《实际问题与一元二次方程》 省赛获奖

1.列一元二次方程解应用题的一般步骤:(1)“设”，即设________，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(2)“列”，即根据题中________关系列方程；(3)“解”，即求出所列方程的_________；(4)“检验”，即验证是否符合题意；(5)“答”，即回答题目中要解决的问题。未知相等解

（一）复习巩固自主探究1问题：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：1.设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了___人，第一轮后共有_____人患了流感：2.第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了_______人，第二轮后共有_______人患了流感。则：列方程

，解得

即平均一个人传染了

个人。再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？(1+x)

xx(1+x)(1+x)2(1+x)2

(1+x)2＝121x＝10或－12（舍去）(1+10)3＝133110自我尝试：1.某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？解：设每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了x个细菌，根据题意得(1+x)2＝256，解得x＝15或－17（舍去）自主探究21.问题（1）两年前甲种药品的成本是5000元，现在的成本是3000元，那么该药的平均下降额度为

____

_____。

（2）两年前甲种药品的成本是6000元，现在的成本是3600元，那么该药的平均下降额度为

___

__

____

。

（3）如果今年成本为5000元，设下降率为x，那么明年年成本为

，后年成本为

，

n年后成本为__________

_______

。（4）两年前甲种药品的成本是5000元，现在的成本是3000元，那么该药成本的平均下降率是多少？（5）算一算：甲种药品成本的年平均下降率是多少?(5000-3000)÷2=1000(元)

(6000-3600)÷2=1200(元)5000(1-x)元5000(1

-x)2元

5000(1-x)n元

解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，依题意得

5000(1-x)2=3000

解方程，得x1≈22.5%或x2≈177.5%（不符题意，舍去）若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取+，降低取-)归纳小结：自我尝试：

（1）某乡无公害蔬菜的产量在两年内从20吨增加到35吨。设这两年无公害蔬菜产量的年平均增长率为x，根据题意，列出方程为

______________。（2）某电视机厂2010年生产一种彩色电视机，每台成本

3000元，由于该厂不断进行技术革新，连续两年降低成本，至2012年这种彩电每台成本仅为1920元，设平均每年降低成本的百分数为x，可列方程_________________（3）某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值175亿元，设二月、三月平均每月增长的百分率为x，根据题意得方程为

______________________________

20(1+x)2＝353000(1－x)2＝192050+50(1+x)+50(1+x)2＝175自主探究31.面积公式回顾（1）直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？

（2）正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？

（3）梯形的面积公式是什么？

（4）菱形的面积公式是什么？

（5）平行四边形的面积公式是什么？

（6）圆的面积公式是什么？2．小组合作探究题：如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？思考：（1）本题中有哪些数量关系？（2）如何理解“正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形”？（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？分析：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为

cm，则左、右边衬的宽均为

cm，依题意，得：中央矩形的长为

cm，宽为

cm。9x7x（27-18x）（21-14x）如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）？解：依据题意知：中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比＝9：7，由此可以判定：上下边衬宽与左右边衬宽之比为9：7，设上、下边衬的宽均为9xcm，则左、右边衬的宽均为7xcm，依题意，得：中央矩形的长为（27-18x）cm，宽为（21-14x）cm．因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的

，则中央矩形的面积是封面面积的

。

所以（27-18x）（21-14x）=×27×21整理，得：16x2-48x+9=0，解方程，得：x=，

x1≈2.8cm，x2≈0.2

所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm

因此，上下边衬的宽均为1.8cm，左、右边衬的宽均为1.4cm。如图所示，某小区规划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地

上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AB垂直，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为144米2，求甬路的宽度?解:可设甬路宽为x米,依题意,得解得(不合题意,舍去)。答:甬路的宽度为2米。自我尝试自主探究4将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？解：设商品的单价是（50+x）元，则每个商品的利润是[（50+x）-40]元，销售量是（500-10x）个。由题意列方程为

整理，得

解方程，得

自主探究4将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？故商品的的单价可定为50+10=60元或50+30=80元。当商品每个单价为60元时，其进货量只能是500-10×10=400个，当商品每个单价为80元时，其进货量只能是500-10×30=200个。答：售价定为60元时，进货是400个，售价定为80元时，进货是200个。自我尝试：某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润。（2）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元

（2）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10（x-5