人教A版（2023）必修第二册8.2立体图形的直观图（含解析）

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一、单选题

1．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔.令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值，胡夫金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米.因年久风化，胡夫金字塔现高约为136.5米，则与建成时比较顶端约剥落了（）

A．8米B．10米C．12米D．14米

2．如图所示，是水平放置的的直观图，轴，轴，，，则中，（）

A．B．C．D．

3．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为（）

A．4B．3C．2D．2

4．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称为攒尖．依其平面有圆形攒尖，三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也四有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示．某园林建筑屋顶为六角攒尖，它的主轮廓可近似看作一个正六棱锥（底面为正六边形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心）．若正六棱锥的侧棱与高线所成的角为，则其外接球半径与侧棱长的比值为（）

A．B．C．D．

5．水平放置的有一边在水平线上，它的斜二测直观图是边长为2的正，则的面积是（）

A．B．C．D．

6．如图，若斜边长为的等腰直角（与重合）是水平放置的的直观图，则的面积为（）

A．2B．C．D．8

7．已知直角梯形上下两底分别为分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（）

A．B．C．3D．6

8．某几何体有6个顶点，则该几何体不可能是（）

A．五棱锥B．三棱柱C．三棱台D．四棱台

9．若一个平面图形的斜二测直观图是一个边长为2的正方形（如图），则原图的周长为（）

A．B．16C．D．

10．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的最长棱的长度为（）

A．2B．C．D．4

11．某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（）

A．2B．C．D．1

12．采用斜二测画法作一个五边形的直观图，则其直观图的面积是原来五边形面积的

A．倍B．倍C．倍D．倍

二、填空题

13．如图所示，四边形ABCD是一平面图形的水平放置的斜二测直观图，四边形ABCD是一直角梯形，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y轴平行，若AB＝6，DC＝4，AD＝2，则这个平面图形的实际面积是________.

14．如图，是水平放置的的直观图，则的周长为________．

15．如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2，则的值是_____

16．如图所示，表示水平放置的用斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则△的边上的高为________.

三、解答题

17．用斜二测画法画长、宽、高分别为2cm，2cm，3cm的长方体的直观图．

18．画出一个上下底面边长分别为1,2,高为2的正三棱台的直观图.

19．已知一长方体的底面是边长为3cm的正方形，高为4cm，试用斜二测画法画出此长方体的直观图．

20．画底面边长为2cm，高为3cm的正四棱柱的直观图．

21．如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，，，能否判断的形状并求边的实际长度是多少？

试卷第1页，共3页

试卷第1页，共3页

参考答案：

1．B

由题设条件求出建成时的高度，从而得出答案.

【详解】

，（米）

故选：B

2．B

根据斜二测画法原则，由直观图判断原图中的长度，再利用勾股定理计算.

【详解】

在直观图中，，，

由斜二侧画法知，在中，，，且；

所以．

故选：B.

3．D

根据圆台底面半径，母线，高之间的关系l2＝h2＋(R－r)2求解.

【详解】

设圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R，

因为上、下底面面积分别为36π和49π，

所以

因为l2＝h2＋(R－r)2，

所以，解得h＝2，即两底面之间的距离为2.

故选：D

4．A

设底面中心为H，连接，由正棱锥性质知，底面，则，求得，设正六棱锥外接球半径为R，可求得，在直角中，利用勾股定理求得，即可求得的比值.

【详解】

如图，设底面中心为H，底面边长为a，连接，，

底面为正六边形，

由正棱锥性质知，底面

又侧棱与高所成的角为，，则，即

设正六棱锥外接球球心为O，半径为R，连接,则，

，

在直角中，，即

故选：A

方法点睛：本题考查正六棱锥的外接球，空间几何体与球接、切问题的求解方法：求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解，考查学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题.

5．C

根据直观图和原图面积比的关系，即得解

【详解】

由题意，.

且

故

故选：C

6．C

由斜二测还原图形计算即可求得结果.

【详解】

在斜二测直观图中，由为等腰直角三角形，，可得，.

还原原图形如图：则，则

.

故选：C

7．C

按照斜二测画法画出直观图，利用梯形面积公式便可求得其面积.

【详解】

如图所示，实线表示直观图，.

,

,

∴直观图的面积为,

故选：C.

本题主要考查斜二测画法，关键是掌握斜二测画法的要领.

8．D

根据几何体的结构判断．

【详解】

四棱台有8个顶点，不符合题意.，其他都是6个顶点．

故选：D．

9．B

由题意可得原图形是一个平行四边形，然后根据斜二测画法中直观图与原图的关系可求出平行四边形的边长，从而可求出其周长

【详解】

由题意，平面图形的斜二测直观图是一个边长为2的正方形，

所以原图形是一个平行四边形，

斜二测画法中平行于轴的边长在原图中长度为2，

斜二测画法中与轴垂直的边长在原图中的长度为，

则原图形的周长为2+2+6+6＝16．

故选：B．

10．C

由三视图得出该四棱锥为正四棱锥，再结合勾股定理得出答案.

【详解】

由三视图可知，该四棱锥为正四棱锥，正方形底面的边长为

侧棱长为，即最长棱的长度为

故选：C

11．A

如图截面为，P为MN的中点，设，，进而可得面积最大值.

【详解】

如图所示，截面为，P为MN的中点，设

,

当时，，此时截面面积最大.

故选：A

易错点睛：先求出面积的函数表达式进而判断最大值，本题容易误认为垂直于底面的截面面积最大.

12．D

根据斜二测画法中原图形面积与直观图面积的关系式即可得出答案.

【详解】

解：斜二测画法中原图形面积与直观图面积的关系式

所以

故选：D

13．

先利用梯形面积公式得到直观图的面积，再利用直观图与原图形面积的倍数关系进行求解.

【详解】

直角梯形ABCD的面积，设原图形面积为，则，则这个平面图形的实际面积

故答案为：

14．

根据斜二测画法的规则得到直角三角形的直角边长，用勾股定理求出斜边长可得结果.

【详解】

根据斜二测画法的规则可知，，，，

所以，

所以的周长为.

故答案为：.

关键点点睛：掌握斜二测画法的规则是解题关键.

15．

【详解】

设球半径为，则．故答案为．

点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策：①若给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．

16．

作线段，交轴于点，则所求的高为，根据三角知识即可求解．

【详解】

作线段，交轴于点，

则，

所以边上的高为

故答案为：．

17．见解析

由斜二测画法的规则画出直观图即可.

【详解】

画轴：画轴、轴、轴，使；

画底面：作水平放置的长方形的直观图，与重合，在轴上作，在轴上作，

过分别作轴的平行线交于点，即得长方形的直观图；

画侧棱：过各点作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取，使；

成图：连接，并去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到的图形即为正六棱柱的直观图．

18．见解析

建立空间直角坐标系,再根据斜二测画法的方法先后画出下上底面即可.

【详解】

①建立空间直角坐标系,画x轴y轴z轴相交于点O.使x轴与y轴的夹角为45°，y轴与z轴的夹角为90°，

②底面在y轴上取线段取，且以为中点，作平行于x轴的线段,使,在y轴上取线段,使.连接,则为正三棱台的下底面的直观图.

③画上底面在z轴上取,使,过点作,,建立坐标系.在中,类似步骤②的画法得上底面的直观图.

④连线成图连接,,,去掉辅助线,将被遮住的部分画成虚线,则三棱台即为要求画的正三棱台的直观图.

本题主要考查了立体图形的直观图画法,属于中等题型.

19．作图见解析.

根据斜二测法的作图步骤即可得到此长方体的直观图.

【详解】

1.画轴：画出轴，轴，轴，三轴相交于点，使得；

2.画底面：以点为中点，在轴上画，在轴上画，分别过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，设它们的交点分别为，则四边形即为该四棱柱的底面；

3.画侧棱：过点分别作轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长的线段，如图（1）所示；

4.成图：连接，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到该棱柱的直观图，如图（2）所示.

图（1）图（2）

20．见详解.

用斜二测法画直观图即可.

【详解】

21．答案见解析

由斜二测画法规则知：，从而易得边的实际长