吉林省长春市庆阳中心学校高三数学文摸底试卷含解析

吉林省长春市庆阳中心学校高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（

）A．11111；B．01110；C．11111；D．00011参考答案：C2.已知函数的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是A.

B.C.

D.参考答案：B略3.已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜）图象的一条对称轴为x=，则要得到函数F（x）=f′（x）﹣f（x+）的图象，只需把函数f（x）的图象（）A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍B．向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍D．向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意根据正弦函数的图象的对称性，求得φ的值，可得f（x）的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由于函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜）图象的一条对称轴为x=，可得2×+φ=kπ+，k∈Z，求得φ=kπ+，k∈Z．再结合0＜φ＜，可得φ=，f（x）=sin（2x+），∴f′（x）=2cos（2x+），∴F（x）=f′（x）﹣f（x+）=2cos（2x+）﹣sin（2x+）=2cos2xcos﹣2sin2xsin﹣cos2x=﹣sin2x．故把函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位，可得y=sin[2（x+）+]=﹣sin2x的图象；再把所得图象的纵坐标伸长为原来的倍，可得F（x）=﹣sin2x的图象，故选：C．4.已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2=1的左、右焦点，点为双曲线左支上任一点，自点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|=(

)A．1

B．2

C.4

D．参考答案：A5.已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．＞ B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x3＞y3参考答案：D【考点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质．【分析】本题主要考查不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质是解决本题的关键．【解答】解：∵实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），∴x＞y，A．若x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但==，故＞不成立．B．若x=1，y=﹣1时，满足x＞y，但ln（x2+1）=ln（y2+1）=ln2，故ln（x2+1）＞ln（y2+1）不成立．C．当x=π，y=0时，满足x＞y，此时sinx=sinπ=0，siny=sin0=0，有sinx＞siny，但sinx＞siny不成立．D．∵函数y=x3为增函数，故当x＞y时，x3＞y3，恒成立，故选：D．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．6.若复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z1=2﹣i，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】求出复数z2，代入表达式利用复数的除法运算法则化简求解即可．【解答】解：复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z1=2﹣i，z2=﹣2﹣i，复数====﹣i．在复平面内对应的点在第四象限．故选：D．7.已知{}是等差数列，且a1=1，a4=4，则a10=（）A．﹣ B．﹣ C． D．参考答案：A【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据题意，设等差数列{}的公差为d，结合题意可得=1，=，计算可得公差d的值，进而由等差数列的通项公式可得的值，求其倒数可得a10的值．【解答】解：根据题意，{}是等差数列，设其公差为d，若a1=1，a4=4，有=1，=，则3d=﹣=﹣，即d=﹣，则=+9d=﹣，故a10=﹣；故选：A．8.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知（a2012﹣1）3+2014a2012=0，（a3﹣1）3+2014a3=4028，则下列结论正确的是（）A．S2014=2014，a2012＜a3 B．S2014=2014，a2012＞a3C．S2014=2013，a2012＜a3 D．S2014=2013，a2012＞a3参考答案：A考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：构造函数f（x）=（x﹣1）3+2014x，由函数的单调性可判a2012＜a3，已知两式相加分解因式，由g（t）为增函数，且g（2）=4028，可得t=2，进而由等差数列的性质和求和公式可得．解答：解：构造函数f（x）=（x﹣1）3+2014x，则f′（x）=3（x﹣1）2+2014＞0，∴函数f（x）=（x﹣1）3+2014x单调递增，∵f（a3）=4028＞f（a2012）=0，∴a2012＜a3，排除B和D，已知两式相加可得（a2012﹣1）3+2014a2012+（a3﹣1）3+2014a3=4028分解因式可得（a3+a2012﹣2）[（a2012﹣1）2﹣（a2012﹣1）（a3﹣1）+（a3﹣1）2]+2014（a3+a2012）=4028，令a3+a2012=t，则有g（t）=[（a2012﹣1）2﹣（a2012﹣1）（a3﹣1）+（a3﹣1）2]（t﹣2）+2014t，∵[（a2012﹣1）2﹣（a2012﹣1）（a3﹣1）+（a3﹣1）2]＞0，∴g（t）为增函数，又∵g（2）=4028，∴必有t=2，即a3+a2012=2，∴S2014===2014故选：A点评：本题考查等差数列的求和公式，涉及函数的单调性的应用和构造函数的技巧，属中档题．9.“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；综合题．【分析】分别解出2a＞2b，log2a＞log2b中a，b的关系，然后根据a，b的范围，确定充分条件，还是必要条件．【解答】解：2a＞2b?a＞b，当a＜0或b＜0时，不能得到log2a＞log2b，反之由log2a＞log2b即：a＞b＞0可得2a＞2b成立．故选B．【点评】本题考查对数函数的单调性与特殊点，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题．10.已知为等差数列的前项和，若，，则的值为（

）A、

B、

C、

D、

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0(x1≠x2)，有>0.则f(－2)，f(1)，f(3)从小到大的顺序是________．参考答案：f(3)<f(－2)<f(1)12.若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是

。参考答案：13.已知是双曲线的两焦点,以线段为边作正三角形,若边的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是

参考答案：14.（1+2）3（1﹣）5的展开式中x的系数是

．参考答案：2【考点】二项式系数的性质．【分析】把所给的式子按照二项式定理展开，即可求得展开式中x的系数．【解答】解：由于（1+2）3（1﹣）5=（+++）?（++…+），故展开式中x的系数为1×（﹣）+×4×1=2，故答案为2．15.已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为

．参考答案：16.函数的单调增区间为______．参考答案：(－∞，1)17.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知函数（Ⅰ）求与，与；（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得结果，你能发现当时，与有什么关系？并证明你的发现；（Ⅲ）求.参考答案：(Ⅰ),,,（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可发现， （6分）证明如下： （8分）（III）由（II）知：，，…， ∴原式 19.一机器可以按各种不同速度转动，其生产的产品有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷产品的多少随机器运转速度而变化，用表示转速（单位：转/秒），用表示每小时生产的有缺陷产品的个数，现观测得到的4组观测值为（8,5），（12,8），（14,9），（16,11）．（1）画出散点图．（2）你能从散点图中发现零件数与加工时间近似成什么关系吗？如果近似成线性相关关系的话，请求出相应的回归直线方程;（3）若实际生产中所容许的每小时最多有缺陷产品数为10，则机器的速度不得超过多少转/秒？（精确到1）参考答案：（2）设回归直线方程为，则，，（3）；，所以，，；故：与之间的回归直线方程为（8分）（3）由，得．即机器的速度不得超过14转/秒．（12分）20.（本小题满分13分）如图，在正方体中，，，P，Q，M，N分别是棱，，，，，的中点.求证：（Ⅰ）直线∥平面；（Ⅱ）直线⊥平面.

第20题图参考答案：证明：（Ⅰ）连接AD1，由是正方体，知AD1∥BC1，

因为，分别是，的中点，所以FP∥AD1.

从而BC1∥FP.

而平面，且平面，故直线∥平面．

第20题解答图（Ⅱ）如图，连接，，则.由平面，平面，可得.又，所以平面.而平面，所以.因为M，N分别是，的中点，所以MN∥BD，从而.同理可证.又，所以直线⊥平面.21.（12分）（2015秋?黄冈月考）在直角坐标系xOy中，已知点A（a，a），B（2，3），C（3，2）．（I）若向量与夹角为锐角，求实数a的取值范围．（Ⅱ）若a=1，点P（x，y）在△ABC三边围成的区城（含边界）内，=m+n（m，n∈R），求m﹣n的最大值．参考答案：考点： 平面向量数量积的运算；函数的最值及其几何意义．专题： 平面向量及应用．分析： （I）由题意求得和的坐标，令=2（2﹣a）（3﹣a）＞0，求得实数a的取值范围．（Ⅱ）由=m+n=（m+2n，2m+n），由，可得m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，由图利用线性规划知识求得m﹣n的最大值．解答： 解：（I）由题意可得=（2﹣a，3﹣a），=（3﹣a，2﹣a），若向量与夹角为锐角，则=2（2﹣a）（3﹣a）＞0，求得a＜2或