极限130函数极限的统一定义(见下表)2023/9/2函数与极限131过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后2023/9/2函数与极限132思考题2023/9/2函数与极限133思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.2023/9/2函数与极限134一、填空题:练习题2023/9/2函数与极限1352023/9/2函数与极限136练习题答案2023/9/2函数与极限137一、自变量趋向无穷大时函数的极限2023/9/2函数与极限138一、自变量趋向无穷大时函数的极限2023/9/2函数与极限139一、自变量趋向无穷大时函数的极限2023/9/2函数与极限140一、自变量趋向无穷大时函数的极限2023/9/2函数与极限141一、自变量趋向无穷大时函数的极限2023/9/2函数与极限142一、自变量趋向无穷大时函数的极限2023/9/2函数与极限143一、自变量趋向无穷大时函数的极限2023/9/2函数与极限144一、自变量趋向无穷大时函数的极限2023/9/2函数与极限145一、自变量趋向无穷大时函数的极限2023/9/2函数与极限146无穷大与无穷小1234小结与练习反函数无穷大无穷小一、无穷小2023/9/2函数与极限1471.定义:极限为零的变量称为无穷小.2023/9/2函数与极限148例如,注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数.2023/9/2函数与极限1492.无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性2023/9/2函数与极限150意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);3.无穷小的运算性质:定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证2023/9/2函数与极限151注意

无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.2023/9/2函数与极限152定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证2023/9/2函数与极限153推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小二、无穷大2023/9/2函数与极限154绝对值无限增大的变量称为无穷大.2023/9/2函数与极限155特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.2023/9/2函数与极限156不是无穷大．无界，2023/9/2函数与极限157证三、无穷小与无穷大的关系2023/9/2函数与极限158定理4在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证2023/9/2函数与极限159意义

关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.四、小结2023/9/2函数与极限1601、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大.2023/9/2函数与极限161思考题2023/9/2函数与极限162思考题解答不能保证.例有2023/9/2函数与极限163一、填空题:练习题2023/9/2函数与极限1642023/9/2函数与极限165练习题答案一、极限运算法则2023/9/2函数与极限167定理证由无穷小运算法则,得2023/9/2函数与极限1682023/9/2函数与极限169推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2有界，二、求极限方法举例2023/9/2函数与极限170例1解2023/9/2函数与极限171小结:2023/9/2函数与极限172解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例22023/9/2函数与极限173解例3(消去零因子法)2023/9/2函数与极限174例4解(无穷小因子分出法)2023/9/2函数与极限175小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.2023/9/2函数与极限176例5解先变形再求极限.2023/9/2函数与极限177例6解2023/9/2函数与极限178例7解左右极限存在且相等,三、小结2023/9/2函数与极限1791.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.2023/9/2函数与极限180思考题

在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？2023/9/2函数与极限181思考题解答没有极限．假设有极限，有极限，由极限运算法则可知：必有极限，与已知矛盾，故假设错误．2023/9/2函数与极限182一、填空题:练习题2023/9/2函数与极限183二、求下列各极限:2023/9/2函数与极限1842023/9/2函数与极限185练习题答案一、无穷小的比较2023/9/2函数与极限187例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比.观察各极限2023/9/2函数与极限188定义:2023/9/2函数与极限189例1解例2解2023/9/2函数与极限190常用等价无穷小:用等价无穷小可给出函数的近似表达式:例如,二、等价无穷小替换2023/9/2函数与极限191定理(等价无穷小替换定理)证2023/9/2函数与极限192例3解不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意2023/9/2函数与极限193例4解解错2023/9/2函数与极限194例5解三、小结2023/9/2函数与极限1951.无穷小的比较:反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换:

求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.2023/9/2函数与极限196思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？2023/9/2函数与极限197思考题解答不能．例当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大故当时2023/9/2函数与极限198练习题2023/9/2函数与极限1992023/9/2函数与极限2002023/9/2函数与极限201练习题答案2023/9/2函数与极限202一、函数的连续性2023/9/2函数与极限2041.函数的增量2023/9/2函数与极限2052.连续的定义2023/9/2函数与极限2062023/9/2函数与极限207例1证由定义2知2023/9/2函数与极限2083.单侧连续定理2023/9/2函数与极限209例2解右连续但不左连续,2023/9/2函数与极限2104.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,2023/9/2函数与极限211例3证二、函数的间断点2023/9/2函数与极限2122023/9/2函数与极限2131.跳跃间断点例4解2023/9/2函数与极限2142.可去间断点例52023/9/2函数与极限215解注意

可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.2023/9/2函数与极限216如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点2023/9/2函数与极限2173.第二类间断点例6解2023/9/2函数与极限218例7解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.2023/9/2函数与极限219狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★★2023/9/2函数与极限220在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★判断下列间断点类型:2023/9/2函数与极限221例8解三、小结2023/9/2函数与极限2221.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)2023/9/2函数与极限223可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx2023/9/2函数与极限224思考题2023/9/2函数与极限225思考题解答且2023/9/2函数与极限226但反之不成立.例但2023/9/2函数与极限227练习题2023/9/2函数与极限2282023/9/2函数与极限229练习题答案2023/9/2函数与极限230一、四则运算的连续性2023/9/2函数与极限232定理1例如,二、反函数与复合函数的连续性2023/9/2函数与极限233定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.2023/9/2函数与极限234定理3证2023/9/2函数与极限235将上两步合起来:2023/9/2函数与极限236意义1.极限符号可以与函数符号互换;例1解2023/9/2函数与极限237例2解同理可得2023/9/2函数与极限238定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如,三、初等函数的连续性2023/9/2函数与极限239三角函数及反三角函数在它们的定义域内