2023苏科版八年级 下 期末数学常考试题100题 解析版 名校版

【文库独家】苏科版八年级（下）期末数学常考试题100题参考答案与试题解析一、选择题（共30小题）1．（常考指数：57）如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）A．35°B．45°C．50°D．55°考点：菱形的性质．专题：压轴题．分析：延长PF交AB的延长线于点G．根据已知可得∠B，∠BEF，∠BFE的度数，再根据余角的性质可得到∠EPF的度数，从而不难求得∠FPC的度数．解答：解：延长PF交AB的延长线于点G．在△BGF与△CPF中，，∴△BGF≌△CPF（ASA），∴GF=PF，∴F为PG中点．又∵由题可知，∠BEP=90°，∴EF=PG（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∵PF=PG（中点定义），∴EF=PF，∴∠FEP=∠EPF，∵∠BEP=∠EPC=90°，∴∠BEP﹣∠FEP=∠EPC﹣∠EPF，即∠BEF=∠FPC，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，∠ABC=180°﹣∠A=70°，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE=BF，∠BEF=∠BFE=（180°﹣70°）=55°，∴∠FPC=55°．故选：D．点评：此题主要考查了菱形的性质的理解及运用，灵活应用菱形的性质是解决问题的关键．2．（常考指数：50）如图，P是Rt△ABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过P点作一直线，使截得的三角形与Rt△ABC相似，这样的直线可以作（）A．1条B．2条C．3条D．4条考点：相似三角形的判定．分析：本题要根据相似三角形的判定方法进行求解．解答：解：过点P可作PE∥BC或PE∥AC，可得相似三角形；过点P还可作PE⊥AB，可得：∠EPA=∠C=90°，∠A=∠A，∴△APE∽△ACB；所以共有3条．故选：C．点评：此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．3．（常考指数：47）计算：tan60°+2sin45°﹣2cos30°的结果是（）A．2B．C．D．1考点：特殊角的三角函数值．分析：根据特殊角的三角函数值计算即可．解答：解：原式=+﹣=．故选：C．点评：本题考查了对特殊角的三角函数值的应用，主要考查学生的记忆能力和计算能力．4．（常考指数：50）如图所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是（）A．邻边不等的矩形B．等腰梯形C．有一个角是锐角的菱形D．正方形考点：三角形中位线定理．分析：可画出图形，令相等的线段重合，拼出可能出现的图形，然后再根据已知三角形的性质，对拼成的图形进行具体的判定．解答：解：如图：此三角形可拼成如图三种形状，（1）为矩形，∵有一个角为60°，则另一个角为30°，∴此矩形为邻边不等的矩形；（2）为菱形，有两个角为60°；（3）为等腰梯形．故选：D．点评：这是一道生活联系实际的问题，不仅要用到三角形中位线的性质、菱形、等腰梯形、矩形的性质，还锻炼了学生的动手能力．解答此类题目时应先画出图形，再根据已知条件判断各边的关系．5．（常考指数：49）在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是（）A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外考点：点与圆的位置关系．分析：先找出与点A的距离为2的点1和5，再根据“点与圆的位置关系的判定方法”即可解．解答：解：由于圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，∴当d=r时，⊙A与数轴交于两点：1、5，故当a=1、5时点B在⊙A上；当d＜r即当1＜a＜5时，点B在⊙A内；当d＞r即当a＜1或a＞5时，点B在⊙A外．由以上结论可知选项B、C、D正确，选项A错误．故选：A．点评：本题考查点与圆的位置关系的判定方法．若用d、r分别表示点到圆心的距离和圆的半径，则当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．6．（常考指数：70）在同一直角坐标系中，函数y=kx﹣k与y=（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．专题：压轴题；数形结合．分析：根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．解答：解：解法一：系统分析当k＞0时，一次函数y=kx﹣k经过一、三、四象限，反比例函数的y=（k≠0）的图象经过一三象限，选项中没有符合条件的图象，当k＜0时，一次函数y=kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数的y=（k≠0）的图象经过二四象限，D选项的图象符合要求，解法二：具体分析A、由一次函数的图象得出k＜0，而反比例函数的开口方向也应该是在第二、四象限即：k＜0，不符合题意，故A选项错误；B、由一次函数的图象得出k＞0，而反比例函数的开口方向也应该是在第一、三象限即：k＞0，不符合题意，故B选项错误；C、由一次函数的图象得出k＞0，即与y轴的交点在y轴负半轴，不符合题意，故C选项错误；D、由一次函数的图象得出k＜0，与y轴的交点也在正半轴，反比例函数图象也是在第二四象限，符合题意，故D选项正确；故选：D．点评：此题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．7．（常考指数：50）有下列命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②两点之间，线段最短；③相等的角是对顶角；④两个锐角的和是锐角；⑤同角或等角的补角相等．正确命题的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：同位角、内错角、同旁内角；线段的性质：两点之间线段最短．分析：此题考查的知识点多，用平行线的性质，对顶角性质，补角的定义等来一一验证，从而求解．解答：解：①忽略了两条直线必须是平行线，故①错误；②两点之间，线段最短是公理，故②正确；③不应忽略相等的两个角的两条边必须互为反向延长线，才是对顶角，故③错误；④举一反例即可证明是错的：80°+60°=170°，170°显然不是锐角，故④错误．⑤根据补角定义如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角，同角的补角相等．比如：∠A+∠B=180°，∠A+∠C=180°，则∠C=∠B．等角的补角相等．比如：∠A+∠B=180°，∠D+∠C=180°，∠A=∠D，则∠C=∠B．故⑤正确．故正确的有②⑤．故选：A．点评：此题考察了平行线的性质，对顶角性质，两点之间线段最短的性质等，涉及知识较多，请同学们认真阅读，最好借助图形来解答．8．（常考指数：62）如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：根据题意，易证△AEH∽△AFG∽△ABC，利用相似比，可求出S△AEH、S△AFG面积比，再求出S△ABC．解答：解：∵AB被截成三等分，∴△AEH∽△AFG∽△ABC，∴，∴S△AFG：S△ABC=4：9S△AEH：S△ABC=1：9∴S阴影部分的面积=S△ABC﹣S△ABC=S△ABC故选：C．点评：本题主要考查了利用三等分点求得各相似三角形的相似比，从而求出面积比计算阴影部分的面积，难度适中．9．（常考指数：45）如图，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是（）A．B．C．D．考点：剪纸问题．专题：压轴题．分析：由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解结合实际操作解题．解答：解：在对折后的三角形的三个角上各挖去一个洞，展开后会得到6个洞，排除了第二个图形；在三角形的角上挖洞，展开后洞肯定还是在角上，排除了第一和第四个图形；所以答案为第三个图形；故选：C．点评：此题主要考查学生的动手实践能力和想象能为．10．（常考指数：106）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．50°B．55°C．60°D．65°考点：翻折变换（折叠问题）．专题：数形结合．分析：首先根据AD∥BC，求出∠FED的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，则可知∠FED=∠FED′，最后求得∠AED′的大小．解答：解：∵AD∥BC，∴∠EFB=∠FED=65°，由折叠的性质知，∠FED=∠FED′=65°，∴∠AED′=180°﹣2∠FED=50°．故∠AED′等于50°．故选：A．点评：本题考查了：1、折叠的性质；2、矩形的性质，平行线的性质，平角的概念求解．11．（常考指数：56）已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（）A．第二，三象限B．第一，三象限C．第三，四象限D．第二，四象限考点：反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式．专题：压轴题；待定系数法．分析：先把点代入函数解析式，求出k值，再根据反比例函数的性质求解即可．解答：解：由题意得，k=﹣1×2=﹣2＜0，∴函数的图象位于第二，四象限．故选：D．点评：本题考查了反比例函数的图象的性质：k＞0时，图象在第一、三象限，k＜0时，图象在第二、四象限．12．（常考指数：51）已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定．分析：△ABC是等腰三角形，底角是75°，则顶角是30°，看各个选项是否符合相似的条件．解答：解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，∴∠C=75°，∠A=30°，A选项中三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，B选项中三角形各角的度数都是60°，C选项中三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，D选项中三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，故选：C．点评：此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定的理解和掌握，此题难度不大，但综合性较强．13．（常考指数：67）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（）A．6米B．8米C．18米D．24米考点：相似三角形的应用．专题：应用题．分析：由已知得△ABP∽△CDP，则根据相似形的性质可得，解答即可．解答：解：由题意知：光线AP与光线PC，∠APB=∠CPD，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴，∴CD==8（米）．故选：B点评：本题综合考查了平面镜反射和相似形的知识，是一道较为简单的题，考查相似三角形在测量中的应用．14．（常考指数：69）若不等式组有解，则a的取值范围是（）A．a＞﹣1B．a≥﹣1C．a≤1D．a＜1考点：解一元一次不等式组．分析：先解出不等式组的解集，根据已知不等式组有解，即可求出a的取值范围．解答：解：由（1）得x≥﹣a，由（2）得x＜1，∴其解集为﹣a≤x＜1，∴﹣a＜1，即a＞﹣1，∴a的取值范围是a＞﹣1，故选：A．点评：求不等式组的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知数处理，求出不等式组的解集并与已知解集比较，进而求得另一个未知数的取值范围．15．（常考指数：52）在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（）A．B．C．D．考点：概率公式．专题：应用题；压轴题．分析：先求出球的所有个数与红球的个数，再根据概率公式解答即可．解答：解：∵共8球在袋中，其中5个红球，∴其概率为，故选：C．点评：本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中．16．（常考指数：46）函数y=kx+1与函数y=在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．专题：压轴题．分析：根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论．当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．解答：解：分两种情况讨论：①当k＞0时，y=kx+1与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，y=的图象在第一、三象限；②当k＜0时，y=kx+1与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，y=的图象在第二、四象限．故选：A．点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．17．（常考指数：48）甲、乙、丙三个同学排成一排拍照，则甲排在中间的概率是（）A．B．C．D．考点：概率公式．专题：压轴题．分析：列举出所有情况，看甲排在中间的情况占所有情况的多少即为所求的概率．解答：解：甲、乙、丙三个同学排成一排拍照有以下可能：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，全部6种情况，只有2种甲在中间，所以甲排在中间的概率是，也就是．故选：C．点评：本题用了列举法求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．18．（常考指数：84）如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD•AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：相似三角形的判定．专题：压轴题．分析：由图可知△ABC与△ACD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．解答：解：有三个．①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；故选：C．点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况．19．（常考指数：54）若关于x的方程有增根，则m的值是（）A．3B．2C．1D．﹣1考点：分式方程的增根．专题：计算题．分析：有增根是化为整式方程后，产生的使原分式方程分母为0的根．在本题中，应先确定增根是1，然后代入化成整式方程的方程中，求得m的值．解答：解：方程两边都乘（x﹣1），得m﹣1﹣x=0，∵方程有增根，∴最简公分母x﹣1=0，即增根是x=1，把x=1代入整式方程，得m=2．故选：B．点评：增根问题可按如下步骤进行：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．20．（常考指数：66）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣2，x）在第二象限，则x的取值范围为（）A．0＜x＜2B．x＜2C．x＞0D．x＞2考点：点的坐标．分析：根据第二象限内的点的坐标特征，列出不等式组，通过解不等式组解题．解答：解：∵点P（x﹣2，x）在第二象限，∴，解得0＜x＜2，∴x的取值范围为0＜x＜2，故选：A．点评：坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围，比如本题中求x的取值范围．21．（常考指数：62）下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．考点：同类二次根式．分析：根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．解答：解：A、=2，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故A选项错误；B、=，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故B选项错误；C、=，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故C选项错误；D、=3，与的被开方数相同，是同类二次根式，故D选项正确．故选：D．点评：此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．22．（常考指数：71）下列图形是轴对称图形的是（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：轴对称图形．分析：轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．解答：解：根据轴对称的概念可得：只有第（1）（4）符合轴对称的定义．故选：B．点评：本题考查轴对称的定义，属于基础题，掌握轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．23．（常考指数：67）要使分式有意义，则x应满足的条件是（）A．x≠1B．x≠﹣1C．x≠0D．x＞1考点：分式有意义的条件．分析：本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为0．解答：解：∵x+1≠0，∴x≠﹣1．故选：B．点评：本题考查的是分式有意义的条件．当分母不为0时，分式有意义．24．（常考指数：53）在比例尺为1：5000的地图上，量得甲、乙两地的距离为25cm，则甲、乙两地间的实际距离是（）A．1250kmB．125kmC．12.5kmD．1.25km考点：比例线段．专题：应用题．分析：根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式直接求得甲、乙两地间的实际距离．解答：解：设甲、乙两地间的实际距离为x，则：=，解得x=125000cm=1.25km．故选：D．点评：理解比例尺的概念，根据比例尺进行计算，注意单位的转换问题．25．（常考指数：74）不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB=CD，AD=BCB．AB=CD，AB∥CDC．AB=CD，AD∥BCD．AB∥CD，AD∥BC考点：平行四边形的判定．分析：A、B、D，都能判定是平行四边形，只有C不能，因为等腰梯形也满足这样的条件，但不是平行四边形．解答：解：根据平行四边形的判定：A、B、D可判定为平行四边形，而C不具备平行四边形的条件，故选：C．点评：平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．26．（常考指数：74）不等式2x﹣6＞0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．考点：在数轴上表示不等式的解集．专题：图表型．分析：不等式2x﹣6＞0的解集是x＞3，＞应向右画，且不包括3时，应用圈表示，不能用实心的原点表示3这一点，据此可求得不等式的解以及解集再数轴上的表示．解答：解：将不等式2x﹣6＞0移项，可得：2x＞6，将其系数化1，可得：x＞3；∵不包括3时，应用圈表示，不能用实心的原点表示3这一点答案．故选：A．点评：此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．27．（常考指数：43）如图，∠1、∠2、∠3的大小关系为（）A．∠2＞∠1＞∠3B．∠1＞∠3＞∠2C．∠3＞∠2＞∠1D．∠1＞∠2＞∠3考点：三角形的外角性质．分析：由于∠2是△ABF的外角，∠1是△AEF的外角，所以∠2＞∠3，∠1＞∠4；又由于∠4和∠2是对顶角，故∠4=∠2，所以∠1＞∠2．∠1、∠2、∠3的大小关系为∠1＞∠2＞∠3．解答：解：∵∠2是△ABF的外角，∴∠2＞∠3；∵∠1是△AEF的外角，∴∠1＞∠4；又∵∠4=∠2∴∠1＞∠2．∠1、∠2、∠3的大小关系为：∠1＞∠2＞∠3．故选：D．点评：解答此题要两次运用三角形内角和外角的关系，比较出∠2、∠3；∠1，∠4的大小，再用对顶角相等建立起联系．28．（常考指数：54）如图，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（）A．12mB．10mC．8mD．7m考点：相似三角形的应用．专题：压轴题．分析：要求旗杆高度BC，易证△AED∽△ABC，根据对应线段成比例，列出式子即可求出．解答：解：如图，∵ED⊥ADBC⊥AC∴ED∥BC∴△AED∽△ABC∴而AD=8，AC=AD+CD=8+22=30（m），ED=3.2m∴BC===12（m）∴旗杆的高为12m．故选：A．点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．29．（常考指数：49）已知点M（﹣2，3）在双曲线y=上，则下列各点一定在该双曲线上的是（）A．（3，﹣2）B．（﹣2，﹣3）C．（2，3）D．（3，2）考点：反比例函数图象上点的坐标特征．分析：只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是﹣6的，就在此函数图象上．解答：解：∵点M（﹣2，3）在双曲线y=上，∴k=xy=（﹣2）×3=﹣6，∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为﹣6的点在函数图象上．A、因为3×（﹣2）=﹣6=k，所以该点在双曲线y=上．故A选项正确；B、因为（﹣2）×（﹣3）=6≠k，所以该点不在双曲线y=上．故B选项错误；C、因为2×3=6≠k，所以该点不在双曲线y=上．故C选项错误；D、因为3×2=6≠k，所以该点不在双曲线y=上．故D选项错误．故选：A．点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．30．（常考指数：52）在中，分式的个数是（）A．2B．3C．4D．5考点：分式的定义．分析：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．解答：解：在中，分式有，∴分式的个数是3个．故选：B．点评：本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以象不是分式，是整式．二、填空题（共30小题）31．（常考指数：62）如图，在平面直角坐标系中，函数y=（x＞0常数k＞0）的图象经过点A（1，2），B（m，n）（m＞1），过点B作y轴的垂线，垂足为C，若△ABC面积为2，求点B的坐标（3，）．考点：反比例函数综合题．专题：压轴题．分析：由于函数y=（x＞0常数k＞0）的图象经过点A（1，2），把（1，2）代入解析式即可确定k=2，依题意BC=m，BC边上的高是2﹣n=2﹣，根据三角形的面积公式得到关于m的方程，解方程即可求出m，然后把m的值代入y=，即可求得B的纵坐标，最后就求出点B的坐标．解答：解：∵函数y=（x＞0常数k＞0）的图象经过点A（1，2），∴把（1，2）代入解析式得2=，∴k=2∵B（m，n）（m＞1），∴BC=m，当x=m时，n=，∴BC边上的高是2﹣n=2﹣，而S△ABC=m（2﹣）=2，∴m=3，∴把m=3代入y=，∴n=，∴点B的坐标是（3，）．故答案为：（3，）．点评：本题主要考查了用已知坐标系中点的坐标表示图象中线段的长度及三角形的面积，解题时要注意数形结合．32．（常考指数：41）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是a≥3．考点：解一元一次不等式组．分析：先求出不等式组的解集，利用不等式组的解集是无解可知，x应该是“大大小小找不到”，所以可以判断出a≥3．解答：解：解关于x的不等式组，得，∵不等式组无解∴大大小小找不到，即a≥3．故答案为：a≥3．点评：本题主要考查了已知一元一次不等式组的解集，求不等式中的字母的值，同样也是利用口诀求解，但是要注意当两数相等时，不等式组是x＞3，x＜3时没有交集，所以也是无解，不要漏掉相等这个关系．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．33．（常考指数：54）从﹣1，1，2这三个数中，任取两个不同的数作为一次函数y=kx+b的系数k，b，则一次函数y=kx+b的图象不经过第四象限的概率是．考点：概率公式；一次函数的性质．专题：压轴题．分析：从三个数中选出两个数的可能有6种．要使图象不经过第四象限，则k＞0，b＞0，由此可找出满足条件的个数除以总的个数即可．解答：解：列表，如图，k、b的取值共有6种等可能的结果；满足条件的为k＞0，b＞0，即k=1，b=2或k=2，b=1两种情况，∴概率为．故答案为：．点评：本题考查了利用列表法与树状图法求概率的方法：先列表展示所有等可能的结果数n，再找出某事件发生的结果数m，然后根据概率的定义计算出这个事件的概率=．也考查了一次函数的性质．34．（常考指数：30）如图，⊙O的直径CD=10，弦AB=8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为8．考点：垂径定理；勾股定理．分析：连接OA，根据垂径定理可知AM的长，根据勾股定理可将OM的长求出，从而可将DM的长求出．解答：解：连接OA，∵AB⊥CD，AB=8，∴根据垂径定理可知AM=AB=4，在Rt△OAM中，OM===3，∴DM=OD+OM=8．故答案为：8．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．35．（常考指数：42）分解因式：ax2﹣ay2=a（x+y）（x﹣y）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：应先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答：解：ax2﹣ay2，=a（x2﹣y2），=a（x+y）（x﹣y）．故答案为：a（x+y）（x﹣y）．点评：本题主要考查提公因式法分解因式和平方差公式分解因式，需要注意分解因式一定要彻底．36．（常考指数：31）设函数y=与y=x﹣1的图象的交点坐标为（a，b），则﹣的值为﹣．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题；压轴题．分析：把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程，求得a，b的解，整理求得﹣的值即可．解答：解：∵函数y=与y=x﹣1的图象的交点坐标为（a，b），∴b=，b=a﹣1，∴=a﹣1，a2﹣a﹣2=0，（a﹣2）（a+1）=0，解得a=2或a=﹣1，∴b=1或b=﹣2，∴﹣的值为﹣．故答案为：﹣．点评：本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题；得到2个方程判断出a，b的值是解决本题的关键．37．（常考指数：34）两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是①②④（把你认为正确结论的序号都填上，答案格式：“①②③④”）．考点：反比例函数系数k的几何意义．专题：压轴题；数形结合．分析：本题考查的是反比例函数中k的几何意义，无论如何变化，只要知道过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是个恒等值即易解题．解答：解：①△ODB与△OCA的面积相等都为；②四边形PAOB的面积不会发生变化为k﹣1；③不能确定PA与PB是否始终相等；④由于反比例函数是轴对称图形，当A为PC的中点时，B为PD的中点，故本选项正确．故其中一定正确的结论有①、②、④．故答案为：①、②、④．点评：本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．38．（常考指数：65）若，则=．考点：等式的性质．专题：计算题．分析：根据等式的性质1，等式两边都加上1，等式仍然成立可得出答案．解答：解：根据等式的性质：两边都加1，，则=，故答案为：．点评：本题主要考查等式的性质，观察要求的式子和已知的式子之间的关系，从而利用等式的性质进行计算．39．（常考指数：45）如图，一束光线从y轴上点A（0，1）发出，经过x轴上点C反射后，经过点B（6，2），则光线从A点到B点经过的路线的长度为6.71．（精确到0.01）考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质；轴对称的性质．专题：压轴题；跨学科．分析：要求从A到B光线经过的路线的长度利用光学反射原理得到∠ACO=∠BCX，这样找出A关于x轴的对称点D，则D、C、B在同一条直线上，再过B作BE⊥DE于E，构造直角三角形，然后利用勾股定理就可以求出．解答：解：延长BC交y轴于D，过B作BE⊥DE于E，根据光学反射原理得∠ACO=∠BCX，而∠BCX=∠DCO∴∠ACO=∠DCO∴△ACO≌△DCO∴AC=DC∴OD=OA=1．在直角△DBE中，BE=6，DE=2+1=3，∴DB==∴光线从A到B经过的路线的长度约是6.71．故答案为：6.71．点评：本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决本题关键，属于中等题目．40．（常考指数：58）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是或2．考点：相似三角形的性质．专题：压轴题．分析：由于折叠前后的图形不变，要考虑△B′FC与△ABC相似时的对应情况，分两种情况讨论．解答：解：根据△B′FC与△ABC相似时的对应关系，有两种情况：①△B′FC∽△ABC时，=，又∵AB=AC=3，BC=4，B′F=BF，∴=，解得BF=；②△B′CF∽△BCA时，=，AB=AC=3，BC=4，B′F=CF，BF=B′F，而BF+FC=4，即2BF=4，解得BF=2．故BF的长度是或2．故答案为：或2．点评：本题考查对相似三角形性质的理解：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．41．（常考指数：45）如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD、BC边上的点．若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为3．考点：勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，即可求GF的长．解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=90°，∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，∵∠GEF=90°，∴∠GEA+∠FEB=90°，∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB．∴△AEG∽△BFE，从而推出对应边成比例：，又∵AE=BE，∴AE2=AG•BF=2，推出AE=（舍负），∴GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=1+2+2+4=9，∴GF的长为3．故答案为：3．点评：此题考查相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解．易错点：如果学生没有发现相似三角形就无从入手解题了，或相似三角形对应边的比找不对．42．（常考指数：35）某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒．当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率是．考点：概率公式．分析：根据题意可得：在1分钟内，红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，故抬头看信号灯时，是黄灯的概率是=．解答：解：P（黄灯亮）==．故答案为：．点评：本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．43．（常考指数：140）函数y=中，自变量x的取值范围是x≠2．考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．专题：计算题．分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．解答：解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案为：x≠2．点评：本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．44．（常考指数：78）在比例尺为1：2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为100m．考点：比例线段．专题：计算题．分析：根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式即可求得实际距离．解答：解：设AB两地间的实际距离为x，=，解得x=10000cm=100m．故答案为：100m．点评：熟练运用比例尺进行有关计算，注意单位的转换．45．（常考指数：35）若矩形的面积为6，则矩形的长y关于宽x（x＞0）的函数关系式为．考点：根据实际问题列反比例函数关系式．分析：根据等量关系“矩形的长=矩形面积÷宽”即可列出关系式．解答：解：由题意得：矩形的长y关于宽x（x＞0）的函数关系式为：y=．故答案为：y=．点评：本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，找出等量关系是解决此题的关键．46．（常考指数：31）“两直线平行，内错角相等”的逆命题是两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．考点：命题与定理．分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．解答：解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两直线平行，结论是：内错角相等．将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．故答案为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．点评：本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．47．（常考指数：45）如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为4m．考点：平行投影；相似三角形的应用．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△CDF，进而可得=；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．解答：解：如图：过点C作CD⊥EF，由题意得：△EFC是直角三角形，∠ECF=90°，∴∠EDC=∠CDF=90°，∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°，∴∠E=∠DCF，∴Rt△EDC∽Rt△CDF，有=；即DC2=ED•FD，代入数据可得DC2=16，DC=4；故答案为：4．点评：本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．48．（常考指数：34）某坡面的坡度为1：，则坡角α是30度．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：坡度等于坡角的正切值．根据特殊角的三角函数值解答．解答：解：∵坡度为1：，∴tanα=，∴α=30°．故答案为：30．点评：本题主要考查了坡度的定义，需要理解坡度与坡角之间的关系．49．（常考指数：46）若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为35度．考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．分析：本题可先求出与70°角相邻的三角形的内角度数，然后分两种情况求解即可．解答：解：∵等腰三角形的一个外角为70°，∴与它相邻的三角形的内角为110°；①当110°角为等腰三角形的底角时，两底角和=220°＞180°，不合题意，舍去；②当110°角为等腰三角形的顶角时，底角=（180°﹣110°）÷2=35°．因此等腰三角形的底角为35°．故答案为：35．点评：本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．50．（常考指数：34）如图，在等腰梯形ABCD中，AC⊥BD，AC=6cm，则等腰梯形ABCD的面积为18cm2．考点：等腰梯形的性质．分析：通过作辅助线，把等腰梯形ABCD的面积转化成直角三角形的面积来完成．解答：解：方法一：过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，又AB∥CE，∴四边形ACEB是平行四边形，又等腰梯形ABCD∴BE=AC=DB=6cm，AB=CE，∵AC⊥BD，∴BE⊥BD，∴△DBE是等腰直角三角形，∴S等腰梯形ABCD====S△DBE==6×6÷2=18（cm2）．方法二：∵BD是△ADB和△CDB的公共底边，又AC⊥BD，∴AC=△ADB的高﹢△CDB的高，∴梯形ABCD的面积=△ADB面积+△CDB面积=BD×AC=6×=18（cm2）．故答案为：18．点评：本题考查了梯形面积的计算，以及它的性质，还运用了转化的思想．51．（常考指数：53）某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地（如图），各边的中点分别是E、F、G、H，用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40cm，则对角线AC=20cm．考点：等腰梯形的性质；三角形中位线定理．分析：利用等腰梯形和中位线定理和已知条件，即可推出结论．解答：解：∵等腰梯形的对角线相等，EF、HG、GF、EF均为梯形的中位线，∴EF=HG=GF=EF=AC．又∵EF+HG+GF+EF=40cm，即2AC=40cm，则AC=20cm．对角线AC=20cm．故答案为：20．点评：本题考查的是等腰梯形的性质即三角形中位线的性质，属一般题目．52．（常考指数：30）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=15米，那么该古城墙的高度是10米．考点：相似三角形的应用．专题：转化思想．分析：因为小明和古城墙均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．解答：解：根据题意，容易得到△ABP∽△PDC．即=故CD=×AB=10；那么该古城墙的高度是10米．故答案为：10．点评：本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．53．（常考指数：36）二次根式中字母x的取值范围是x≥1．考点：二次根式有意义的条件．分析：二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解．解答：解：根据题意得：x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．点评：主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．54．（常考指数：52）命题“对顶角相等”的逆命题为如果两个角相等，那么它们是对顶角．考点：命题与定理．分析：把一个命题的题设和结论互换即可得到其逆命题．解答：解：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，所以逆命题是：如果两个角相等，那么它们是对顶角．故答案为：如果两个角相等，那么它们是对顶角．点评：本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．55．（常考指数：29）若分式与1互为相反数，则x的值是﹣1．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：首先根据题意列出方程，然后解方程即可．解答：解：依题意，有=﹣1，方程两边同乘x﹣1，得：2=﹣x+1，整理解得x=﹣1．经检验x=﹣1是原方程的解．故答案为：﹣1．点评：本题主要考查了分式方程的解法．解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．56．（常考指数：28）命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形．考点：命题与定理．分析：把一个命题的题设和结论互换就可得到它的逆命题．解答：解：“平行四边形对角线互相平分”的条件是：四边形是平行四边形，结论是：四边形的对角线互相平分．所以逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．点评：本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．57．（常考指数：46）当x=﹣3时，分式的值为零．考点：分式的值为零的条件．专题：计算题．分析：要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．解答：解：要使分式由分子x2﹣9=0解得：x=±3．而x=﹣3时，分母x﹣3=﹣6≠0．x=3时分母x﹣3=0，分式没有意义．所以x的值为﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了分式的值为零的条件，分式有意义的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．58．（常考指数：44）已知反比例函数的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是m＜．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；不等式的解集．专题：计算题．分析：考查反比例函数图象的特点，当k＞0时，图象在一三象限，k＜0时，图象在二四象限解答．解答：解：当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，图象位于一、三象限，此时k＞0，所以1﹣2m＞0，解不等式得m＜．故答案为：m＜．点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，注意k值对函数图象的作用，画出可能情况，判断k的正负．59．（常考指数：28）菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为20．考点：菱形的性质；勾股定理．分析：根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．解答：解：如图所示，根据题意得AO=×8=4，BO=×6=3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴AB===5，∴此菱形的周长为：5×4=20．故答案为：20．点评：本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．60．（常考指数：44）若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥1．考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．解答：解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，∴x≥1．故答案为：x≥1．点评：此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．三、解答题（共40小题）61．（常考指数：27）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题：（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；（2）当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？考点：反比例函数的应用；一次函数的应用．专题：应用题；压轴题．分析：（1）根据图象可以得到函数关系式，y=k1x+b（k1≠0），再由图象所经过点的坐标（0，4），（7，46）求出k1与b的值，然后得出函数式y=6x+4，从而求出自变量x的取值范围．再由图象知（k2≠0）过点（7，46），求出k2的值，再由函数式求出自变量x的取值范围．（2）结合以上关系式，当y=34时，由y=6x+4得x=5，从而求出撤离的最长时间，再由v=速度．（3）由关系式y=知，y=4时，x=80.5，矿工至少在爆炸后80.5﹣7=73.5（小时）才能下井．解答：解：（1）因为爆炸前浓度呈直线型增加，所以可设y与x的函数关系式为y=k1x+b（k1≠0），由图象知y=k1x+b过点（0，4）与（7，46），则，解得，则y=6x+4，此时自变量x的取值范围是0≤x≤7．（不取x=0不扣分，x=7可放在第二段函数中）∵爆炸后浓度成反比例下降，∴可设y与x的函数关系式为（k2≠0）．由图象知过点（7，46），∴，∴k2=322，∴，此时自变量x的取值范围是x＞7．（2）当y=34时，由y=6x+4得，6x+4=34，x=5．∴撤离的最长时间为7﹣5=2（小时）．∴撤离的最小速度为3÷2=1.5（km/h）．（3）当y=4时，由y=得，x=80.5，80.5﹣7=73.5（小时）．∴矿工至少在爆炸后73.5小时才能下井．点评：现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．62．（常考指数：34）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D出发沿折线DE﹣EF﹣FC﹣CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC﹣CA于点G．点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）D，F两点间的距离是25；（2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值；若不能，说明理由；（3）当点P运动到折线EF﹣FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；（4）连接PG，当PG∥AB时，请直接写出t的值．考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理；矩形的判定与性质．专题：压轴题．分析：（1）由中位线定理即可求出DF的长；（2）连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，由四边形CDEF为矩形，QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分，根据△HBF∽△CBA，对应边的比相等，就可以求得t的值；（3）①当点P在EF上（2≤t≤5时根据△PQE∽△BCA，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出t的值；②当点P在FC上（5≤t≤7）时，PB=PF+BF就可以得到；（4）当PG∥AB时四边形PHQG是矩形，由此可以直接写出t．解答：解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，∵D，F是AC，BC的中点，∴DF为△ABC的中位线，∴DF=AB=25故答案为：25．（2）能．如图1，连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，∵D，F是AC，BC的中点，∴DE∥BC，EF∥AC，四边形CDEF为矩形，∴QK过DF的中点O时，QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分此时QH=OF=12.5．由BF=20，△HBF∽△CBA，得HB=16．故t==．（3）①当点P在EF上（2≤t≤5）时，如图2，QB=4t，DE+EP=7t，由△PQE∽△BCA，得．∴t=4；②当点P在FC上（5≤t≤7）时，如图3，已知QB=4t，从而PB===5t，由PF=7t﹣35，BF=20，得5t=7t﹣35+20．解得t=7；（4）如图4，t=1；如图5，t=7．（注：判断PG∥AB可分为以下几种情形：当0＜t≤2时，点P下行，点G上行，可知其中存在PG∥AB的时刻，如图4；此后，点G继续上行到点F时，t=4，而点P却在下行到点E再沿EF上行，发现点P在EF上运动时不存在PG∥AB；5≤t≤7当时，点P，G均在FC上，也不存在PG∥AB；由于点P比点G先到达点C并继续沿CD下行，所以在7＜t＜8中存在PG∥AB的时刻，如图5当8≤t≤10时，点P，G均在CD上，不存在PG∥AB）点评：本题主要运用了相似三角形性质，对应边的比相等，正确找出题目中的相似三角形是解题的关键．63．（常考指数：32）某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）若甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作（20﹣）天（用含a的代数式表示）可完成此项工程；（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？考点：分式方程的应用．专题：工程问题；压轴题．分析：（1）关系式为：甲20天的工作量+乙20天的工作量=1；（2）算出剩下的工作量除以甲乙的工作效率之和即可；（3）关系式为：甲需要的工程费+乙需要的工程费≤64，注意利用（2）得到的代数式求解．解答：解：（1）设乙单独完成此项工程需要x天，则甲单独完成需要（x+30）天，，解得：x=﹣20或x=30，经检验x=﹣20或x=30是原方程的解，但x=﹣20不合题意，应舍去．∴x+30=60，答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天；（2）（1﹣）÷（+）=（20﹣）天；故答案为：（20﹣）天；（3）设甲单独做了y天，y+（20﹣）×（1+2.5）≤64，解得：y≥36答：甲工程队至少要单独施工36天．点评：本题主要考查分式方程的应用：工程问题，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意应用前面得到的结论求解．64．（常考指数：31）如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S△PBD=4，=．（1）求点D的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．考点：反比例函数综合题．专题：数形结合；待定系数法．分析：（1）在y=kx+2中，只要x=0得y=2即可得点D的坐标为（0，2）．（2）由AP∥OD得Rt△PAC∽Rt△DOC，又=，可得==，故AP=6，BD=6﹣2=4，由S△PBD=4可得BP=2，把P（2，6）分别代入y=kx+2与y=可得一次函数解析式为：y=2x+2反比例函数解析式为：y=（3）当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围由图象能直接看出x＞2．解答：解：（1）在y=kx+2中，令x=0得y=2，∴点D的坐标为（0，2）（2）∵AP∥OD，∴∠CDO=∠CPA，∠COD=∠CAP，∴Rt△PAC∽Rt△DOC，∵=，即=，∴==，∴AP=6，又∵BD=6﹣2=4，∴由S△PBD=BP•BD=4，可得BP=2，∴P（2，6）（4分）把P（2，6）分别代入y=kx+2与y=可得一次函数解析式为：y=2x+2，反比例函数解析式为：y=；（3）由图可得x＞2．点评：考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法、相似三角形等知识及综合应用知识、解决问题的能力．有点难度．65．（常考指数：38）如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE．AC和BE相交于点O．（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AB于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似．考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；动点型；探究型．分析：（1）四边形ABCE是菱形．由平移得到四边形ABCE是平行四边形，又AB=BC，可以推出四边形ABCE是菱形；（2）①四边形PQED的面积不发生变化．根据菱形的性质和已知条件可以求出菱形的面积，过A作AH⊥BD于H，再根据三角形的面积公式可以求出AH，由菱形的对称性知△PBO≌△QEO，所以BP=QE，现在可以得到S四边形PQED=S△BED，而S△BED的面积可以求出，所以四边形PQED的面积不发生变化．②如图2，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3，∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1对应，即∠2=∠1，∴OP=OC=3，过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点，△OGC∽△BOC，根据相似三角形的对应线段成比例可以求出CG，而PB=BC﹣PC=BC﹣2CG，根据这个等式就可以求出BP的长．解答：解：（1）四边形ABCE是菱形．∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的，∴EC∥AB，且EC=AB，∴四边形ABCE是平行四边形，又∵AB=BC，∴四边形ABCE是菱形；（2）①四边形PQED的面积不发生变化．方法一：∵ABCE是菱形，∴AC⊥BE，OC=AC=3，∵BC=5，∴BO=4，过A作AH⊥BD于H，（如图1）．∵S△ABC=BC×AH=AC×BO，即：×5×AH=×6×4，∴AH=．或∵∠AHC=∠BOC=90°，∠BCA公用，∴△AHC∽△BOC，∴AH：BO=AC：BC，即：AH：4=6：5，∴AH=．由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，∴BP=QE，∴S四边形PQED=（QE+PD）×QR=（BP+PD）×AH=BD×AH=×10×=24．方法二：由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，∴S△PBO=S△QEO，∵△ECD是由△ABC平移得到的，∴ED∥AC，ED=AC=6，又∵BE⊥AC，∴BE⊥ED，∴S四边形PQED=S△QEO+S四边形POED=S△PBO+S四边形POED=S△BED=×BE×ED=×8×6=24．②方法一：如图2，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3，∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1对应，即∠2=∠1，∴OP=OC=3过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点，∴△OGC∽△BOC，∴CG：CO=CO：BC，即：CG：3=3：5，∴CG=，∴PB=BC﹣PC=BC﹣2CG=5﹣2×=．方法二：如图3，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3，∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1对应，∴QR：BO=PR：OC，即：：4=PR：3，∴PR=，过E作EF⊥BD于F，设PB=x，则RF=QE=PB=x，DF==，∴BD=PB+PR+RF+DF=x++x+=10，x=．方法三：如图4，若点P在BC上运动，使点R与C重合，由菱形的对称性知，O为PQ的中点，∴CO是Rt△PCQ斜边上的中线，∴CO=PO，∴∠OPC=∠OCP，此时，Rt△PQR∽Rt△CBO，∴PR：CO=PQ：BC，即PR：3=6：5，∴PR=∴PB=BC﹣PR=5﹣=．点评：此题主要考查了图形变换，把图形的变换放在平行四边形，菱形的背景之中，利用特殊四边形的性质探究图形变换的规律．66．（常考指数：54）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？考点：分式方程的应用．专题：工程问题．分析：（1）求的是乙的工效，工作时间明显．一定是根据工作总量来列等量关系．等量关系为：甲20天的工作量+甲乙合作24天的工作总量=1．（2）把在工期内的情况进行比较．解答：解：（1）设乙队单独完成需x天．根据题意，得：×20+（+）×24=1．解这个方程得：x=90．经检验，x=90是原方程的解．∴乙队单独完成需90天．答：乙队单独完成需90天．（2）设甲、乙合作完成需y天，则有（+）×y=1．解得，y=36，①甲单独完成需付工程款为60×3.5=210（万元）．②乙单独完成超过计划天数不符题意，③甲、乙合作完成需付工程款为36×（3.5+2）=198（万元）．答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．点评：本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．67．（常考指数：31）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动、DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）解答下列问题：（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由；（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．考点：二次函数的最值；线段垂直平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：（1）因为点A在线段PQ垂直平分线上，所以得到线段相等，可得CE=CQ，用含t的式子表示出这两个线段即可得解；（2）作PM⊥BC，将四边形的面积表示为S△ABC﹣S△BPE即可求解；（3）假设存在符合条件的t值，由相似三角形的性质即可求得．解答：解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，∴AP=AQ；∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°，∴∠EQC=45°；∴∠DEF=∠EQC；∴CE=CQ；由题意知：CE=t，BP=2t，∴CQ=t；∴AQ=8﹣t；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm；则AP=10﹣2t；∴10﹣2t=8﹣t；解得：t=2；答：当t=2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上；（2）过P作PM⊥BE，交BE于M∴∠BMP=90°；在Rt△ABC和Rt△BPM中，，∴；∴PM=；∵BC=6cm，CE=t，∴BE=6﹣t；∴y=S△ABC﹣S△BPE=﹣=﹣==；∵，∴抛物线开口向上；∴当t=3时，y最小=；答：当t=3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2．（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上；过P作PN⊥AC，交AC于N∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°；∵∠PAN=∠BAC，∴△PAN∽△BAC；∴；∴；∴，；∵NQ=AQ﹣AN，∴NQ=8﹣t﹣（）=∵∠ACB=90°，B、C、E、F在同一条直线上，∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ；∵∠FQC=∠PQN，∴△QCF∽△QNP；∴，∴；∵0＜t＜4.5，∴；解得：t=1；答：当t=1s，点P、Q、F三点在同一条直线上．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、特殊图形的面积的求法等知识，图形较复杂，考查学生数形结合的能力，综合性强，难度较大．68．（常考指数：54）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．（1）求证：BE=DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM，FM，判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：几何综合题．分析：（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ABE≌△ADF；（2）由于四边形ABCD是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，BC=CD；联立（1）的结论，可证得EC=CF，根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC（即AM）垂直平分EF；已知OA=OM，则EF、AM互相垂直平分，根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，即可判定四边形AEMF是菱形．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=90°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵，∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL）∴BE=DF；（2）解：四边形AEMF是菱形，理由为：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的对角线平分一组对角），BC=DC（正方形四条边相等），∵BE=DF（已证），∴BC﹣BE=DC﹣DF（等式的性质），即CE=CF，在△COE和△COF中，，∴△COE≌△COF（SAS），∴OE=OF，又OM=OA，∴四边形AEMF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∵AE=AF，∴平行四边形AEMF是菱形．点评：本题主要考查对正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．69．（常考指数：50）跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．考点：分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．专题：应用题；方案型．分析：（1）关键语是“用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同”可根据此列出方程．（2）本题中“根据进两种零件的总数量不超过95个”可得出关于数量的不等式方程，根据“使销售两种零件的总利润（利润=售价﹣进价）超过371元”看俄得出关于利润的不等式方程，组成方程组后得出未知数的取值范围，然后根据取值的不同情况，列出不同的方案．解答：解：（1）设每个乙种零件进价为x元，则每个甲种零件进价为（x﹣2）元．由题意得：．解得：x=10．检验：当x=10时，x（x﹣2）≠0∴x=10是原分式方程的解．每个甲种零件进价为：x﹣2=10﹣2=8答：每个甲种零件的进价为8元，每个乙种零件的进价为10元．（2）设购进乙种零件y个，则购进甲种零件（3y﹣5）个．由题意得：解得：23＜y≤25∵y为整数∴y=24或25．∴共有2种方案．方案一：购进甲种零件67个，乙种零件24个；方案二：购进甲种零件70个，乙种零件25个．点评：本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．本题要注意（2）中未知数的不同取值可视为不同的方案．70．（常考指数：26）某市从今年1月1日起调整居民家用水价格，每立方米水费上涨，小刚家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费是30元，已知小刚家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5m3，求该市今年居民用水价格．考点：分式方程的应用．专题：应用题．分析：求的是单价，总价明显，一定是根据数量来列等量关系，本题的关键描述语是：今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5m3，等量关系为：7月份的用水量﹣12月份的用水量=5m．解答：解：设去年居民用水价格为x元/立方米，则今年水费为x（1+）元/立方米，根据题意可列方程为：﹣=5∴，∴，方程两边同时乘以2x，得：45﹣30=10x，解得：x=1.5经检验x=1.5是原方程的解．则x（1+）=2答：该市今年居民用水价格为2元．点评：本题考查了分式方程的应用，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．71．（常考指数：19）小莉的爸爸买了去看中国篮球职业联赛总决赛的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各