理想气体压强公式推倒

本科毕业论文题目:理想气体压强公式的几种推导方法学院：物理与电子信息学院专业：应用物理学年级：2008级姓名：任广华指导教师：冯立芹完成日期：2012年5月25日目录中文摘要与关键词……………………1TOC\o"1-5"\h\zAbstractandKeyWords 2引言…………………1理想气体模型与统计假设 11.1理想气体分子模型 12理想气体分子统计假设 1不同容器中理想气体压强的初等推导到方法 1球形容器……………………2立方体容器…………………53任意形状容器 63.用速度分布函数推导理想气体的压强公式 8速度分布函数………………8用速度分布函数推导理想气体压强公式…………………8用统计物理方法推导理想气体的压强公式 9玻尔兹曼统计法……… 9正则系综理论法………………10结束语 12参考文献………… 13致谢…………………14简历…………………15摘要理想气体是热学中一个非常重要的理想模型，而压强是热学中描述气体性质的一个基本物理量。通过理想气体压强公式的推导，可以加强统计概念、统计规律的学习。本文根据分子运动论，按照统计规律分别采用不同的推导方法，都得2-到理想气体的压强公式为p=3n关键词:理想气体；统计假设；速度分布函数；波尔兹曼统计；正则系综理论AbstractTheideagasisaveryimportantideamodelinheat.Thepressureisdescribedasabasicphysicalquantityinthegaspressurethermalproperties.Throughtheideagaspressureformula,itcanstrengthenthestatisticalconceptsandstatisticallearning.Accordingtothetheoryofmolecularmotion,accordingtothestatisticalregularities,weusedifferentderivationmethodcangetthepressureformulaoftheidealgasf 2 -forp=n.3KeyWords:Idealgas;Statisticalhypothesis;Velocitydistributionfunction;Boltzmannstatistics;Canonicalensembletheory.引言压强是描述气体状态的力学量，是宏观量，其本质意义是系统在平衡态下大量气体分子相互碰撞的统计平均效应。理想气体压强公式是气体分子运动论的一个基本方程。通过压强公式的推导，可以加强统计概念，统计规律的学习，可以深入认识压强的实质。因此，对理想气体压强公式有详入探讨的必要。本文要从压强的实质出发，给予不同的推导方法和过程。理想气体模型与统计假设理想气体分子模型从气动理论来看，理想气体的分子结构必定与微观模型相对应。由气体分子热运动的基本特征出发，所以提出以下三点假设气体分子的大小与分子间的距离比较，可以忽略不计。这个假设体现了气体状态的特征，即气态。气体分子的运动服从经典力学的规律。在碰撞过程中，每一个分子都可看做是完全弹性的小球。此假设的实质是，在一般的条件下，对所有分子气体来说，经典描述近似有效，不必要用量子论。由于气体分子间的距离足够大,除了碰撞，分子间的作用力可忽略不计.因分子的动能平均来说要比它在重力场中的势能大，除了在研究气体分子在重力场中的分布情况,，因此分子重力也可忽略不计的。总之，气体被看做是自由地、无规则地运动着的弹性球分子的集合。这种模型就是理想那个气体的微观模型。即理想气体的分子模型。理想气体分子统计假设在推导理想气体压强公式时，对处于平衡状态下的理想气体作了两条统计假设(1)气体分子在空间均匀分布。(2)气体的性质与运动方向无关，分子向各个方向运动的几率相等。不同容器中理想气体压强公式的推导方法球形容器如图1，推导气体对球形面积的压强，假设碰撞是光滑表面弹性碰撞推导步骤:1F , ,⑴速度为v的一个分子一次碰撞施于器壁的冲量为2mvcosa。iii■⑵速度为v的一个分子连续两次碰撞器壁所需的时间为i2Rcosat= = ivvii图1.图1.球型容器推导压强公式ofpressureformulainsphericalvessel单位时间内分子碰撞器壁的次数为vU= i-2Rcosaidt时间内分子碰撞器壁的次数为Q3udt=iQ32Rcosadt时间内一个分子碰撞器壁施于器壁的冲量为Q5Q5Q6TOC\o"1-5"\h\zv mv2dk二2mvcosa i dt二i-dtii2Rcosa Ri⑶各种速度的分子在dt时间内对球面的冲量为Nmv2 mNk= i-dt= v2dtR Rii=1 i=1⑷由统计平均值导出方程设球的半径为R，单位体积内分子数为n,总分子数N，所以有4N=兀R3•n3m—m4 —k=一Nv2dt=兀R3•n•v2dtR R3由于计算的是球面上的压强，所以压强式中的S=4“R2，所以压强为41 2-nmv2=n£3 3Q1 2-nmv2=n£3 3Q8Q9Q10p=-—4“R2dt.p=nkT立方体容器如图2，推到立方体一个面的压强。假设碰撞是光滑平面弹性碰撞。l图2.l图2.立方体容器推导压强公式PressureformulaisdeducedinCubecontainer推导步骤:⑴速度为v的一个分子与器壁A面一次碰撞施于器壁的冲量为2mv。ii⑵速度为v的一个分子在dt时间内施于器壁一个面的冲量。dt时间内分子i碰撞器壁A面的次数为分dt，dt时间内分子碰撞器壁，施于器壁A面的冲量为TOC\o"1-5"\h\zdk二迓mvxdt二m迓v2dt Ql lixi=1 i=1⑶各种速度的分子在dt时间内对器壁一个面的冲量为k=》mtdt=m迓v2dt Ql lixi=1 i=1⑷由统计平均值导出方程1314乙v1314 ixv2=-4=1 xN,m「—,mN—,k=Nv2dt= v2dtlxl3x因为计算的是一个面上的压强所以S=/2，故压强为mN—,vmN—,v2dtl312dt1N 1 2-mv2=nmv2=n313 3 315任意形状的容器如图3,推导气体对任意形状容器器壁上的任一面积元dS的压强。假设碰撞为光滑平面弹性碰撞，根据速度大小将分子分成很多组，每个组内的部分速度的大小和方向都一样。

推导步骤:⑴速度为v的一个分子一次碰撞施于器壁的冲量为2mv。iix⑵速度为v的分子在dt时间内施于dS面的冲量。dt时间内与dS面相碰的分i子处图3的斜柱体内，分子数为nvdtdS。iix速度为v的分子在dt时间内施于dS面的冲量为idk=2mvnvdtdS=2mnv2dSdtixiixiix⑶各种速度的分子在dt时间内施于dS面的冲量为m工nv2dSdtiixk二2mm工nv2dSdtiixiixii（v0）式中求和的限制是表示只沿x轴正方向运动(v>0)的分子才能碰撞到dS面ix上，由于气体整体无运动，根据等几率性知各方向的几率相等，所以v>0与ixv<0的分子数各占沿x轴运动的分子数的一半。所以取消求和限制后，数值增ix大一倍，所以等式要除2才能成立。⑷由统计平均值导出方程又由几率性知所以压强为工nv2iix又由几率性知所以压强为工nv2iixv2二 xnv2=v2=v2=v2xyz31k=mnv2dSdt=nmv2dSdtx3dkdSdt1 2-=—nmv2=ns3 3Q18Q19Q20Q21用速度分布函数推导理想气体的压强公式速率度分布函数

假设有一定量的气体它的体积为总V，分子数为N,所以得出分子数密度为Q22—► «—fr1设dN为速度在某一间隔v~v+dv内的分子数，它的大小与间隔的大小dv成正比，所以dN；;N表示分布在这一间隔内内的分子数占总分子数的百分率。则dNN与dv成正比。在不同的速度v附近取相等的间隔时，可以看出百分率dNN的数值一般不相等。dN'N还与v有关。所以有dN~N~dN~N~式中的f()-dN，表示速度分布在v附近单位速度间隔内的分子数占总分Ndv子数的百分比，称为速度分布函数。显然，1-f子数的百分比，称为速度分布函数。显然，1-fV—g面就用速度分布函数来导出理想气体的压强公式。用速度分布函数推导理想气体压强公式—OL —* —*由速度分布函数可得，体积V内，速度分布在v〜v+dv范围内的，单位时间内与器壁面积发生碰撞的分子数为Nufvdv=nufvdvVxx单位面积所受的力为dp=n•2mu2fvdv所以压强为x所以压强为fQ-f() -p=JnfvQmu2dv=Jnfvmu2dvx—g<U^<+g=?Jnfvmu2dvf©2-fv£dv=ns3上式就是由速度分布函数得出的理想气体的压强公式。用统计物理方法推导理想气体的压强公式玻尔兹曼统计法

一般气体满足经典极限条件，应遵从玻尔兹曼分布。为了方便起见，我们考虑单原子分子理想气体，分子间的作用力可忽略不计。在没有其他外场的作用时，可把单原子分子理想气体中分子的运动看作是粒子在容器中的自由运动。根据三维自由例子的能量可能值12mC2+p2+p2xyz其中p,p,p是可能值。不过在宏观大小的容器内，动量值和能量值都是12mC2+p2+p2xyz其中p,p,p是可能值。不过在宏观大小的容器内，动量值和能量值都是xyz准连续的。又根据自由粒子的量子态数为dndndnxyzdpdpdp=dpdpdpxy zh3 xyz在dxdydzdpdpdp的范围内，配分函数为xyzdxdydzdpdpdpxyz将上式积分可求得(2兀m丫2Z=VIh2卩丿Q30气体的体积V=ffldxdydz。根据广义力的统计表达式得出p二——InZPdV由⑤式可求得理想气体的压强公式为NNkTp= InZ=—pav v30£=kT22-:.p=n£3Q31Q32Q33Q34正则系综理论法具有确定的N、V、T值的系统用正则系综讨论，相当于与大热源接触而达到平衡的系统。由于系统与热源之间的能量交换，所以系统的微观状态具有不同的能量值。在给定的N、T、V下，系统的能量是一切可能的微观状态下的平均值。单原子分子气体只需考虑分子的平动，平动动能是准连续的，可以应用经典统计理论处理。由N个单原子分子组成的理想气体，其能量的经典表达式为E仝佯2mi=11 邛艺乎1 邛艺乎Je：j23mdqAdqdpAdpi 1 3N1 3NZ=N！h3N冬HJe-瓷dpN!h3n ii=13NVn2兀mNTl丽丿气体的压强为p=1±inZ=咯乞inV=NT

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0s=kT2参考文献程守珠等.普通物理学[M].人民教育出版社.1978.顺建中.热学教程[M].高等教育出版社.1981.李椿等•热学[M].人民教育出版社.1978.王竹溪.热力学[M].高等教育出版社.汪志诚.热力学统计物理[M].高等教育出版社（第四版）.赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程热学[M].高等教育出版社.1998.致谢本研究及学位论文是在我的导师冯立芹老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。她严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作和学习中的榜样；她循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪。从课题的选择到论文的最终完成，冯老师始终给予我细心的指导和不懈的支持。四年多来，冯老师不仅在学业上给我以精心指导，同时在思想上还给予我无微不至的关怀，在此谨向冯老师致以诚挚的谢意和敬意。在论文即将完成之际，我的心情无法平