理学线性动态电路的复频域分析

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一个定义在[0，），即（0—<t

）区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)的定义为：§14-1拉普拉斯变换的定义注：式中为复数。

F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数。F(s)又称f(t)的拉氏变换式。2

F(s)存在的条件为上式右边的积分为有限值，故此处有收敛因子。所以对任意一个f(t)，对于所有的

t

只要满足条件：拉氏变换存在的条件：

式中M和c为2个正的有限常数，则f(t)的拉氏变换式总存在。3

由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，定义为：C为正的有限常数。拉普拉斯反变换的定义：4例14-1

求的象函数。解：5例14-2

求指数函数的象函数。解：6例14-3求单位冲激函数的象函数。解：注：此例说明拉氏变换式可以计及t=0时f(t)所包含的冲激。7

本节介绍一些分析线性非时变电路时有用的基本性质。利用它们可以容易求得较复杂的原函数的象函数。性质1唯一性

象函数F(s)与定义在区间上的时域函数f(t)存在一一对应的关系。注：唯一性这一性质对于拉氏变换的所有应用都适用。§14-2拉普拉斯变换的基本性质8性质2线性性质

设是2个任意的时间函数，且它们的象函数分别为是2个任意实常数，于是9例14-4设和的定义域都是应用性质2求其象函数。解：(a)(b)10性质3(时域)微分性质原函数f(t)的象函数与其导数的象函数有如下关系：注：式中为原函数在的值。11例14-5应用导数性质求和的象函数。解：(a)由于][costL=)](sin1[tdtdLwww12(b)由于所以

顺便指出，重复应用导数性质，可以推论二阶，直至n阶导数的象函数为：………13………性质3(时域)微分性质原函数f(t)的象函数与其导数的象函数有如下关系：注：式中为原函数在的值。14性质4(时域)积分性质原函数的象函数与其积分的象函数之间有如下关系：15例14-6利用积分性质求单位斜坡函数的象函数。解：由于所以16性质5延迟性质函数的象函数与其延迟函数的象函数之间有如下关系：例13-7

求t=T

时刻出现的单位阶跃函数的象函数。解：17一些常用的时间函数极其象函数（应记住！）象函数F(s)象函数F(s)原函数f(t)原函数f(t)18象函数F(s)象函数F(s)原函数f(t)原函数f(t)

sest0-19

用拉氏变换法求解线性电路的时域响应时，要求把响应的拉氏变换式变换为时间函数，这就是拉氏反变换。电路响应的象函数通常可以表示成：式中的m和n为正整数，且§14-3拉普拉斯反变换的部分分式展开20

大家都知道，任一有理函数都可分解成许多简单项之和，而这些简单项就可以在拉氏变换表中找到了，此法称为部分分式展开或称为分解定理。

用上述方法展开F(s)，需把有理分式化为真分式。若n>m，则F(s)为真分式；若n=m，则

为用部分分式展开有理分式F(s)，首先必须求出

D(s)=0的根。下面就这些根的不同情况得出各自的结论。211.

设D(s)=0有n个单根的情况。设n个单根分别为…。F(s)可以展开为：注：式中是待定系数，可按下述二方法确定：方法一方法二22F(s)所对应的原函数f(t)为：23例14-8

求的原函数解：的根为于是有：或325254)(')(11-=-=++===ssspssDsNk24或这样252.当D(s)具有共轭复根时，它的这对的共轭复根为则有：于是F(s)的展开式中,将包含如下两项：26而对应的原函数f(t)中将包含如下分量27例14-9求的反变换。解：D(s)=0的根为所以283.当D(s)具有重根时，我们用例题来说明。例14-10求的原函数。

解：为三重根有：于是F(s)可分解为：29其中：30因此查拉氏变换表可得：31

本节的主要内容是利用拉氏变换把求解线性微分方程转化为求解线性代数方程。一、R，L(M)，C等电路元件的运算形式。A.电阻R+-u(t)i(t)(a)R+-U(s)I(s)(b)§14-4运算电路32B.电感i(t)+-u(t)(a)LI(s)sL+U(s)--+(b)亦可写成：取拉氏变换I(s)+-U(s)(c)33C.电容-Ci(t)+u(t)+-有：则：I(s)+-U(s)+-+-+-I(s)U(s)sC+-34D.耦合电感L1+

ai1u1L2i2cdu2+

Mb(a)+

U2(s)c++

sL1U1(s)I1(s)ab(b)sMI2(s)sL2d+++

L1i1(0-)Mi2(0-)L2i2(0-)Mi1(0-)35二、基尔霍夫定律的运算形式。i(t)KRL+-+-Cu(t)(a)I(s)KRsL+-+-U(s)(b)+-+-对任一结点对任一回路KL定律时域表示式：对任一结点对任一回路KL定律运算形式：R、L、C串联电路：36注：为串联电路的运算阻抗。在根据：I(s)KRsL+-+-U(s)(b)+-+-37用运算法分析动态电路的步骤：根据换路前电路的工作状态，计算出电感的电流和电容的电压在t=0-时的初始值。将输入us(t)和is(t)变换成象函数Us(s)和Is(s)。画出运算电路图（注意附加电源的值及方向）。应用第二、三、四章所述的求解线性电路的各种方法列出运算形式的电路方程，并求出象函数形式的响应。将响应的象函数进行拉氏反变换，求出对应的原函数，即以时间t为变量的响应表达式。§14-5应用拉氏变换法分析线性电路3810V++-K2H(a)-+-t=0(b)+++---2S4V++--39(b)+++---2S4V++--40(b)+++---2S4V++--4110V++-2H(a)-+-42例14-12R，L串联电路与按指数规律衰减的电压接通，如下图，设电路中的初始电流为零，求电路总的电流i(t).解：Ki(t)u(t)+-LR43式中利用分解定理可得所以44求K合上后电感上的电例14-13如图，设电容上原有电压电源电压流

u(t)++-KLC(a)-(b)3010+++---0.1s0.5V45解：假定回路电流为则回路电流方程为：即求解方程可得：(b)3010+++---0.1s0.5V46且利用分解定理，有所以47例14-14用拉氏变换求R，L，C串联电路的(a)单位阶跃响应和(b)零输入响应。设解：(a)此时有令则得48查表可得：(b)设则有查表得：49

电路在单一的独立激励下，其零状态响应r(t)的象函数R(s)与激励e(t)的象函数E(s)之比定义为该电路的网络函数H(s)，即

即网络函数是单位冲激响应的象函数，网络函数的原函数h(t)就是电路的单位冲激响应。当即§14-6网络函数的定义50解：+C

is(a)Ruc例14-15图a中，电路激励求冲激响应h(t)即电容电压uc(t)。(b)+

1/sc

Is(s)RUc(s)51网络函数的类型

N0

I1(S)

+

U1(S)

-

N0

I1(S)

U1(S)

＋52N0

I1(S)

+

U2(S)

-

I2(S)

Z

+

U1(S)

-

N0

I1(S)

U1(S)

+

U2(S)

-

I2(S)

Z

53E(s)R(s)E(s)与R(s)属于同一对端子H(s)电流源电压是驱动点阻抗(函数)电压源电流是驱动点导纳(函数)电流源电压否转移阻抗(函数)电压源电流否转移导纳(函数)电压源电压否电压转移函数电流源电流否电流转移函数综上所述54解：例14-16

图a所示电路为一低通滤波器，激励是电压源u1(t)。已知：L1=1.5H，求电压转移函数和驱动点导纳函数(a)R++--(b)R++--55解得：(b)R++--56电压转移函数为驱动点导纳函数为57§14-7网络函数的极点和零点58例14-17

59解：Z1=Z2=0，Z3=

3，p1=

1，p2=

2+j，p3=

2

j60来自H(s)的极点来自E(s)的极点自由分量强制分量§14-8极点、零点与冲激响应611.

网络函数的零极点与冲激响应的关系

(1)冲激响应—h(t)反变换第i个极点决定总特性ki与零点分布有关62(a)极点在负实轴(2)几种典型的极点分布63(b)极点在正实轴64(c)共轭极点在虚轴上65(d)共轭极点在左半平面66(e)共轭极点在右半平面67极点与冲激响应的关系68

只要极点位于左半平面，则h(t)必随时间增长而衰减，我们称这种电路是稳定的。如果极点位于右半平面，则h(t)必随时间增长而增长，我们称这种电路是不稳定的。69（3）零点与冲激响应的关系零点移动到原点70幅度多了一个因子多了相移

零点的分布只影响时域函数的幅度和相移，不影响振荡频率。71结论：零点不影响h(t)的变化形式（质变），仅影响波形的幅度（量变）。极点的分布直接影响h(t)的变化形式。72极点与冲激响应的关系冲激响应形式极点情况单调上升（指数形式）正实数单调下降（指数形式）负实数73例14-19图中所示RLC串联接通恒定电压源Us，解：+uC+usS(t=0)RLC

7475

的强制分量取决与激励，。76一、频率响应函数及含义§14-9极点、零点与频率响应)()()(:)()()()(:),(),(:)1(称为该电路的相位频率称为该电路的幅值频率响应；称为该电路的频率响应函数；则相量比值响应为正弦稳态电路中若激励为正弦信号定义wjwww