【高中数学选修第三册】第七章 条件概率

第七章随机变量及其分布§7.1条件概率与全概率公式7・1・1条件概率【学习目标】1•结合古典概型，了解条件概率的定义.2•掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.知识楡理撼理救材势实忌础知识点一条件概率的概念一般地，设A,B为两个随机事件，且P(A)>0,我们称P(BA)=p^AB为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.思考P(AIB),P(B),P(AB)间存在怎样的等量关系？答案P(AIB)=P^AB^，其中P(B)>0.p(B)知识点二概率乘法公式对任意两个事件A与B,若P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B\A)为概率的乘法公式.知识点三条件概率的性质设P(A)>0，则P(OA)=1.如果B和C是两个互斥事件，则P(BUC\A)=P(B\A)+P(C\A).设~B和B互为对立事件，则P(~B\A)=1-P(B\A).-思考辨析判断正逞在“A已发生”的条件下，B发生的概率可记作P(AIB).(X)对事件A,B,有P(B\A)=P(AIB).(X)若P(B\A)=P(B),则事件A,B相互独立.(V)P(B\A)相当于事件A发生的条件下，事件AB发生的概率.(V)题型探究心盘提卄素养\

一、条件概率的定义及计算命题角度1利用定义求条件概率例1现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求第1次抽到舞蹈节目的概率；第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．解设第1次抽到舞蹈节目为事件A,第2次抽到舞蹈节目为事件B,则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数n(Q)=A2=3O.根据分步乘法计数原理，有n(A)=A4Ag=2O,所以P所以P(A)=n(A)_20_2n(Q)303.nn(AB)122n(Q)305.因为n(AB)_A2_12，所以P(AB)_方法一由(1)(2),得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P(BA)2P(AB)53_P(A)_2_5.3方法二因为n(AB)12，n(A)20，所以P(B|A)n(AB)_12_3n(A)_20所以P(B|A)反思感悟利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P(AB)和P(A).将它们相除得到条件概率P(BA)=P(AB)，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A,BP(A)同时发生.跟踪训练1从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，求两张都是假钞的概率．解设A_“抽到的两张都是假钞”，B_“抽到的两张中至少有一张是假钞”，则所求概率为P(A|B)．•••P(AB)_P(A)_CC5，P(B)_进严，.z,P(AB)C2102・・p(AIB)_p(B)_C2+&C15_85_17.命题角度2缩小样本空间求条件概率例2集合A={123,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取,在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．解将甲抽到数字a,乙抽到数字b记作(a,b),甲抽到奇数的情形有(1,2),(1,3),(1,4),，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个．在这15个情形中,乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,5),93,(5,6),共9个，所以所求概率P=^=5-延伸探究．在本例条件下，求乙抽到偶数的概率．解在甲抽到奇数的情形中,乙抽到偶数的情形有(1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),93,(5,6),共9个，所以所求概率P=^=5-若甲先取(放回)，乙后取，若事件A:“甲抽到的数大于4”；事件B:“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A)．解甲抽到的数大于4的情形有：(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),,(6,5),(6,6),共12个,其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5,2),(6,1),共21个•所以p(bia)=12=6-反思感悟利用缩小样本空间法求条件概率的方法缩：将原来的基本事件全体Q缩小为事件A,原来的事件B缩小为AB.数：数出A中事件AB所包含的基本事件.算：利用P(B^)=n^求得结果.n(A)跟踪训练2抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，求：事件A发生的条件下事件B发生的概率；事件B发生的条件下事件A发生的概率.解n(A)=6X2=12.由3+6=6+3=4+5=5+4>8,4+6=6+4=5+5>8,5+6=6+5>8,6+6>8知n(B)=10,其中n(AB)=6.所以⑴p(BiA)==^=2-(2)p(AiB)==^=5-二、概率的乘法公式例3一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次.求：(1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率；第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．解设A=“第一次取得白球”，B=“第二次取得白球”，则T=“第一次取得黑球”，由题意得：6p(A)=10=0.6.651P(AB)=P(A)P(BL4)=厉X9=3.464P(AB)=P(A)P(BIA)=^X9=^.反思感悟概率的乘法公式公式P(AB)=P(A)P(BIA)反映了知二求一的方程思想.该概率公式可以推广P(ArA2A3)=P(A1)P(A2IA1)^P(A3IA1a2)，其中P(A1)>0,P(A^A2)>0.跟踪训练3已知某品牌的手机从1m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3，试求这样的手机从1m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率．解设Ai=“第i次掉落手机屏幕没有碎掉”，i=1,2,则由已知可得P(A])=0.5,P(A2IA1)=0.3，因此由乘法公式可得P(A2A1)=P(A1)P(A2IA1)=0.5X0.3=0.15.即这样的手机从1m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15.三、条件概率的性质及应用例4在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．解记事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D=AUBUC，E=AUB，可知P(D)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)=迸+瓷+背=晋，P(AD)=P(A)，P(BD)=P⑻,P(E|D)=P(A|D)＋P(B|D)CoCioC2。2=PA!+P(B)=C20+C20=12=P(D)+P(D)=12180十12180=58.

故获得优秀成绩的概率为反思感悟条件概率的性质及应用利用公式P(BUC\A)=P(B\A)+P(C\A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”.为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率.跟踪训练4有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为.答案7解析设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则D=BUC且B与C互斥.710，P(710，P(AB)=Cf415,p(ac)=cCC1225,4-4-9D1-9

C2一B1-2A.故P(D\A)=P(BUC\A)=P(B\A)+P(C\A)P(AB).P(AC)6=P(A)十P(A)=7.星础巩固学収致用随堂演练星础巩固学収致用答案A解析P(B\A)=解析P(B\A)=P(AB)P(A)1-32•市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%,乙厂产品占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是()A.0.665B.0.564C.0.245D.0.285答案A解析记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”，则P(A)=0.7,P(B\A)=0.95,

・•・P(AB)=P(A)・P(BL4)=0.7X0.95=0.665.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45答案A解析根据条件概率公式P(BIA)=P(解析根据条件概率公式P(BIA)=P(AB)P(A)，得所求概率为0.60.75=0.8.投掷两颗均匀的骰子，已知点数不同，设两颗骰子点数之和小于等于6的概率为解析设A=“投掷两颗骰子，其点数不同”，B=“两颗骰子点数之和小于等于6”，则P(A)=36=6,P(AB)=3，.P(AB)2••P(BA)=p(A)=5.TOC\o"1-5"\h\z41某气象台统计，该地区下雨的概率为15既刮四级以上的风又下雨的概率为10•设事件A为该地区下雨，事件B为该地区刮四级以上的风，则P(BIA)=.答案81解析由题意知P(A)=15，P(AB)=10，丄,,P(AB)103故p(B|A)=p(A)=互15■课堂少结■1.知识清单:(1)条件概率：(1)条件概率：P(BIA)=¥晋n(AB)

n(A)(2)概率乘法公式：P(AB)=P(A)P(BIA)=P(B)・P(AIB).⑶条件概率的性质.2.方法归纳：转化化归、对立统一.常见误区：分不清“在谁的条件下”，求“谁的概率”.课时对点练《基础巩固

121.已知P(BIA)=3，P(A)=5，则P(AB)等于()A.|答案C122解析P(AB)=P(BIA).P(A)=3X5=15，故选C.(多选)设p(aib)=p(bia)=2p(A)=3，贝y()15A.P(AB)=6b.P(AB)=6C.p(b)=3d.p(b)=]12答案AC解析p(ab)=p(a)p(bia)=3x2=6，,P(AB),EP(AB)11由P(A|B)=p@)，得P(B)=P(A|B)=6X2=3-某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是()1A•帀289临C五D帀答案A91解析记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P(A)=10P(BIA)=9,所以P(AB)=P(A)P(BIA)=10.某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是()A.0.2B.0.33C.0.5D.0.6答案A解析记“数学不及格”为事件A解析记“数学不及格”为事件A，''语文不及格”为事件B，P(B|A)=P(AB)P(A)0.030.15=0.2，所以数学不及格时，该生语文也不及格的概率为0.2.将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A=“两个点数互不相同”，B=“出现一个5点”，则P(BIA)等于()1a1a・3511B云C-6D-4答案A解析出现点数互不相同的共有6X5=30(种)，出现一个5点共有5X2=10(种)，所以P(BIA)=10=1=3o=3-6．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是，两次都取到白球的概率是．答案3答案3io解析第一次取到白球，则还剩下4个小球，2个白球，2个黑球，故第二次取到白球的概率213乂23p=4=2，两次都取到白球的概率p=5^4=^.7•设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8,活到25岁的概率0.4,现有一个20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率是．答案0.5解析设该动物活到20岁为事件A,活到25岁为事件B则P(A)=0.8,P(B)=0.4,又P(AB)=P(B)，所以P(B|A)=P所以P(B|A)=P(AB)P⑻0.4P(A)P(A)0.8=0.5.8．有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒则这粒种子能成长为幼苗的概率是．答案0.72解析“种子发芽”为事件A,“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，并成活才成长为幼苗),则P(A)=0.9,又种子发芽后的幼苗成活率为P(BIA)=0.8,所以P(AB)=P(A)P(BIA)=0.9X0.8=0.72.9．某校高三(1)班有学生40人,其中共青团员15人．全班平均分成4个小组,其中第一组有共青团员4人．从该班任选一人作学生代表．求选到的是第一组的学生的概率；已知选到的是共青团员,求他是第一组学生的概率．解设事件A表示“选到第一组学生”，事件B表示“选到共青团员”.(1)由题意，得P^=40=4.(2)方法一要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(AIB).不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择,其中属于第一组的有4种选择.4因此，P(AIB)=^.、、一/1!3/4丄万法二p(b)=40=8，P(AB)=40=10,

P(AIB)=PP(AIB)=P(AB)

P(B)_415-设b和c分别是抛掷一枚骰子先后得到的点数.求方程X2+bx+c=0有实根的概率；求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根的概率.解⑴方程有实根，A=b2-4c^0,Ab2^4c,又b,cW{1,2,3,4,5,6},当b=2时，c=1,当b=3时，c=1,2,当b=4时，c=1,2,3,4,当b=5时，c=1,2,3,4,5,6,当b=6时，c=1,2,3,4,5,6,共19种情况.1919故所求的概率为嬴二至.⑵把“出现5点”记为事件A,“方程有实根”记为事件B,满足b2±4c的有序数对记为(b,c),则事件A包含的事件有(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共11种，事件AB包含的有(5,5),(6,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),共7种，7故所求的概率为石.^综合运用7名同学从左向右站成一排，已知甲站在中间，则乙站在最右端的概率是(A.1B.5C.6D.14567答案C解析记“甲站在中间”为事件A,“乙站在最右端”为事件B,则n(A)=Ag,n(AB)=A5,所以P(BIA)所以P(BIA)=A51a6=6.已知某产品的次品率为4%,其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为A.75%B.96%C.72%D.78.125%答案C

解析记“任选一件产品是合格品”为事件A,则P(A)=1—P(A)=1—4%=96%.记“任选一件产品是一级品”为事件B,由于一级品必是合格品，所以事件A包含事件B,故P(AB)=P(B).由合格品中75%为一级品知P(BIA)=75%,故P(B)=P(AB)=P(A)P(BIA)=96%X75%=72%.—个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取1支，每次取后不放回,已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为()2a2a・3557c.9D.g答案c解析记“第i(i=1,2)支晶体管是好的”为事件A,(其中i=1,2)•由题意可知，要求的概率为1p(a2|a1)•因