高考数学知识梳理复习教案-10

教案53定比分点与向量中常见的结论一、课前检测1.（丰台一模理6）在平面直角坐标系中作矩形,已知,则eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))的值为（D）（A）0（B）7（C）25（D）2.（宣武一模理4）已知两个向量a=（1，2），b=（x，1），若（a+2b）//（2a—2b），则x的值是（C）A.1B.2C.D.3.设向量，，则“”是“”的（A）（A）充分但不必要条件（B）必要但不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件二、知识梳理1.线段定比分点公式：如图，设.（注：）1）则定比分点向量式：2）定比分点坐标式：设P（x,y）（分点），P1（x1,y1）（起点），P2（x2,y2）（终点）。则特例：当λ=1时，就得到中点公式：，实际上，对于起点相同，终点共线三个向量，，（O与P1P2不共线），总有=u+v，u+v=1，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为1。？（三角形内角平分线定理）解读：、不共线，点P在AB上，则=λ+μ且λ+μ=1，λ、μ∈R.①，不共线，若=λ+μ，且λ+μ=1，λ∈R，μ∈R，求证：A、B、P三点共线.提示：证明与共线.②当λ=μ=时，=（+），此时P为AB的中点，这是向量的中点公式.解读：3．已知向量起点与终点坐标，求向量的坐标：向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1）、B（x2,y2），则=(x2x1,y2y1)解读：4.向量模的坐标形式：︱︱=;解读：5.求向量的夹角：cos==．注：为锐角,不同向；为直角；为钝角,不反向.解读：6.平面两点间的距离公式：已知A（x1,y1）、B（x2,y2）=解读：同向的单位向量：；与向量平行的单位向量：。与向量平行的单位向量为：与向量垂直的单位向量为：。解读：“心”：重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.解读：9.三角形中向量性质：①1）过边的中点.2）；②为的重心；③为的垂心；④为的内心；所在直线过内心.解读：10.（1）；（2）.但可以推出：。解读：11.三角形重心坐标公式：△ABC的顶点，重心坐标：注意：在△ABC中，若0为重心，则，这是充要条件.解读：12.三角形五“心”向量形式的充要条件设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则（1）为的外心.（2）为的重心.（3）为的垂心.（4）为的内心.（5）为的的旁心.解读：、是平面内不共线的两向量，，，若，则。解读：、是平面内不共线的两向量，解读：15.不共线向量无除法运算。解读：16.首尾相接的向量之和：解读：ABC中，解读：18.直线的方向向量有无数个。其中，（1，k）与是较特殊的两个。为直线的倾斜角、k为直线的斜率。解读：19.重要结论：1）eq\o(F1P,\s\up8(→))＝eq\o(F1Q,\s\up8(→))，则三点、P、Q共线。2）若点P为AB的中点。解读：20.四边形中的向量问题：1）平行四边形两对角线的平方之和等于四边平方之和。即2）在四边形ABCD中，若四边形ABCD为平行四边形。注：若在平面中，若，则推不出ABCD为平行四边形，有可能四点共线。3）在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD为菱形。4）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD为菱形。5）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD为梯形。6）在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD为矩形。7）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD为矩形。解读：三、典型例题分析例1已知A（1，2），B（2，8），=，=，求点C、D和向量的坐标．分析：待定系数法设定点C、D的坐标，再根据向量，和关系进行坐标运算，用方程思想解之．解：设C、D的坐标为、，由题意得=（），=（3，6），

=（），=（3，6）又=，=∴（）=（3，6），（）=（3，6）即()=(1,2)，()=(1,2)∴且，且∴且，且∴点C、D和向量的坐标分别为（0，4）、（2，0）和（2，4）小结：本题涉及到方程思想，对学生运算能力要求较高．变式训练1已知点，点在线段的中垂线上，则点的横坐标的值是（）A.B.C.D.小结与拓展：例2已知一个平行四边形的顶点，对角线的交点为，则它的另外两个顶点的坐标为．变式训练2已知P1(3,2)，P2（8，3），若点P在直线P1P2上，且满足|P1P|=2|PP2|，求点P的坐标。错解：由|P1P|=2|PP2|得，点P分P1P2所成的比为2，代入定比分点坐标公式得P（）错因：对于|P1P|=2|PP2|这个等式，它所包含的不仅是点P为P1，P2的内分点这一种情况，还有点P是P1，P2的外分点。故须分情况讨论。正解：当点P为P1，P2的内分点时，P分P1P2所成的比为2，此时解得P（）；当点P为P1，P2的外分点时，P分P1P2所成的比为2，此时解得P（13，4）。则所求点P的坐标为（）或（13，4）。点评：在运用定比分点坐标公式时，要审清题意，注意内外分点的情况。也就是分类讨论的数学思想。变式训练3若点分所成的比为，则分所成的比为（）A.B.C.D.变式训练4设线段的长为5cm，写出点分有向线段所成的比为（1）点在线段上，，则=______.（2）点在的延长线上，，则=______.（3）点在的反向延长线上，，则=______.小结与拓展：例3已知三角形的三个顶点为，（1）求三边的长；（2）求边上的中线的长；（3）求重心的坐标；（4）求的平分线的长；（5）在上取一点，使过且平行于的直线把的面积分成的两部分，求点的