广西壮族自治区南宁市英华学校高二数学理联考试题含解析

广西壮族自治区南宁市英华学校高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.椭圆的离心率为

()A.

B.

C.

D.参考答案：D略2.已知过定点P（2，0）的直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当S△AOB=1时，直线l的倾斜角为（）A．150° B．135° C．120° D．不存在参考答案：A【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】判断曲线的形状，利用三角形的面积求出∠AOB，推出原点到直线的距离，建立方程求出直线的斜率，然后求解倾斜角．【解答】解：曲线y=，表示的图形是以原点为圆心半径为的上半个圆，过定点P（2，0）的直线l设为：y=k（x﹣2）．（k＜0）即kx﹣y﹣2k=0．S△AOB=1．∴，可得∠AOB=90°，三角形AOB是等腰直角三角形，原点到直线的距离为：1．∴1=，解得k=，∵k＜0．∴k=，∴直线的倾斜角为150°．故选：A．3.若向量、的坐标满=（﹣2，﹣1，2），=（4，﹣3，﹣2），则?的等于（）A．5 B．﹣5 C．7 D．﹣1参考答案：B【考点】M6：空间向量的数量积运算．【分析】由已知求出向量、的坐标，然后利用数量积定义求之．【解答】解：因为向量、的坐标满=（﹣2，﹣1，2），=（4，﹣3，﹣2），所以向量={1，﹣2，0}、={﹣3，1，2}，所以?=﹣3﹣2+0=﹣5；故选：B．4.已知函数f（x）=3x2﹣x﹣1，x∈，在上任取一个数x0，f（x0）≥1的概率是(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】几何概型．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；概率与统计．【分析】根据一元二次不等式的解法求出不等式的解，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：由f（x）≥1得3x2﹣x﹣1≥1，即3x2﹣x﹣2≥0得（3x+2）（x﹣1）≥0，得x≥1或x≤﹣，∵x∈，∴﹣1≤x≤﹣或1≤x≤2，即﹣1≤x0≤﹣或1≤x0≤2，则在上任取一个数x0，f（x0）≥1的概率P==，故选：B【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的应用，根据一元二次不等式的解法求出不等式的解是解决本题的关键．5.下列说法错误的是（

）

A．若命题，则；B．若命题，，则“”为假命题.；C．命题“若，则”的否命题是：“若，则”；D．“”是“”的充分不必要条件参考答案：D略6.在空间，下列条件可以确定一个平面的是

（

）A.两条直线

B.一个三角形

C.一点和一条直线

D.三个点参考答案：B7.已知数列的通项为。若要使此数列的前n项和最大，则n的值为（）（A）

12

（B）13

（C）12或13

（D）14

参考答案：C8.直角坐标为（－3，3）的点的极坐标可能是（

）

A．（6，）

B．（－6，）

C．（－6，－）

D．（6，－）参考答案：C略9.有一批种子，每一粒发芽的概率为，播下粒种子，恰有粒发芽的概率为

A.

B.

C.

D.参考答案：C略10.已知函数，把函数的图象向右平移个单位，再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到函数的图象，当时，方程有两个不同的实根，则实数m的取值范围为（

）A. B. C.[－2,－1] D.(－2,－1]参考答案：D【分析】将整理为，根据图象平移和伸缩变换可得，将问题转化为的图象和直线有两个不同的交点，根据单调性可得时的图象特点，结合函数单调性可求得所求范围.【详解】由题意得：向右平移个单位，可得：再把图象的横坐标缩小到原来的一半，得到：当时，

有两个不同的实根，即的图象和直线有两个不同的交点在上单调递增，在上单调递减且，

本题正确选项：【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数范围问题，关键是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，利用数形结合来进行求解；其中涉及到三角函数图象的平移和伸缩变换、正弦型函数的值域和单调性的求解问题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围是_____________.

参考答案：12.函数的单调增区间是

．参考答案：(0,e)函数的定义域为，且：，求解不等式可得：，则函数的单调增区间是.

19.在约束条件的最大值为

参考答案：2

略14.已知向量，在方向上的投影是____________.参考答案：15.已知直线l与椭圆交于两点，线段的中点为P，设直线l的斜率为(k1≠0)，直线OP的斜率为，则的值等于________.参考答案：略16.若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是

.参考答案：17.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.记此数列为{an}，则

。参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．参考答案：【考点】余弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理，设，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a2=b2+c2+bc再与余弦定理联立方程，可求出cosA的值，进而求出A的值．（Ⅱ）根据（Ⅰ）中A的值，可知c=60°﹣B，化简得sin（60°+B）根据三角函数的性质，得出最大值．【解答】解：（Ⅰ）设则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC方程两边同乘以2R∴2a2=（2b+c）b+（2c+b）c整理得a2=b2+c2+bc∵由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA故cosA=﹣，A=120°（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC=sinB+sin（60°﹣B）=cosB+sinB=sin（60°+B）故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1．19.如图，已知空间四边形ABCD中，AB=CD=3，E、F分别是BC、AD上的点，并且BE：EC=AF：FD=1：2，EF=，求AB和CD所成角的大小．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；空间角．【分析】连结BD，在BD上取点G，使BG：GD=1：2，连结EG、FG，利用线段成比例证出EG∥CD且FG∥AB，可得EG和FG所成的锐角（或直角）就是异面直线AB和CD所成的角．分别算出EG、FG的长，在△EFG中利用余弦定理算出∠EGF=60°，即可得出AB与CD所成的角的大小．【解答】解：连结BD，在BD上取点G，使BG：GD=1：2，连结EG、FG，∵在△BCD中，=，∴EG∥CD

同理可证：FG∥AB∴EG和FG所成的锐角（或直角）就是异面直线AB和CD所成的角．∵在△BCD中，EG∥CD，CD=3，BG：GD=1：2，∴EG==1．又∵在△ABD中，FG∥AB，AB=3，FG：AB=2：3，∴FG==2．在△EFG中，EG=1，FG=2，EF=，∴由余弦定理，得，∴∠EGF=60°，即EG和FG所成的锐角为60°．因此，AB与CD所成的角为60°．【点评】本题在特殊的空间四边形中求异面直线所成角大小．着重考查了空间平行线的判定与性质、余弦定理和异面直线所成角的定义与求法等知识，属于中档题．20.（本小题13分）已知函数的图象在点处的切线方程为。(1)求函数的解析式；(2)若关于x的方程在区间上恰有两个相异实根，求的取值范围.参考答案：（1）；（2）。21.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c＝6，a＝，求△ABC的面积。参考答案：（Ⅰ）∵，由正弦定理得 …………（2分）得，∴， …………（4分）在△ABC中，，∴ ……………………（5分）∴ （6分）（Ⅱ）由余弦定理得：即∴ …………………（8分）∵ ∴……………（10分）∴………………（12分）22.（本小题满分14分）如图，已知，分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平面，且，，是线段上一动点．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若平面，试求的值；（Ⅲ）当是中点时，求二面角的余弦值．参考答案：解：（Ⅰ）连结，∵平面，平面，∴，又∵，，∴平面，又∵，分别是、的中点，∴，∴平面，又平面，∴平面平面；---------------------------------------4分（Ⅱ）连结，∵平面，平面平面，∴，∴