九年级数学上册专题突破讲练解决坡角、坡比问题试题(新版)青岛版

#解决坡角、坡比问题【重审难点易错审点点精通］坡度、坡角1.坡度：坡面的铅垂高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=.坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，且i=-=tana。方法归纳（或技巧归纳）坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越缓。总结：理解坡度、坡角的有关概念。能够解决与坡度有关的三角函数问题，掌握三角函数的综合应用问题。密题【真题难题名校裳瞿瞿经典］例题如图，某地计划在坡比为i=1：4的山坡（为地面水平线）上逐排建造楼房、等。已知楼高（、等）均为（米，又知该地在冬季正午时太阳光线（图示箭头方向）与地面所成的角最小为40°。（1）求斜坡 的坡角的度数；（）为使冬季正午时后面的楼（）完全不被前面一幢楼（）挡住阳光，问两楼间的斜坡距离 至少为多少米？（最后结果四舍五入精确到0.1米）（以下数据供选用：sin14°30'=0.5tan14°=0.5cos75°30'=0.5cos14°=0.7tan40°=0.4Q o解析：（1）根据坡比即可计算出坡角的度数.（）可过作 的平行线，延长与平行线相交于点H构造直角三角形，根据坡度坡角的定义再解答即可。，贝U=*x.47即=.47至少为35.0米。答案：（1），贝U=*x.47即=.47至少为35.0米。（）如图，过作 的平行线，交的延长线于点，设为=:tanZ =4x由题意可知，（*）：4=0.4解得==4=33.9d［/。=R无35.0（米），即两楼间的斜坡距离cos14°0.97

Q o点拨：此题主要考查运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，比较复杂，解题关键是构造直角三角形表示出坡度。【拓展总结+提升前分必读］【拓展总结+提升前分必读］利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤：审题—［按题意画出正确的示意图，弄清已知和未知。将已 |将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把转化=>实际问题转化为解直角三角形的问题。如果没有现成的直角三角形，可通过作辅助线构造直角三角形。求解=>根据直角三角形元素之间的关系解有关的直角三角形。满分训练如图，一人行天桥的高是10米，坡面的坡角为30°，为了方便行人推车过桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面 的坡角为18°。（1）求新坡长；（精确到0.01米）（2）求原坡脚向外延伸后的长；（精确到0.01米）（3）若需留为米的人行道，问离原坡脚处1米的花坛是否需要拆除?，再利用解析：（参考数据，再利用解析：（参考数据sin18°=0.309cos18°=0.；1tan18°=0.32）=一求出的长。（3）同（2）即可。答案：（1）在△中，sin18°=—D・•・=sin18°=010~-32.36（米），二新坡长约为32.36米。（2）在△中tan30°=一，二=—=10小心17.32（米）。在△tan30丫10中tan18°=—°・•・=tan180=0^25二30.77（米）。二="-=30.77—17.32=13.（米），二原坡脚向外延伸约13.米。（3）:=1, =13., =,・•・+>,・••离原坡脚1米的花坛应拆除。点拨：本题可借助于计算器进行计算，计算结果要注意符合题目中精确到0.01米的要求。【即学即基巩固提升］（答题时间：30分钟）一、选择题1o如图，将一个△形状的楔子从木桩的底端点沿水平方向打入木桩底下，使木,则的长为（ ）一、选择题1o如图，将一个△形状的楔子从木桩的底端点沿水平方向打入木桩底下，使木,则的长为（ ）桩向上运动。已知楔子斜面的倾斜角为15则木桩上升了（）若楔子沿水平方向前进6c（如箭头所示），6sin15°c-^―ctan156cos15°c6tan15°c=46sin15°c-^―ctan156cos15°c6tan15°c=4 :3如图，一网球从斜坡的点抛出，网球的抛物线为1,斜坡的坡度i=1：，则网球在斜坡的落点的垂直高度是（ ）A.2B.3.5C.4.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米。已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为,米，则树的高度为（ ）(6+\/3)米(4—\；3)(6+\/3)米(4—\；3)米米1、填空题5若一辆车的最大爬坡度数为45°,有一段斜坡路的坡度为131,则这辆车 （_填_“_能_”_或“不能”）在这段斜坡上行驶。6.如图是某工厂货物传送带的平面示意图。为提高传送过程的安全性，工厂计划改造传长为6米，那么新传送带与地面的夹角，使其由原来的45°减小为长为6米，那么新传送带的长为米_。_7.一个正方形物体沿斜坡向上滑动，其截面如图所示，正方形角N=30°,/=90°, =3米，则送带的长为米_。_7.一个正方形物体沿斜坡向上滑动，其截面如图所示，正方形角N=30°,/=90°, =3米，则：（1）的长是的边长为1米，坡米_；_（_2_）_当正方体运动到什么位置，即当的高度。在太阳光8九年级某班开展数学活动，活动内容为测量如图所示的电杆的照射下，电杆影子的一部分（）落在地面上，另一部分（）落在斜坡上，站在水平面的高度。在太阳光上的小明的影子为，已知斜坡的倾角/ =30°, =1.6m=0.8m=2.1,1.7,则电杆的高约为（_精_确_到1.7,则电杆的高约为（_精_确_到0.1,参考数据：\/2心1.41,V3心1.73)三、解答题9.某商场为方便顾客使用购物车,准备将滚动电梯的坡面坡度由1：1.8改为1：2.4（如图）。如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分的长。*10.我国南水北调中线工程的起点是丹江水库,按照工程计划,需对原水库大坝进行混凝土加高,使坝高由原来的162米增加到176.6米,以抬高蓄水位。如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为，背水坡坡角/ =68°,新坝体的高为，背水坡坡角/ =60°。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度（结果精确到0.1米。参考数据：sin68°"0.93,cos68°"0.37,tan68°"2.50,、/3口1.73）。

如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tana的值。测量员在山坡处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖的仰角为37°,塔底的仰角为26.6°。已知塔高c（米，塔所在的山高=220米，=200米，图中的点、、、、在同一平面内，求山坡的坡度。（参考数据sin26.6°心0.45,tan26.6°心0.50；sin37°心0.60,tan37°心0.75）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小李在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为60°二沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为45°,已知山坡的坡度i=：、/3,=0米，=5米。（i=i馈是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）（）求点距水平面的高度；_（2）求广告牌 的高度.（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.米.参考数据:小y.4,4m心.732

1解析：△B冲，BC=米，BC：吃1：班，・•.则吃BCxM=乖，：.B=2~CBC=6 （小）=1（米）。桩上升■的高^度.解析：・tan15=水平移动的距离。••木桩上升了tai15c。故选C。B解析：•・•斜坡的坡度=1：，，设的坐标是（，），把的坐标代入抛物线=4-1得：=—L（）,解得：=35=0（舍去），即网球在斜坡的落点的垂直高度是35故选B。解析：延长较B延长线于点，则NC=30°,作C，B于，在AC中，NC=30°,C=4,/.C=（米）， =4cos30°=木（米），在AC中，•・•同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为米，・・.C: =1：,二=4（米），.，.B=B++=1+23（米），在△B中，=2=~（1+\；3）=（+\,'3）米。A5不能解析：二.斜坡路的坡度为131,・♦.坡角的正切值tana=1莽tan45°,即坡角大于45°,所以这辆车不能在这段斜坡上行驶。：解析：如图，过点作，CB,交CB的延长线于点。•・•/B=45°,ZC=30°, =米，.•.在△B中，=Bs"B=X丈=35米，在△C中，=s位C=6米。(1)()-解析：(1)二•坡角N=30°,ZB=90°,BC=3米，，=B=3米；（）如图，连接C米；（）如图，连接C,假设=,可得=1米，；.C=+C=1+（—）,=—，•二正方形 的边长为1米，即+BC=+9,•・•C= +BC,A1+（—）=+9,解得：=3米。0解析：延长交B于点，过点作0解析：延长交B于点，过点作MB于点，•・,/=30=1=0.85，AE=E301.47，由题意可得AB=0.85，AE=E301.47，由题意可得AB〃，CDsVCD=1.6，DABCD•鼠=晨，0.8,AA旦AA3.9950.8,=0.425，VBE=2.1，AB=2.1+1.47+0.425=3.995（）,解得：AB心8.0()。.解：在Rt^ADC中，•「AD：DC=1：2.4,AC=13,由AD2+DC2=AC2,得AD?+(2.4AD)2=132。AAD=±5(负值不合题意，舍去)。ADC=12.在Rt^ABD中，:AD：BD=1：1.8,ABD=5X1.8=9oABC=DC—BD=12—9=3(米)。答：改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3米。.解：在Rt^BAE中，•「BE=162米，ZBAE=68°,AAE=,BE。=7^2=64.8（米），tan682.50在Rt^DCE中，•「DE=176.6米，ZDCE=60°,ACE=^D^o=176^=17%6^102.（（米），tan60 、；3 1.73则AC=CE—AE=102.1—64.8=37.3（米）。答：工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米。.解：如图，过点P作PDLOC于D,PELOA于E,则四边形ODPE为矩形。在Rt^PBD中,VZBDP=90°,ZBPD=26.6°,ABD=PD・tanZBPD=PD・tan26.6°；在Rt^CPD中，VZCDP=90°,ZCPD=37°,ACD=PD・tanZCPD=PD・tan37°；：CD—BD=BCAPD・tan37°—PD・tan26.6°=80,A0.75PD—0.50PD=80,解得PD=320,ABDPD・tan26.6°心320X0.50=160,•.•OB=220,.•・PE=OD=OB—BD=60,•.•OE=PD=320,AAE=OE—OA=320—200=120,2.=OE—OA=320—200=120,2.1\J3 1\J3 ,o，=」