2021届四川省成都十二中高考数学考前模拟试卷(理科)(含答案解析)

2021届四川省成都十二中高考数学考前模拟试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.下列有关命题的叙述，错误的个数为（）

①若即触富为真命题，则好於皆为真命题.

②以谓—标-您T（T的充分不必要条件是“需涂管'.

③命题睇::拉图<,使得请>穿一心:o,则_般:替盛年:鼠F需看一工过财.

④命题"若然-禽滞篝=懒，则霖=：!或需=翦"的逆否命题为"若素.，：！或寓，翳，则

请一警戒"篝声刚

A.1B.2C.3D.4

2.如图，在复平面内，表示复数z的点为z,则表示复数三的点为（）

2~-,G

耳——土一.1..

二2-1。1234x

I

FH

A.EB.FC.GD.H

3.设集合M={%|2-x>0},N={x\lW%W3},则MnN=()

B.[1,2]C.(2,3]D.[2,3|

4.设向量五=(1,2),b=(n,4),a//b<则实数m=()

A.2B.3C.4D.5

abcd

5.ahjdek，设，=-----+---------+-----+,则下列判断中正确的是（）

a+8+cb+c+dc+d+ad+a+b

A.0<S<1B.S<2C.2<S<3D.3<S<4

6.A、8两人约定在星期天上午在紫阳公园会面，并约定先到者须等候一刻钟，过时即可离去：若

A是6点半到达，假设8在6点到7点之间的任何时刻到达是等可能的，则两人能会面的概率

为（）

A.1C-Z

7.碘-131经常被用于对甲状腺的研究，它的半衰期大约是8天（即经过8天的时间，有一半的碘

-131会衰变为其他元素）.今年10月1日凌晨，在一容器中放入一定量的碘-131,到10月25

日凌晨，测得该容器内还剩有2毫克的碘-131,则10月1日凌晨，放人该容器的碘-131的含

量是（）

A.8毫克B.16毫克C.32毫克D.64毫克

8.若a=C）cos2,b=log7r3,c=log2siny,则（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

9.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球体积与该几何体

的体积比为（）

A3V3

A.——71

2

B.AJT

4

C3y[3

C・------7T

4

D。

10.在△ABC中，a,6c分别为角A,8,C所对的边，且川+c?—夜be=3,cosB=a=g，则

边c的值为（）

D.誓

A居B-vc-v

11.如图所示，&和尸2分别是双曲线马=3,般冷崛配油碗的两个焦点,A和B是以。为圆心,

需献■,、’

|00|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且A&AB是等边三角形，则离心率为（）

、屈力D一力

A.LR>.-------------C.金。

12.已知函数f（x）的导函数为/'（x）,且满足〃x）=2%r《）+cosx,贝叶'0）的值为（）

B.2v

A.2+日C-TD-T

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.若（1+国。）8展开式的第4项为7,则s讥2。的值为

2

14.在［—2,2］上任取一个数，代入三个函数A。)=x,f2(x)=x,

/3Q)=；J的计算程序，得到为，y2>为三个值，接着自动将它们

输入下一个程序(对应程序框图如图)，则输出的结果为丫3的概率是

15.己知|a|=6,匕与。的方向相反，且|b|=3,a=mb,则实数m=.

16.如图，在边长为a的正方体4BCD-&当前。1中，E,F,G,H分别是CC「G。>。1。，CD

的中点，N是8c的中点，M在四边形EFGH上及其内部运动，若MN〃平面&BD,则点M轨

迹的长度是.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.已知公差不为0的等差数列的前〃项和为S.，S3=a4+6,且%,。4，的3成等比数列。

(1)求数列｛即｝的通项公式；

(2)设％=2-，求数列｛%｝的前〃项和

18.某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了140辆纯电动汽车作为运营车辆，目前

我国主流纯电动汽车按续驶里程数R(单位：公里)分为3类，即A：80<R<150,B：150<R<

250,C：R2250.对这140辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：

类型ABC

已行驶总里程不超过5万公里的车辆数104030

已行驶总里程超过5万公里的车辆数202020

(I)从这140辆汽车中任取1辆，求该车行驶总里程超过5万公里的概率；

(II)公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取14辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况

进行分层抽样，设从C类车中抽取了”辆车.

(团)求〃的值：

(团)如果从这〃辆车中随机选取2辆车，求恰有1辆车行驶总里程超过5万公里的概率.

19.如图，在四棱锥P—4BCD中，侧面04。是正三角形，且与底面ABC。垂直，底面ABC。是边

长为2的菱形，/.BAD=60°,N是PB中点，截面D4N交PC于M.

(I)求PB与平面4BCQ所成角的大小;

(II)求证：PB_L平面ADMN-,

(ID)求以AO为棱，平面PAQ与平面AOMN的锐二面角余弦值大小.

20.已知圆C：x2+y2—6y+8=0,。为原点*

(1)求过点O的且与圆c相切的直线/的方程；

(2)若P是圆C上的一动点，M是OP的中点，求点M的轨迹方程.

21.设函数/Xx)=ax3-(a+b)/+bx+c,其中a>0,b、c€R，若/%)=0，求f(x)的单调区

间.

22.已知弓=(2cosx,-1),b=(2sin(x+^)4)，/(x)=ab<

(1)求f(久)的解析式以及最小正周期；

(2)求f(x)在区间［-，，上的最大值和最小值.

23.(本小题满分16分)设满足以下两个条件的有穷数列叫:唱<事…典^娥~招乐T阶“>'

数列”：①二4•喙1■福带…一%=颜,②同普|吗|丹图普…#|喙|=4

(1)若等比数列隹4I为麟獭正嘉，阶“幽数列”，求公比的

(2)若一个等差数列版澧为2015阶“躯数列”，且是递增数列，求该数列的通项公式；

⑶记第阶“㈱数列”(&嚼的前施项和为黑燃=工蜀为「城；.求证：|魏区上

【答案与解析】

1.答案：C

解析：试题分析：根据题意，由于①若攀:被留为真命题，则辞施图为真命题，或命题一真即真，且

命题一假即假，因此错误。

②z谓-碗图-里TIT的充分不必要条件是z制黜：T，答案不唯一，错误。

③命题罩:：三意图<,使得请#宏•_"：t,则一螂'奇短篇/«富-：1逆聊.成立。

④命题"若请一警器¥篝=/，则富=：!或需=2"的逆否命题为"若需，：！或需4鬟，则

谓-微湍罢M/"错误。应该是若品w?且笳#噫，则请一警嘉■"誓.孝觎"。故选C.

考点：命题的真假判断

点评：本题考查命题的真假判断，是基础题.解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.

2.答案：C

解析：

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

由图可知z=3+i,把z代入复数白，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出复数£在复平面内

1—11—1

对应点的坐标，则答案可求.

解：由图可知z=3+3

2+4t

(3+i)(l+i)1+2。

(D(l+i)2

复数£在复平面内对应点的坐标为：（1,2）,由图可知G点符合.

故选C.

3.答案：A

解析：解：•.・集合M={%|2-%>0]={x\x<2},N={x\l<%<3},

・・・MnN=[1,2）

故选A

首先求出结合M,然后根据交集的定义求出结果即可.

本题考查一次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单.

4.答案：A

解析：解：••・向量方=(L2),b=(n,4)>且为〃石，

A2n-4x1=0；

解得n=2.

故选:A.

根据向量的坐标表示与共线定理，列出方程求出”的值.

本题考查了向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题目.

5.答案：B

解析：因为a+b+c,b+c+d,c+d+a,d+a+小均于a+b+c+d

a+b+c+d

所以有s>------------F------------F------------F-----------=-----------

a+b+c+d々+8+c+da+B+c+da+b+c+d〃+8+c+d

又因为a+A+c>a+c且c+d+a>a+c，所以有石前<~^+7+^

同理---------1---------<1，所以有S<2.

b+c+dd+a+b

故答案选8

6.答案：A

解析：解：・；4是6点半到达，假设B在6点到7点之间的任何时刻到达是等可能的，

•••B在6点15到6点45之间的任何时刻到达即可,

两人能会面的概率为也

故选:A.

根据4是6点半到达，假设B在6点到7点之间的任何时刻到达是等可能的，可得8在6点15到6

点45之间的任何时刻到达即可.

本题考查几何概型，考查学生的计算能力，确定B在6点15到6点45之间的任何时刻到达是关键.

7.答案：B

解析：解：由题意，设10月1日凌晨，放人该容器的碘-131的含量是x毫克，则无.©)3=2,

・•・x=16毫克.

故选民

设10月1日凌晨，放人该容器的碘-131的含量是x毫克，则X.(}3=2,即可得出结论.

本题考查利用数学知识解决实际问题，考查方程思想，比较基础.

8.答案：A

解析：解：一1<cos2<0,(|)cos2G(1,2),

0Clog兀3<1,log2siny<0,

即l<a<2,0<b<l,c<0,

•­a>b>c,

故选：A

根据指数函数和对数函数的性质，进行比较即可.

本题主要考查函数值的大小比较，根据指数函数和对数函数的性质是解决本题的关键.

9.答案：A

解析：解：该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长.

其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球，四棱锥的外接球的半径为r=衽a.

2

该几何体外接球的体积=”.(弓方=/mA

・•・这个几何体外接球体积与该几何体的体积比为蜜=出

弼2

故选：A.

该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长.其四棱锥补成一个正方体，即可得

出外接球，求出相应的体积，可得结论.

本题考查了三视图的有关计算、四棱锥与正方体的性质、球的体积计算公式，考查了推理能力与计

算能力，属于中档题.

10.答案：A

解析：

本题考查解三角形、正弦定理及余弦定理，考查学生的运算求解能力，是中档题.

由+c2-\[2bc=3=a2<得炉+c2-a2=夜be,由余弦定理可求得cos/1=—>由此可知4=45°,

2

由诱导公式及和两角和的正弦公式可求sinC,再用正弦定理即可求得c.

解：：a=

:.b2+c2—y[2bc=3=a2>

则/+c2—a2=y/2bct

.b2+c2-a2yf2bcyf2

ACOSA=-----;---=——=——，

2bc2bc2

又4为三角形的内角,

・・.A=45°,

C4

vcosB=

.c3

:.sinB=-；

即s讥C=sin(i44-B)

=sinAcosB4-cosAsinB

V24V23

=——X—H------X—

2525

_7>/2

10

由正弦定理，得总=

sinC

即sin45°'

10

7y/3

5

故选A.

11.答案：C

解析：试题分析：连接AR,根据△Fz4B是等边三角形可知人=60。，斤??是圆的直径可表示出

|4&|、|4F2|,再由双曲线的定义可得垂c-c=2a,从而可求双曲线的离心率.

乙AF2B=60°

—c=2a,Ae=6汇1，故选c

考点：本题主要考查双曲线的简单性质.考查了学生综合分析问题和数形结合的思想的运用.属基

础题

点评：解决该试题的关键是根据双曲线的定义以及等边三角形的性质得到关于mb,c的关系式,

进而得到其离心率的求解。

12.答案：B

解析：

本题主要考查导数的计算，属于基础题.

求函数的导数，令x=E先求出（弓）的值，即可得到结论.

解：/(x)=2xf'(q)+cosx,

：•f'(x)=2f'(^)-sinx,

令x=则尸弓)=2(G)-sin]

即(©)=1，

则/(%)=2x+cosx,f'(x)=2—sinx,

4

故选B.

13.答案：I

3

解析：解：由题意可得,T4=Cgtan0=7

11

•••tg3e=-tan30=-

oo

1

，tan6=-

2

由公式$,29=器充

故答案为：g

由题意可得，T=Cgtan30=7可求tern。，再由公式sin26=之"71；可求

4"°l+tan120

本题主要考查了二项展开式的通项的应用，及万能公式s讥2。=兰嗯的应用.

l+tan20

14.答案：1

解析：解：根据程序框图，输入a,b,c后，输出的是a,6,c中的最小值,

要输出丫3,就是在［—2,2］上x在那个范围取值时，/3a）=房的值最小，

画出三个函数的图象如图，在［一1,0］和［1,2］上，力（为=/最小，

••・输出的结果为为的概率是:=j.

根据程序框图，输入a,b,c后,输出的是a,b,c中的最小值，因此只要求出在［-2,2］上，x在那

个范围取值时，%（%）=小的值最小.通过在同一个坐标系中画出三个函数的图象，观察在各个范围

中图象的相对位置求解.

本题是程序框图与函数结合的题目，解题的关键是把问题转化成在［-2,2］上，x在那个范围取值时,

函数/3（x）=蓝的图象最低•

15.答案:-2

解析：解析：-"2,所以|a|=2网，又“与b的方向相反，所以a=-2b,所以m=-2.

b3

16.答案:立a

2

解析：

本题主要考查了平面与平面平行的性质，以及线段长度的求解，同时考查了推理能力，转化与划归

的思想，属于中档题.

连接GH、HN,根据面面平行的判定定理可知平面4BD〃平面GHN,又点M在四边形上及其内部

运动，则点M须在线段GH上运动，即满足条件，求出G”即可求出所求.

解：连接G4、HN,则GH〃BAi，HN//BD,

・•・在边长为。的正方体48。。一48传1。1中，E,F,G,"分别是CG，G%,DrD,CO的中点，

N是BC的中点，M在四边形上及其内部运动，MN〃平面

平面力$C〃平面GHN,

又点M在四边形上及其内部运动，

则点M须在线段G“上运动，即满足条件，GH=%，

2

则点"轨迹的长度是立a.

2

故答案为：立a.

2

17.答案：解：(1)设等差数列｛Qn｝的公差为d(d。0),由。1，。4,。13成等比数列，得*=。1・。13,

S3=a4+6,3。1+^=a】+3d+6,解得故d=2,=3,,所以4rl=2n+1；

(2),,6=2即=22〃+1,所以数列｛bn｝是以8为首项，4为公比的等比数列，

T8x(l-4n)2x4n+1-8

解析：本题考查待定系数法，考查学生对等差数列通项公式的理解能力，要求学生掌握等比数列的

结构特征，能判断一个数列是否为等比数列，并能根据等比数列求和公式求出该数列的前"项和.

(1)利用等差数列的通项公式表示出相应的项，待定系数法设出公差，根据“1，”3,“13成等比数列

列出关于公差的方程，通过求解该方程求出公差，进而写出该数列的通项公式；

(2)根据数列包工的通项公式写出数列｛bn｝的通项公式吗，发现该数列是等比数列，利用等比数列求

和公式求出其前〃项和.

18.答案:解:(I)从这140辆汽车中任取1辆,则该车行驶总里程超过5万公里的概率为竺嗯'=

(n)(回)依题意兀=嗤X14=5.

(回)5辆车中已行驶总里程不超过5万公里的车有3辆，记为A,B,C；

5辆车中已行驶总里程超过5万公里的车有2辆，记为M,N.

“从5辆车中随机选取2辆车”的所有选法共10种：AB,AC,AM,AN,BC,BM,BN,CM,CN,

MN.

“从5辆车中随机选取2辆车，恰有一辆车行驶里程超过5万公里”的选法共6种：AM,AN,BM,

BN,CM,CN.

设“选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里”为事件。，

则P(D)=H

答：选取2辆车中恰有一辆车行驶里程超过5万公里的概率为|.

解析：(I)根据概率公式计算即可，

(U)(团)根据分层值抽样的方法即可求出n的；

(回)一一列举出所有的基本事件，找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可

本题考查了古典概率模型的问题，关键是不重不漏的列举出基本事件，属于基础题

19.答案：(I)解：取中点。，连接P。，B0,如图所示，

•••△PAD是正三角形，二POLAD,

又•.・平面P4。_L平面ABCD,平面PAOn平面48co=A。，P。u平面PAO,

P0，平面ABCD,

B。为PB在平面ABC。上的射影，

二NPBO为PB与平面ABCD所成的角.

由已知△4B0为等边三角形，；.P0—B0—V3>

PB与平面ABCD所成的角为45。.

(H)证明：由菱形ABC。及4B4D=60。可得△4BD是正三角形，

AD1.B0,"POLAD,P。u平面POB,8。u平面尸。8,POcBO=O,

AD_L平面POB,•：PBu平面POB,

•••AD1PB,

又P4=48=2,N为PB中点，AN1.PB,

ANCtAD=A,ANc5p®ADMN,ADu平面ACMN,

•••PB1平面ADMN.

(HI)证明：连接ON,平面ADMN,ON为PO在平面ADWN上的射影,

■：ADIPO,由（n）知4。JL平面POB,NOu平面POB,

AD1NO,

故4P0N为所求二面角的平面角.

•.♦△POB为等腰直角三角形，N为斜边中点，••.NPON=45。

cos乙PON=—,

2

••・平面PA。与平面AOMN所成锐二面角余弦值为它.

2

解析：本题考查了线面、面面垂直的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的性质、线面角、二面

角等基础知识与基本能力，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力，属于中档题.

(I)取4。中点。,连接尸0,80.由于△P4O是正三角形，可得P。14D.利用面面垂直的性质可得P。1

平面A8C£>,可得“BO为PB与平面48co所成的角，由已知可得PO=B。，即可得出PB与平面

ABC。所成的角.

(U)利用菱形的性质和△ABD是正三角形，可得4。1B0,可得4D1平面POB,于是得到4。1PB,

利用等腰三角形的性质可得AN1PB,利用线面垂直的判定定理可得尸8_L平面ADMN.

(HI)连接ON,利用PB1平面可得"ON为所求二面角的平面角.利用APOB为等腰直角三

角形，N为斜边中点，可得平面PAO与平面AOMN所成锐二面角余弦值.

20.答案：解:(1)设过原点0的圆C的切线方程为y=kx.

y=kx代入/+y2—6y+8=0,可得：(/+l)x2—6kx+8=0

•・♦直线与圆相切，方程有两相等的实数根，

(-6/c)2-4(fc2+1)x8=0

整理，得N=8,[k=+2V2,

二过原点。的圆C的切线方程为y=±2V2x;

(2)/+y2―6y+8=0,即/+(y—3)2=1,

设点P坐标(cosa,3+sina),点A/坐标(x,y),则cosa=2x,sina=2y-3.

vcos2a+sin2a=1,(2x)2+(2y—3)2=1,x2+y2—3y+2=0,这就是所求的点M的轨迹

方程，是一个圆.

解析：(1)设过原点。的圆C的切线方程为y=与圆的方程联立，利用△=(),即可求过点。的

且与圆C相切的直线/的方程；

(2)若尸是圆C上的一动点，何是OP的中点，利用圆的参数方程，即可求点M的轨迹方程.

本题考查直线与圆的位置关系，考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

2L答案:解：/'(%)=3ax2—2(。+匕)Q+b,

由((}=0,得:a-|(a+b)+b=O,

故a=b,

故f(%)=ax3-2a%2+ax+c.

2

由(Q)=a(3x-4%4-1)=0,得%i=1,x2=1-

列表：

111

X1(1,+8)

(-°0>3)301)

r(x)+0—0+

f(x)增极大值减极小值增

由表可得，函数/(x)的单调增区间是(—8,1)及(L+8).

单调减区间是G，i).

解析：由/'G)=0求出a=b，然后求函数的单调区间；

本题考查导数的基本运算以及利用导数研究函数的极值与最值问题，通过表格可以比较直观的体现

函数的单调性与最值.

22.答案：解：(1)a=(2cosx,-l),K=(2sin(x+^),1),

・•・/(x)=a-b=4sm(x+-)cosx—1=4(smxcos-+cosxsin-)cosx—1

666

=4(ysinx+^cosx)cosx-1=V3sin2x+2cos2x-1=yj3sin2x+cos2x=2sin(2x+)

最小正周期7=方=兀；

(2)/(%)=2sin(_2x+~),

6

••=€［一罚］,...2丫+江［一*争,

则/(©max=2,yWmin=~L

解析：(1)把向量的坐标代入数量积公式，化简可得/(X)的解析式，利用周期公式求周期；

(2)由X的范围得到相位的范围，则三角函数的最值可求.

本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数的图象和性质，训练了三角函数值的求法，是中

档题.

23.答案：(1)若望=。，由①得，阳,•强=画，得%=厕，不可能,

若淀WIL,则由①吒*玛普碑丑明”=竺匣~~/2=蒯得您=71,

R-顿

由②得%,=—或:％=--^―，满足题意.

综上所述其=-1..

(2)设该2015阶“麟数列”的公差为国