人教B版（2023）必修第一册2.2.4均值不等式及其应用（含解析）

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（共21题）

一、选择题（共13题）

下列式子中最小值为的是

A．B．

C．D．

若，且，则下列不等式中，恒成立的是

A．B．C．D．

设，，则的最大值是

A．B．C．D．

下列各式中，对任何实数都成立的一个式子是

A．B．C．D．

设，，都是正实数，且，满足，则使恒成立的的取值范围是

A．B．C．D．

“”是“”的

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分也非必要条件

设非零实数，，则“”是“”成立的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

某工厂的产值第二年比第一年的增长率是，第三年比第二年的增长率是，而这两年中的年平均值增长值是，在为定值的情况下，的最大值为

A．B．

C．D．

当时，函数有

A．最小值B．最大值C．最小值D．最大值

设，则取得最小值时，的值为

A．B．C．D．

当时，若恒成立，则实数的取值范围为

A．B．

C．D．

已知正数，满足，则的最小值为

A．B．C．D．

直线和（）与轴围成的三角形的面积的最小值为

A．B．C．D．

二、填空题（共5题）

函数的最小值为，此时．

已知关于的不等式的解集为，则的最小值是．

已知正实数，满足，若恒成立，则实数的取值范围为．

已知函数，若时，恒成立，则实数的取值范围是．

设，，均为正实数，且，则的最大值为．

三、解答题（共3题）

设，，且．

(1)；

(2)与不可能同时成立．

若实数满足，则称比接近．

(1)若比接近，求的取值范围；

(2)对于任意的两个不等正数，，求证：比接近；

(3)若对于任意的非零实数，实数比接近，求的取值范围．

若，求证：．

答案

一、选择题（共13题）

1.【答案】D

2.【答案】D

【解析】因为，所以A错误．

对于B，C，当，时，明显错误．

对于D，因为，所以．

3.【答案】D

【解析】，当且仅当，即，时，等号成立，则的最大值是．

4.【答案】C

【解析】对于A，当时，无意义，故A不恒成立；

对于B，当时，，故B不恒成立；

对于D，当时，（当且仅当时，等号成立），故D不恒成立；

对于C，，所以恒成立．

5.【答案】D

【解析】因为，，都是正实数，且，

所以

当且仅当，即时，等号成立，此时，，

所以，要使恒成立，需．

6.【答案】A

【解析】，

所以“”是“”的充分非必要条件，故选A．

7.【答案】B

【解析】因为时，都有，即，而，所以“”是“”的必要不充分条件．

8.【答案】B

【解析】由题意知：，

所以，

当且仅当时等号成立，所以，

则在为定值的情况下，的最大值为．

9.【答案】B

【解析】，当且仅当，即时取等号，所以有最大值．

10.【答案】A

【解析】方法一：

因为，

当且仅当时取等号，

所以，

当且仅当时取等号，

所以

方法二：

当且仅当，，，

即，，时取等号，

故取得最小值时，

的值为．

11.【答案】D

【解析】因为，所以（当且仅当，即时取等号），

所以，又恒成立，

所以，所以．

所以实数的取值范围是．

12.【答案】A

【解析】，

所以，

所以

13.【答案】B

【解析】直线与轴交点为，与轴交点为，直线与的交点为，当且仅当时，等号成立．

二、填空题（共5题）

14.【答案】；

【解析】，

当，即，

所以．

15.【答案】

【解析】由于，故一元二次方程的判别式，

由根与系数的关系得则

当且仅当，时等号成立．

综上可得的最小值是．

16.【答案】

17.【答案】

【解析】，即，则，

所以，，

当且仅当时等号成立，所以，故的取值范围是．

18.【答案】

三、解答题（共3题）

19.【答案】

(1)由，，，得，

由基本不等式及，有，即．

(2)假设与同时成立，

则由及得；

同理得，从而，这与矛盾，

故与不可能同时成立．

20.【答案】

(1)由题意得：，则或．

由，求得或；

由，求得无解．

所以取值范围为．

(2)因为且，所以，且，

所以

则，

即比接近．

(3)由题