第六章角动量守恒2

1§1.角动量与力矩单位:kgm2/s，量纲:L2MT-1大小:

角动量是除动量和能量之外的转动形式的另一个守恒量；它不但能描述经典力学中的运动状态，在近代物理理论中在表征状态方面也是不可缺少的一个基本量。方向：由右手定则确定一.质点的角动量？角动量：位矢r与动量mv的矢积OXYZAB图6.1、质点的角动量2两点讨论:⑴角动量是相对于给定的参考点定义的，且参考点在所选的参考系中必须是固定点；参考点不同，角动量亦不同，如圆锥摆。一般把参考点取在坐标原点。这样，才有⑵角动量是矢量，可用分量形式表示。在直角坐标系中其中：图6.2、圆锥摆的角动量3二、力矩作用力F，其作用点的位矢为r，它对O点的力矩被定义为方向：由右手定则确定；大小:M=rFsinθ。在直角坐标系中，其分量表示图6.3、力矩4例6.1：试求作用在圆锥摆上的拉力T、重力mg和合力F对o’

点、o点、oo’

轴的力矩。

讨论力矩时，必须明确指出是对那点或那个轴的力矩；o'oαTLFmg力矩拉力T重力mg合力Fo'点o点oo'轴mgLsinα×mgLsinα×00000TLcosαsinα⊙FLcosα×图6.4、题6.1图5例6.2：在图示情况下，已知圆锥摆的质量为m，速率为v，求圆锥摆对o点,o’点,oo’轴的角动量。

在讨论质点的角动量时，必须指明是对那点或那个轴的角动量o'oαlvm图6.5、题6.2图6三、质点的角动量定理角动量和力矩的物理意义：体现在两者所遵从的物理规律上。7表明：角动量的增量等于冲量矩（角冲量）的积分。——质点的角动量定理②该定理是由牛顿定律导出，故它仅适用于惯性系。两点说明:①各量均对同一参考点；即8四、质点的角动量守恒定律当守恒条件:①

F=∑Fi=0；②力F通过定点O，即有心力；③当外力对定点的某一分量为零时，则角动量的该分量守恒：9例6.3

一小球m沿竖直的光滑圆轨道R由静止开始下滑。求小球在B点时对环心的角动量和角速度。解:力矩分析：M=mgRcosθ用角动量定理：BAROmg图6.6、题6.3图10例题6.4

摆长为l的锥摆作匀速圆周运动，摆线与铅垂线成α角，求摆球速率。解：如图，在圆锥摆的运动过程中，摆球相对支点o的角动量为。L是一个可以绕z轴旋转的矢量。将其分解两个分量

,其大小分别为o图6.7、题6.4图另一方面，作用于摆球的外力有张力和重力，张力对支点o无力矩，而重力矩的方向与圆周半径垂直，其大小为11§2.质点系角动量定理一、质点系角动量定理质点系对给定点的角动量等于各质点对该点的矢量和：对t求导，利用质点角动量定理，则得内力对体系的总力矩为零，上式变为质点系角动量定理的微分形式12体系角动量定理的积分形式体系对给定点角动量的增量等于外力对该点的总冲量矩。二、质点系角动量守恒质点系角动量定理指出：①只有外力矩才对体系的角动量变化有贡献；②内力矩对体系角动量变化无贡献，但对角动量在体系内的分配是有作用的。当外力对定点的总外力矩为零时，则或13(3)角动量守恒定律是一个独立的规律，并不包含在动量守恒定律或能量守恒定律中。(2)角动量守恒定律是矢量式，它有三个分量，各分量可以分别守恒：⑴关于总外力矩M=0，有三种不同情况：

①对于孤立系统，体系不受外力作用；

②所有外力都通过定点；

③每个外力的力矩不为零，但总外力矩M=0。几点讨论：桌面\演示内容\茹可夫斯基凳.wmv14例6.5：在图示装置中，盘与重物的质量均为m，胶泥的质量为m’,

原来重物与盘静止，让胶泥从h高处自由落下，求胶泥粘到盘上后获得速度。

解：把盘、重物、胶泥视为质点系，在胶泥与盘的碰撞过程中，绳的拉力，盘与重物所受的重力对o轴的力矩之和始终为零，忽略胶泥所受重力，所以质点系在碰撞过程中对o轴的角动量守恒。

讨论：质点系动量是否守恒？方程*并不表示动量守恒，若动量守恒，应写成：m'mhmvvvo⊙正方向o图6.8、题6.5图15例题6.6卢瑟福α粒子散射实验与有核模型。已知α粒子的质量为m，电荷为2e，从远处以速度v0射向一质量为m’，电荷为Ze的重原子核。重核与速度矢量垂直距离为d，称为瞄准距离。设

m’>>m，原子核可看作不动。试求α粒子与重核的最近距离rs。解：如图，当α粒子接近重核时，在重核静电斥力作用下速度随时间改变，在A点到达与重核最接近的距离rs处。A

因α粒子所受的静电力方向始终通过重核，故α粒子对力心O的角动量守恒，即图6.9、题6.6图16§3.质心系的角动量定理

在处理问题时,如果采用质心参考系，并取质心为参考点时，质点系相对于质心的角动量随时间的变化规律将如何表述呢?一、质心系中的角动量定理

质心系若为非惯性系，则加上惯性力的力矩，角动量定理仍适用。设L’

:质心系中体系对质心的总角动量;M0’

:外力对质心力矩之和;Mc’:惯性力对质心的力矩之和，则

由于质心平动系中，作用在各质点的惯性力与质量成正比，方向与质心加速度相反，故对质心的力矩为17质心系角动量微分形式质心系角动量积分形式

即质点系相对质心的角动量的时间变化率等于外力相对质心的外力矩总和。注意：①质心系角动量定理虽与质点或质点系的角动量定理具有完全相同的形式；②后者总被强调在惯性系中成立，而质心即使有加速度，质心系为非惯性系(如在重力场中)，质心系角动量定理仍成立。其中为质心系中质心位矢，它必为零。故18二、质心系的角动量守恒定律

当外力相对质心的总力矩为零时，体系相对质心的角动量为恒量:

例：运动员在跳水过程中，若忽略空气阻力，所受到的唯一的外力是重力，它在质心系中的总力矩恒为零，因此运动员绕质心的角动量守恒。三、体系角动量与质心角动量的关系在惯性系中，质点系相对于定点的角动量为而，代入上式得19

上式表示：体系的角动量等于质心角动量与体系相对于质心角动量之和。根据质心的定义，上面后两项为零。于是质心角动量体系相对质心角动量20例题6.7

质量为的两个质点的位矢和速度分别为和，试求⑴每个质点相对于两质点质心的动量。⑵两质点相对于它们的质心的角动量。解：⑴对于由两个质点构成的质点系，引入相对速度u考虑到质心系是零动量参考系，即可得由此可得，每个质点相对于质心的动量分别为21两质点的约化质量⑵利用质心表达式，每个质点相对于质心的位矢分别为故两个质点系统相对于其质心的角动量为22

四、两体问题①对于质量可以比拟的孤立两体问题，总可以把其中一个物体看作固定力心，另一物体的质量用约化质量μ代替；②无固定力心的两体问题等效于一质量为μ的质点在固定力心的有心力作用下的运动；③把两体问题化成单体问题。其运动规律满足：其中是从指向的矢量方向的单位矢量。0c23§4.质点在有心力场中的运动一、有心力？有心力：方向始终指向（或背向）固定中心的力。

该固定中心称为力心。在许多情况下，有心力的大小仅与考察点至力心的距离有关，即保守有心力？有心力场：有心力存在的空间，如万有引力场、库仑力场、分子力场。24二、有心力场质点运动的一般特征在有心力场中，质点的运动方程为其特征：⑴运动必定在一个平面上

当质点的初速度给定后，质点只能在初速度与初始矢径所构成的平面内运动；往往用平面极坐标描述运动。取力心为原点，运动方程则为25有心力对原点的力矩为零，故质点对原点的角动量守恒。⑵两个守恒量有心力为保守力，质点的机械能守恒对②式两边乘r，再对时间积分得：26⑶有效势能与轨道特征因是运动常量，故机械能守恒定律可写为：

设有两个质量分别为m,M

的质点，则引力势能为：有效势能则有效势能为：27①当角动量L取某一确定值，利用势能曲线，可讨论质点运动矢径大小的变化范围，此范围取决于质点的总能量E；②质点将在有心力场中作不同类型的轨道运动：根据有效势能得到如图所示的有效势能曲线。（A）若，轨道为双曲线；（B）若，轨道为抛物线；（C）若，轨道为椭圆或圆。28三、开普勒三定律和万有引力定律①人们对金、木、水、火、土五颗行星的运动有过长期观察；②特别是丹麦天文学家第谷（TyehoBrahe,1546-1601）进行了连续20年的仔细观测和记录；③他的学生开普勒（KeplerJohamnes,1571-1630）则花了大约20年的时间分析这些数据，总结出三条行星运动规律。

(2)面积定律：对任一行星，它的矢径在相等的时间内扫过的面积相等；1、开普勒行星运动定律(1)轨道定律：每个行星都各以太阳为焦点一个椭圆轨道运行；(3)周期定律：行星绕太阳运动轨道半长轴a的立方正比于公转周期T的平方，即29

开普勒面积定律的证明用表示从0到速度矢量v的垂直距离，则有掠面速度如图，行星m对太阳M的角动量大小为:其中⊿S是⊿t时间内行星与太阳间的联线所扫过的面积，故LMrmv30

由于万有引力为有心力，它对力心的力矩总是等于零，故角动量守恒，亦即

这就证明了掠面速度不变，也就是开普勒第二定律。实际上，此定律与角动量守恒定律等价。如图，由解析几何知，椭圆方程为

太阳在焦点位置的证明两焦点在长轴上位置坐标为±c31

设行星远日点和近日点的距离分别为r1、r2，对应的速度为v1、v2

。由机械能守恒，有由角动量守恒，有32考虑到（r1+r2）=2a，最后求得表明：①太阳位置坐标为（-c），正是几何上椭圆焦点位置；②这一结果与天文观测资料是一致的，证认了牛顿力学理论的正确性,最为重要的是一举同时证认了引力二次方反比律和运动定律两者的正确性。解得根据向心力公式和长轴端点弧元的曲率半径，有332、万有引力定律

开普勒行星运动定律蕴涵着更为简洁、更为普遍的万有引力定律,其中的奥秘直到牛顿才被破译出来。

根据开普勒轨道定律，为简便起见，可把行星轨道看作圆形。这样，行星应作匀速圆周运动。因而,故取比例系数为k,则得（k取决于太阳的性质）34

牛顿认为这种引力是万有的、普适的、统一的，即所有物体之间都存在这种引力，称之为万有引力。对地球和月球之间的吸引力应有根据牛顿第三定律，由以上两式得

其比值应是一个与地球和月球都无关的普适常数，设其为G,有35于是，地、月之间的引力为普适的万有引力定律则可描述为

G称为万有引力常数。因为引力太弱，又不能屏蔽对它的干扰，实验很难做，故万有引力常数是目前测量最不精确的一个基本物理常量。其量纲为36由开普勒定律导出万有引力定律

据开氏二定律，行星必受以太阳为力心的有心力作用。由功能原理，行星动能增量等于有心力所作功：Fdr=dEk或F=dEk/dr行星动能：据开氏一定律，行星必在以太阳为焦点的椭圆轨道上运动，此轨道用极坐标表示为：37据开氏二定律，38再利用开氏三定律，

39？潮汐现象的解释。（引力的空间不均匀性）

潮汐现象：每日两次的涨潮、落潮现象。海水既受太阳（和月亮）的引力作用，又在作公转的地球这一非惯性系中受惯性力作用的结果。

①如图，地－月系统在引力的相互作用下围绕着共同的质心O旋转；②在地心参考系中各地海水所受月球有效表现力是“真实的引力”和地心的离心加速度造成的“惯性离心力”之和；③该表现引力把海水沿地－月联线方向拉长而成为一个椭球，从而形成潮汐现象。40？潮汐成因：考察A、B、C、D四点处海水的受力情况①在A点，海水受月球引力FA和惯性离心力fiA的作用，两者方向相反。A点离月球比地球中心离月球近（差一个地球半径的距离），fiA大小恰为同质量的海水在地球中心所受月球的引力，所以|FA|>|fiA|,A点海水受向左方向表现力。②C点情况与A点相反，|FC|>|fiC|，海水受向右方向的表现力；③D点海水受月球引力FD和惯性离心力fiD的大小几乎相等，但方向略有差异，故合成的表现力向下，其大小比A、C点表现力小；④B点的情况与D点相仿，表现力向上。在重力和表现力共同作用下，最后使海水表面呈图中所示椭球形状。仅地球自转一周时，地球上任一点的海面高度将有两次涨落变化（A、C涨潮，B、D落潮）。41§5.对称性与守恒定律一、对称性(symmetry)：人们在观察和认识自然的过程中产生的一种观念。？“变换”：我们把系统从一个状态变到另一个状态的过程，或者说给它一个“操作”。若一个操作使系统从一个状态变到另一个与之等价状态，或者状态在此操作下不变，则称这个系统对于这一操作是“对称”的，而这个操作叫做这个系统的一个“对称操作”。

物理学的规律是有层次的，层次越深，则规律越基本、越简单，其适用性也越广泛，但也越不容易被揭示出来。

由于变换或操作方式的不同，可以有各种不同的对称性：①常见的对称操作是时空操作，相应对称性称为时空对称性；②空间操作有平移、转动、镜象反射、空间反演等；③时间操作有时间平移、时间反演等。42二、对称性与守恒定律内特尔定理：如果运动规律在某一不明显依赖于时间的变换下具有不变性，必相应地存在一个守恒定律。

对称性原理与守恒定律是跨越物理学各个领域的普遍法则，因此在未涉及一些具体定律之前，往往有可能根据对称性原理与守恒定律作出一些定性的判断，得到一些有用的信息。运动规律对时间原点选择的平移不变性决定了能量守恒；运动规律对空间原点选择的平移不变性决定了动量守恒；运动规律对空间转动的不变性决定了角动量守恒。物理规律的对称性又称为不变性（invariance）。43下面讨论时空对称性与动量守恒定律：

为简单起见，假设一个体系由两个相互作用着的粒子组成，它们只限于在具有平移对称性的x轴上运动，如图所示。设两粒子的坐标分别为x1、x2，体系的势能为

当体系发生一平移⊿x时，两粒子的坐标分别为但两粒子间的距离未变，即44

空间的平移对称性意味着势能与⊿x无关，即空间平移操作下势能保持不变，故在这样的条件下，坐标1和2所受的力分别为：按照力的定义式，则有：

这就是动量守恒定律。因此，从空间平移对称性导出了动量守恒定律。45本章基本要求1.理解角动量和力矩的物理意义，特别是所涉及的矢量关系;2.熟练掌握质点和质点系角动量定理及守恒定律，并能处理一些实际问题;3.初步掌握质