高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细答案)

高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细答案)首先，画出函数y=-x^2+2|x|+3的图像，然后确定函数的单调区间。当x≥0时，y=-x^2+2x+3=-(x-1)+4；当x<0时，y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4。因此，在区间（-∞，-1］和［1，+∞）上，函数是增函数；在［-1，1］上，函数是减函数。需要注意的是，函数单调性是针对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，因此对于区间端点只要函数有意义，都可以带上。接下来，考虑函数f（x）=x^2+2(a-1)x+2在区间（-∞，4］上是减函数的情况下，求实数a的取值范围。首先，要充分运用函数的单调性，以对称轴为界线这一特征。将f（x）=x^2+2(a-1)x+2写成［x+(a-1)］^2-(a-1)^2+2的形式，可以发现其对称轴是x=1-a。因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x=1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3。最后，判断函数f（x）=-2的奇偶性和函数f（x）=(x-1)的奇偶性。对于第一个函数，其定义域为R，因为f（-x）=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f（x），因此f（x）为奇函数。对于第二个函数，其定义域为{x|-1≤x＜1}，不关于原点对称，因此f（x）既不是奇函数，也不是偶函数。判断函数的奇偶性时，需要先求出函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称。然后计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x）之一是否成立。如果f（-x）与-f（x）的关系不明确，可以考查f（-x）±f（x）是否成立，从而判断函数的奇偶性。最后，对于函数f（x）=|x|/x，需要判断其奇偶性并确定其在（-∞，+∞）上是增函数还是减函数。由于f（x）的定义域为R，且f（-x）=f（x），因此f（x）为偶函数。又因为f（x）在x<0和x>0时分别等于-1和1，因此在（-∞，0）和（0，+∞）上分别为减函数和增函数，即在（-∞，+∞）上为奇函数。所以$x_1+x_2<x_1^2+x_2^2$，即$f(x_1)-f(x_2)<0$。根据函数的增减性定义，得$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上为减函数。评析：需要将符号错误的地方进行修改，同时在表述时要更加清晰准确，避免出现歧义。例4已知$y=f(x)$是奇函数，它在$(0,+\infty)$上是增函数，且$f(x)<0$，试问$F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt$在$(-\infty,+\infty)$上是增函数还是减函数？证明你的结论。分析：根据函数的增减性定义，对于任意$x_1<x_2$，有$F(x_1)-F(x_2)=\int_{-\infty}^{x_1}f(t)dt-\int_{-\infty}^{x_2}f(t)dt=\int_{x_2}^{x_1}f(t)dt$。因为$f(x)<0$，所以$\int_{x_2}^{x_1}f(t)dt<0$，即$F(x_1)-F(x_2)<0$，故$F(x)$在$(-\infty,+\infty)$上为减函数。评析：需要将符号错误的地方进行修改，同时在表述时要更加清晰准确，避免出现歧义。另外，需要注意符号与数值的区别，避免混淆。2.作差f(x1)-f(x2)，并将此差式变形；3.判断f(x1)-f(x2)的正负，从而确定函数的单调性。例6：证明函数f(x)=x+(k>0)在区间(0,k]上单调递减。解：设0<x1<x2≤k，则f(x1)-f(x2)=x1-x2<0因为x1<x2，所以x1-x2<0。因此，f(x1)>f(x2)，即f(x)=x+(k>0)在区间(0,k]上是减函数。评析：函数f(x)在给定区间上的单调性反映了函数f(x)在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质。因此，若要证明f(x)在[a,b]上是增函数（减函数），就必须证明对于区间[a,b]上任意两点x1，x2，当x1<x2时，都有不等式f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)）。类似可以证明：函数f(x)=x+(k>0)在区间[k,+∞)上是增函数。例7：判断函数f(x)=|x-2|的奇偶性。分析：确定函数的定义域后可脱去绝对值符号。解：由f(x)=|x-2|得函数的定义域为[-1,1]。这时，|x-2|=2-x。∴f(x)=2-x。∴f(-x)=2-(-x)=x+2=f(x)。且注意到f(x)不恒为零，从而可知，f(x)=2-x是偶函数，不是奇函数。评析：由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具有奇偶性，若不作深入思考，便会作出其非奇非偶的判断。但隐含条件（定义域）被揭示之后，函数的奇偶性就非常明显了。这样看来，解题中先确定函数的定义域不仅可以避免错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题过程。函数奇偶性练习一、选择题1.已知函数f(x)=ax^4+bx^2+c（a≠0）是偶函数，那么g(x)=ax^4+bx^2+c（a≠0）的奇偶性为：A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数解析：因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)。将g(x)代入得到g(-x)=a(-x)^4+b(-x)^2+c=ax^4+bx^2+c=g(x)。所以g(x)是偶函数。答案：B2.已知函数f(x)=ax^2+bx+3a+b是偶函数，且其定义域为[a-1,2a]，则a=2，b=A.1B.-1C.2D.3解析：因为f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)。将f(x)代入得到f(-x)=a(-x)^2+b(-x)+3a+b=ax^2+bx+3a+b=f(x)。因为定义域为[a-1,2a]，所以有2a-a+1>=0，即a>=-1/2。又因为a≠0，所以a>0。因此，a=2。将a=2代入得到2x^2+bx+7b=f(x)。因为f(x)是偶函数，所以b=0。因此，b=0。答案：B3.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥2时，f(x)=x-2x，则f(x)在R上的表达式是：A.f(x)=x-2xB.f(x)=xC.f(x)=x+2xD.f(x)=-x解析：因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)。当x≥2时，f(x)=x-2x=-x。因此，当x<2时，f(x)=2x-x=x；当x≥2时，f(x)=-x。综上可得f(x)=|x|。答案：Dx＜0时，f（x）＝－x2＋2x，f（x）为偶函数，故选B．4．解析：代入f（－2）＝10得－2a－2b＝20，代入f（2）得2a＋2b＝14，解得a＝－6，b＝7，代入f（2）得f（2）＝－26，故选A．5．解析：化简得f（－x）＝f（x），故为偶函数，选A．6．解析：由a（x）＋bg（x）＝f（x）－2，得a（－x）＋bg（－x）＝f（－x）－2，又因为（x）和g（x）均为奇函数，故f（x）也为奇函数，故在（－∞，）上有最小值－5，故选A．7．解析：化简得f（－x）＝－f（x），故为奇函数，选奇函数．8．解析：化简得m＝2，故选2．9．解析：化简得f（x）＝12（1x1－g（x）），由f（x）为偶函数，故g（x）为奇函数，故f（x）为偶函数，选12（1x1－g（x））．10．解析：由偶函数的性质可知，f（5）＝f（－5），f（10）＝f（－10），设f（a）＝0，则f（－a）＝0，故所有实根为5，－5，10，－10，其和为0，故选0．11．解析：由偶函数的性质可知，f（1－m）＝f（m），又因为f（x）在区间［，2］上单调递减，故当0＜m＜1时，f（1－m）＞f（m），当m＝0或m＝1时，f（1－m）＝f（m），故实数m的取值范围为m∈［0，1］．12．解析：由f（0）≠可知，f（x）不是常数函数，故存在x0，使得f（x0）≠0，令y＝x－x0，则f（y＋x0）＋f（y－x0）＝2f（y）·f（x0），代入y得f（x＋x0）＋f（x－x0）＝2f（x）·f（x0），由于f（x）是奇函数，故f（－x）＝－f（x），代入得f（x－x0）＝－f（x0－x），故f（x＋x0）－f（x0－x）＝2f（x）·f（x0），即f（x＋x0）＋f（x0－x）＝2f（x）·f（x0），故f（x）是偶函数．13．解析：由f（x）为奇函数可知，f（－x）＝－f（x），代入得f（x）＝x＋2|x|－1，分段讨论可得f（x）＝{2x－1，x＞0－2x－1，x＜00，x＝0}，故选B．14．解析：由f（x）在［5，＋∞）上单调递减可得，对于x1＜x2，有f（x1）＞f（x2），即f（－x1）＜f（－x2），故f（x）在（－∞，－5］上单调递增，用定义证明即可．15．解析：令x＝y，则f（x2）＝2f（x）·f（y），即f（x）＝2f（x）·f（x），故f（x）为偶函数．1.当$x<0$时，$f(x)=-x^2-2x=-x(x+2)$。因为$x<0$，所以$-x>0$，$-x-2<0$，所以$f(x)$是一个奇函数。改写为$f(x)=-x(x+2)$。2.解方程组得$a=1$，$b=-1$。因为$x(x-2)$在$x\geq0$时单调递增，在$x<0$时单调递减，所以$f(x)$为奇函数。改写为$f(x)=x(|x|-2)$。3.删除该段。4.因为$f(x)+8=x+ax+bx$是奇函数，所以$a=b=0$，即$f(x)=x-8$。代入$f(-2)+8=18$得$f(2)+8=-18$，解得$f(2)=-26$。5.因为$f(x)$是偶函数，所以$f(-x)=f(x)$。又因为$\phi(x)$和$g(x)$是奇函数，所以$f(x)-2=a\phi(x)+bg(x)$也是奇函数。改写为$f(x)=a\phi(x)+bg(x)+2$。因为$f(x)-2$在$(-\infty,+\infty)$上有最大值$3$，所以$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上有最大值$5$，即$a+b=1$，$a-b=3$，解得$a=2$，$b=-1$。因为$\phi(x)$和$g(x)$均为奇函数，所以$f(x)$也为奇函数。6.因为$\phi(x)$和$g(x)$均为奇函数，所以$f(x)-2=a\phi(x)+bg(x)$也是奇函数。又因为$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减，所以$f(x)-2$在$(-\infty,0)$上单调递减。所以$f(x)-2$在$(-\infty,+\infty)$上有最小值$-3$，即$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上有最小值$-1$。7.删除该段。8.因为$y=(m-1)x+2mx+3$是偶函数，所以$f(-x)=f(x)$。代入$f(x)=mx^2+2x-1$得$m=2$。9.因为$f(x)$是偶函数，$g(x)$是奇函数，所以$f(x)-g(x)$是奇函数，$f(x)+g(x)$是偶函数。设$h(x)=f(x)-g(x)$，$k(x)=f(x)+g(x)$，则$h(x)$是奇函数，$k(x)$是偶函数。因为$h(x),k(x)\neq0$，所以$\frac{h(x)}{k(x)}$的奇偶性与$h(x),k(x)$相同，即$\frac{h(x)}{k(x)}$是奇函数。代入$\frac{h(x)}{k(x)}=\frac{2x-1}{x-1}$得$f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$。10.因为$f(x)$是奇函数，所以$f(0)=0$。11.因为$f(x)$是偶函数，所以$f'(0)=0$。又因为$f''(x)>0$，所以$m<\frac{1}{2}$。12.因为$f(x)+f(y)=2f(\frac{x+y}{2})f(\frac{x-y}{2})$，代入$x=y$得$f(x)=f^2(\frac{x}{2})$。因为$f(x)>0$，所以$f(\frac{x}{2})>0$，所以$f(x)=f(\frac{x}{2})^2$。令$x=y$得$f(2x)=f(x)^2$，即$f(x)$是偶函数。13.当$x<0$时，$f(x)=x+2x-1=-x(x-3)$。因为$-x>0$，$-x-3<0$，所以$f(x)$是奇函数。当$x=0$时，$f(x)=0$。当$x>0$时，$f(x)=x+2x-1=3x-1$。因为$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增，所以$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上单调递增。改写为$f(x)=\begin{cases}-x(x-3),&x<0\\0,&x=0\\3x-1,&x>0\end{cases}$。14.因为$f(x)$在$[5,+\infty)$上单调递减，所以$f(-x)<f(-5)$，即$f(x)>f(5)$。因为$f(x)$在$(-\infty,-5]$上单调递减，所以$f(x)$在$(-\infty,-5]$上单调递减。因为$f(x)$在$(-