2021-2022学年青海省海南高级中学高一（上）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年青海省海南高级中学高一（上）期末数学试卷

1.已知集合4={x|2x<1},B={刈0<2%<5},则4UB=()

A.{x|j<x<|}B.[x]x<2}C.{x\x<D.{x\x>|}

2.AB=()

A.^C-CAB.CA-~BCC.-CA-JCD.AC+JC

3.已知扇形的圆心角为^rad,半径为10,则扇形的弧长为()

A.jB.1C.2D.4

4.简谐运动可用函数/(x)=4sin(8x-$，xe[0,+8)表示，则这个简谐运动的初相为.()

A.B.C.8x-^D.8x

5.已知指数函数/'(x)=(2。2-5(1+3)/在(0,+8)上单调递增，则实数a的值为()

A.1B.1C.|D.2

6.已知sin(7i+a)=M则sina=()

AB.一手C.孚D.一半

4444

-1

7.已知a=log23,b=2,c=log48,则a,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<b<a

9.己知函数f（%）=sin2%,则下列是函数f（x）图象的对称中心的坐标的是（）

A.（一兀⑼B.色0）C.（-2,0）D.或0）

10.若单位向量五，石满足|2百+5|=2衣，则向量五，石夹角的余弦值为（）

33C33

------

A.4545

11.一种药在病人血液中的量低于80mg时病人就有危险，现给某病人的静脉注射了这种药

10000,伤，如果药在血液中以每小时80%的比例衰减，那么应再向病人的血液中补充这种药

不能超过的最长时间为()

A.1.5小时，B.2小时C.2.5小时D.3小时

12.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了

.4

勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角

三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦__、/,

图”中，若BE=2EF,则丽

A展正+白雨7/

B.^BC+^BA

C.^BC+^BA

D-表前+,以

13.化简20—3另)+3(23-3)=.

14.已知f(x+l)=2丫-1,则/"(/"(2))=.

15.已知指数函数f(x)=ax(a>0且a*1))在区间［2,3］上的最大值是最小值的2倍，贝U

a=,

16.若函数/(x)=loga(l-ax)在(-8,/上单调递减，则实数a的取值范围为,

17.如图，在平行四边形A8CC中，设荏=优AD=b.

(1)用向量五，石表示向量左，前；

(2)若|五|=|3|,求证：近1前.

18.计算下列各式的值：

111

(1)(一4尸+log3618+log93log62-(-i)°；

5

2

(2)(lg5)+0.252x0.5-4+lg5*ig2+lg20.

19.已知五=(一1,3),方=(2,—4),沆=五一k瓦记=(k-l)五一当上为何值时;

(l)m//n；

(2)mln.

2

20.已知tana=

(1)求----不一的值；

''cosa-2sina

(2)求sin2a—2cos2a的值.

21.已知函数f(x)=7x+1.

(1)判断函数/'(%)在(0,+s)上的单调性，并用定义证明；

(2)记函数g(%)=f(x)+log2%,证明：函数g(x)在(0,+8)上有唯一零点.

22.已知函数f(x)=4sin(3%+程)(力＞0,to＞0,—兀＜口＜兀)的部分图象如图所示，点

4(0,-/)为函数/(X)的图象与y轴的一个交点，点8为函数/(X)图象上的一个最高点，且点

B的横坐标为｝点C(,,0)为函数/(x)的图象与x轴的一个交点.

(1)求函数/(%)的解析式；

(2)已知函数g(x)=Q/(X)+-苧)+b的值域为[一4,6],求m/?的值.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：4={x\x<1},F={x|0<x<|),

5

■.A\JB={x\x<2)-

故选：C.

可求出集合A,B,然后进行并集的运算即可.

本题考查了集合的描述法的定义，并集及其运算，考查了计算能力，属于简单题.

2.【答案】C

【解析】解：A：BC-CA=~BC+AC^AB,A不符合题意；

CA-'BC=CA+CB^AB,B不符合题意；

-CA-BC=AC+CB=AB,C符合题意；

AC+JCAB,不符合题意.

故选：C.

由已知结合向量加法及减法的三角形法则检验各选项即可判断

本题主要考查了向量加法及减法的三角形法则，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：因为扇形圆心角的弧度数|rad,半径为10,

所以根据扇形的弧长公式可得]=ar=|xl0=4,

故选：D.

由已知利用弧长公式即可计算扇形的弧长，

本题考查扇形的弧长的应用，正确运用公式是解题的关键，属于基础题.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了复合三角函数的初相的求法，考查了对定义的运用能力，属于基础题.

当函数y=4sin(3%+卬)(4>0,a>>0,xG[0,+8))表示一个简谐振动时,则%=0时的相位中叫

做初相，由定义即可求解.

【解答】

解：简谐运动可用函数f(x)=4sin(8x—xe[0,+8)表示，

当x=0时，8x0-3=-去则这个简谐运动的初相为一看

故选：B.

5.【答案】D

【解析】

【分析】

根据指数函数的定义和性质，列方程求出。的值，再判断增减性即可.

本题考查了指数函数的定义与性质应用问题，是基础题.

【解答】

解：根据指数函数的定义，令2a2-5。+3=1,

解得a=2或a=j；

又a=2时/(x)=2丫在R上是单调增函数，

a=；时/。)=尸在R上是单调减函数,

所以a的值为2.

故选：D.

6.【答案】B

【解析】解:由sin(兀+a)=-sina=苧知，sina=-当

故选：B.

利用诱导公式进行化简求值.

本题考查同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，是基本知识的考查.

7.【答案】B

-1

【解析】解：a=log23,b=2=I，c=log48=log2V8>

则a>c>b.

故选：B.

由已知结合对数运算性质及对数函数的单调性即可比较大小.

本题主要考查了对数的运算性质及对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：；M+121,又y=Inx在(0,+8)单调递增，y=In(%2+1)2Ini=0,

二函数的图象应在x轴的上方，又/(0)=ln(0+1)=Ini=0,图象过原点，

综上只有A符合.

故选：A.

x2+1>1,又y=Inx在(0,+8)单调递增，；.y=ln(/+1)2]nl=0,函数的图象应在x轴

的上方，

在令x取特殊值，选出答案.

对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题.

9.【答案】A

【解析】解：令2X=/OT,(keZ),整理得x=:，(keZ),

当k=—2H寸，选项A成立，

对于久=%一辅时，/G)=sin'=l,/'(一,)=sin(_[)=-1,/(^)=siny=y,

故A正确，B、C、。错误.

故选：4

直接利用正弦型函数的性质求出结果.

本题考查的知识要点：正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和

易错题.

10.【答案】A

【解析】解：根据题意，设向量有，工夹角为。,

若单位向量五，万满足|2五+方|=2或，

则有(24+至)2=4a2+K2+4a-b=5+4cos0=8,

则有cos。=i

故选：A.

根据题意，设向量正3夹角为。，由数量积的计算公式可得(2日+3)2=4片+始+4五不=5+

4cos6=8,变形可得答案.

本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题.

11.【答案】D

【解析】解：设时间为居

则10000(1-0.8)*>80,即00>0.008,解得x<3.

故选：D.

根据已知条件，可得10000(1-0.8尸280,BP0.2%>0.008,即可求解.

本题主要考查函数的实际应用，考查计算能力，属于基础题.

12.【答案】B

【解析】解：因为8E=2EF,

则前/前=：瓯+硝丽+|9=：死+g而=：就+|须一屁)=：近+

l(BA-2~EF),

7

所以前=合就+岩瓦I

故选：B.

由已知结合向量的线性表示及向量加法及减法的三角形法则可求.

本题主要考查了向量的线性表示，属于基础题.

13.【答案】-a

【解析】解：2(a-3b)+3(2b-a)=2a-6b+6b-3a=-a.

故答案为：-a.

由己知结合向量的线性运算即可求解.

本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.

14.【答案】0

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数值的求解，属于基础题.

由已知求出函数解析式，然后代入即可求解.

【解答】

解：因为f(x+l)=2丫-1,

所以f(x)=2*T-l,

则f(7(2))=f⑴=0.

故答案为：0.

15.【答案】城2

【解析】

【分析】

本题主要考查指数函数的单调性的应用，属于基础题.

利用指数函数的单调性，求出函数的最值，列出方程求解即可.

【解答】

解：对底数分类讨论：

3

当a>1时，函数/(x)在［2,3］上单调递增，最大值为。3,最小值为a?,则%=2,二a=2；

当0<a<l时，函数/(X)在［2,3］上单调递减，最大值为最小值为。3,则捻=2,a=g：

综上可得，实数”的值为2或去

故答案为：2或去

16.【答案】(1,4)

【解析】解：根据对数函数的定义得a>0且a丰1,

令t=l-ax,则函数t=1-ax在(-8，/上单调递减，

••,函数/(%)=loga(l-ax)在(一8币上单调递减，

且y=log/在(一8币单调递增，且1一ax>0在(一8,力上恒成立，

(a>1

•e,)-I1万、rv解得：1VaV4,

l［1-二4Q>u

故答案为：(1,4).

根据对数函数以及一次函数的性质，结合复合函数的单调性得到关于。的不等式组，解出即可.

本题考查了对数函数，一次函数的性质，考查复合函数的单调性问题，是基础题.

17.【答案】解：⑴在平行四边形ABC。中，AB=a,AD=b,

则尼=AB+AD=a+b,BD=AD-AB=b-a.

(2)证明：v|a|=\b\,

It-FD=(a+K)•(h-a)=b2-a2=|b|2-|a|2=0,

AC1~BD.

【解析】(1)根据已知条件，结合平面向量的线性运算，即可求解;

(2)根据已知条件，结合向量的数量积公式，即可求解.

本题主要考查平面向量的数量积公式，属于基础题.

0

18.【答案】解：(1)(-^)4+log3618+log93-{log62-(-J)

L/O

加。短罂+2•普-1

_1W+lg3)

(3)+2(lg2+lg3)

=-3+1-1

=-3；

5

(2)(lg5)2+0.252x0.5-4+lg5xlg2+lg20

24

=lg5(lg5+lg2)+[(i)]2X(j)-+1+lg2

11

=lg5+lg2+(引5x(^)-4+1

1

=14-2+1

_5

=2,

【解析】(1)直接利用有理指数基的运算性质求解；

(2)直接利用对数的运算性质求解.

本题考查有理指数幕的化简求值与对数的运算性质，考查运算求解能力，是基础题.

19.【答案】解：(1)•••m=(-1,3)-1(2,-4)=(-2k-1,4k+3),n=(k-1)(-1,3)-2(2,-4)=

(~~k—3,3k+5),

若记〃元，则有(一2二一1)(3，+5)=(一》-3)(40+3),整理为12-"2=0,

解得k=-1或2.

(2)若记J.元，有万•元=(-2k-l)(-k-3)+(4k+3)(3k+5)=0,整理为7k2+18k+9=0,

解得：人=亨2

【解析】(1)由题意，利用两个向量平行的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得k的值.

(2)由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式、两个向量坐标形式的运算法则,

计算求得%的值.

本题主要考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法

则，属于基础题.

20.【答案】解：⑴•••tana号,

2

一3-26

sina—2cosa_tana—22

2X-

cosa—2sina1—2tana3

sin2a—2cos2a_tan2a-2

(2)sin2a2cos2a14

sin2a+cos2atan2a+lIT

【解析】(1)分子分母同除以cosa,即可求解结论;

(2)分母1转化为siMa+cos2%再分子分母同除以cos2。，即可求解结论.

本题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力，属于基础题.

21.【答案】解：⑴函数〃x)在(0,+8)上单调递增,

以下给出证明：

X1x

任取0<Xi<X2,则/(X1)-/(x2)=V1+-V2+1=

因为0V与V%2，所以-x2<0,Jxi+1+yjx24-1>0,

所以扁港/<0,即/(小)一/。2)<°,

因此/O1)</(%2)，故函数f(%)在(0,+8)上单调递增.

证明：(2)因为g(}=1+log?；=苧-2V0,

g(l)=A/14-1-Vlog=V2—0>0,

所以由函数零点存在定理可知，函数g(x)在@,1)上有零点，

因为=V%+］和丫=10g2》都在(。,+8)上单调递增，

所以函数g(x)=f(x)+log2%在(。，+00)上单调递增，

所以函数9(%)在(0,+8)上有唯一零点.

【