专题25平面几何的最值问题

专题25平面几何的最值问题专题25平面几何的最值问题几何中的最值问题是指在一定条件下，求平面几何图形中某个确定量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。求解几何最值问题的基本方法有：1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证。2.几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理。3.数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等。例1：在直角三角形ABC中，CB=3，CA=4，M为斜边AB上一动点。过点M作MD⊥AC于点D，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为多少？（四川省竞赛试题）解题思路：四边形CDME为矩形，连接CM，则DE=CM，将问题转化为求CM的最小值。例2：如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm。若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN的值最小，求这个最小值。（北京市竞赛试题）解题思路：作点B关于AC的对称点B′，连接B′M，B′A，则BM=B′M，从而BM+MN=B′M+MN。要使BM+MN的值最小，只需使B′M十MN的值最小，当B′，M，N三点共线且B′N⊥AB时，B′M+MN的值最小。例3：如图，已知矩形ABCD，AB=a，BC=b（a>b），P为AB边上的一动点，直线DP交CB的延长线于Q。求AP+BQ的最小值。（永州市竞赛试题）解题思路：设AP=x，把AP，BQ分别用x的代数式表示，运用不等式以a+b≥2ab或a+b≥2ab（当且仅当a=b时取等号）来求最小值。例4：阅读下列材料：问题如图1，一圆柱的底面半径为5dm，高AB为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到C点的最短路线。小明设计了两条路线：路线1：侧面展开图中的线段AC。如图2所示。设路线l的长度为l1，则l1^2=AC^2=AB^2+BC^2=25+(5π)^2=25+25π^2。路线2：高线AB十底面直径BC。如图1所示。设路线l的长度为l2，则l2^2=(BC+AB)^2=(5+10)^2=225。因为l1^2–l2^2=25+25π^2－225=25π^2－200=25(π^2－8)，所以l1^2＞l2^2，因此l2是最短路线。1.根据条件计算，路线1：l1^2=AC^2=26，路线2：l2^2=(AB+BC)^2=36，因为l1^2<l2^2，所以应选择路线1较短。2.在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，选择路线1：l1^2=(2πrh-h^2)^2+r^2=4π^2r^2h^2-4πr^3h+h^4+r^2和路线2：l2^2=(2πrh)^2+r^2=4π^2r^2h^2+r^2进行比较，因为l1^2<l2^2，所以应选择路线1较短。3.已知正方形钢板，AF=2，BF=1，要在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且面积最大。设DN=x，PN=y，则S=xy。建立矩形MDNP的面积S与x的函数关系式，利用二次函数性质求S的最大值，进而求钢板的最大利用率。4.在四边形ABCD中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90°，BC，AD的延长线交于P，求AB·S△PAB的最小值。设PD=x(x>1)，根据勾股定理求出PC，证明Rt△PCD∽Rt△PAB，得到AB/PC=PA/PD，根据三角形的面积公式求出AB·S△PAB，整理后得到AB·S△PAB≥4，即可求出答案。5.将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形。菱形周长的最大值是垂直时的周长，即16。6.D是半径为5cm的⊙O内一点，且OD=3cm，则过点O的所有弦中，最短的弦AB=4cm。7.一个长方体，长BC=4，宽AB=3，高BB1=5。一只小虫由A处出发，沿长方体表面爬行到C1，这时小虫爬行的最短路径的长度是10。4.如图，在三角形ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是多少？5.如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为2。一只小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A，则小虫所走的最短距离是多少？6.如图，已知∠MON=40°，P是∠MON内的一定点，点A，B分别在射线OM，ON上移动，当△PAB周长最小时，∠APB的值为多少？7.如图，ADP为AD上任意一点。若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是多少？8.如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合），BE的垂直平分线交AB于M，交DC于N。(1)设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式。(2)当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？9.如图，六边形ABCDEF内接于半径为r的圆O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA。(1)当∠BAD=75°时，求BC的长。(2)证明：BC∥AD∥FE。(3)设AB=x，求六边形ABCDEF的周长l关于x的函数关系式，并指出x为何值时，l取得最大值。10.如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D）。Q是BC边上任意一点。连结AQ，DQ，过P作PE∥DQ交于AQ于E，作PF//AQ交DQ于F。(1)证明：△APE∽△ADQ。(2)设AP的长为x，求△PEF的面积S关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S取得最大值？最大值为多少？(3)当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必证明）11.在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6。动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且MN∥BC。将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P。(1)当MN为多少时，点P恰好落在BC上？(2)设MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，写出y与x的函数关系式。当x为多少时，y的值最大，最大值是多少？（宁夏省中考试题）1.已知凸四边形ABCD中，AB+AC+CD=16，且四边形ABCD的面积为32。那么当AC=，BD=时，四边形ABCD面积最大，最大值是多少？（“华杯赛”试题）2.如图，已知△ABC的内切圆半径为r，∠A=60°，BC=23，则r的取值范围是多少？（江苏省竞赛试题）在图中，点O为△ABC的内切圆心，点F为圆心到BC边的垂足。3.如图，⊙O的半径为2，⊙O内的一点P到圆心的距离为1，过点P的弦与劣弧AB组成一个弓形。则此弓形面积的最小值为多少？4.如图，△ABC的面积为1，点D、G、E和F分别在边AB、AC、BC上，BD＜DA，DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB，则梯形DEFG面积的最大可能值为多少？（上海市竞赛试题）5.已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的最大值是多少？（潍坊市中考试题）6.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为多少？（鄂州市中考试题）在图中，点Q为△APD中边PD上的高的垂足。7.如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点，连结AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q。设BP的长为xcm，CQ的长为ycm。(1)求点P在BC上