第二篇函数与导数专题6函数周期性、对称性、拐点微点1周期性、对称性

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第二篇函数与导数专题6函数周期性、对称性、拐点微点1周期性、对称性第二篇函数与导数专题6

函数周期性、对称性、拐点微点1

函数的周期性、对称性【微点综述】抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，只给出一些函数符号及其满足的条件的函数，如函数的定义域，解析递推式，特定点的函数值，特定的运算性质等，它是高中函数部分的难点，也是大学高等数学函数部分的一个衔接点，由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体，因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力．本文研究抽象函数的周期性、对称性．【典例刨析】一、函数的周期性1．周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期．2．分段函数的周期：设是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:．把个单位即按向量在其他周期的图像：，故二、函数的对称性：1．中心对称（即点对称）：①点②

③④⑤2．轴对称：对称轴方程为：．①关于直线②函数关于直线成轴对称．③关于直线成轴对称．三、函数对称性的几个重要结论（一）函数图像本身的对称性（自身对称）若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”．1．图像关于直线对称．推论1．的图像关于直线对称．推论2．的图像关于直线对称．推论3．的图像关于直线对称．【解析】只证推论2，同理可证推论1、推论3．设点在上，通过可知，，即点上，而点与点关于x=a对称．得证．2．的图像关于点对称．推论1．的图像关于点对称．推论2．的图像关于点对称．【解析】只证推论2，同理可证推论1、推论3．设点在上，即，通过可知，，所以，所以点也在上，而点与关于对称．得证．推论3．的图像关于点对称（二）两个函数的图像对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1．偶函数与图像关于y轴对称；2．奇函数与图像关于原点对称函数；3．函数与图像关于x轴对称；4．互为反函数与函数图像关于直线对称；5．函数与图像关于直线对称；推论1．函数与图像关于直线对称；推论2．函数与图像关于直线对称；推论3．函数与图像关于直线对称．（三）抽象函数的对称性与周期性1．抽象函数的对称性性质1．若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝f(a－x)；（2）f(2a－x)＝f(x)；（3）f(2a＋x)＝f(－x)．性质2．若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)；（2）f(2a－x)＝－f(x)；（3）f(2a＋x)＝－f(－x)．易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例．2．复合函数的奇偶性定义1．若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数．定义2．若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y＝f[g(x)]为奇函数．说明：（1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]．（2）两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)（3）y＝f(x＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称（或关于点（a，0）中心对称）3．复合函数的对称性性质3．复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝（b－a）/2轴对称．性质4．复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中心对称．推论1．复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称．推论2．复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称．4．函数的对称性与周期性性质5．若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|．性质6．若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|．性质7．若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|．5．函数对称性的应用（1）若，即，．（2）例如：（i）;（ii）；（iii）2．奇函数的图像关于原点（0，0）对称：．3．若的图像关于直线对称．设．．四、函数周期性的几个重要结论1．()

的周期为，()也是函数的周期;2．的周期为．3．的周期为．4．的周期为．5．的周期为．6．的周期为．7．的周期为．8．的周期为．9．的周期为．10．若11．有两条对称轴和周期．证明：函数满足且，则可推出，即可以得到的周期．推论1．如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数．推论2．偶函数满足周期．12．有两个对称中心和周期．推论．奇函数满足周期．13．有一条对称轴和一个对称中心的．推论1．奇函数满足周期．推论2．如果奇函数满足则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为，根据可以找出其对称中心为（以上）推论3．如果偶函数满足则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为（以上）推论3．如果奇函数满足（），则函数是以4T为周期的周期性函数．推论4．如果偶函数满足（），则函数是以2T为周期的周期性函数．总规律：定义在Ｒ上的函数，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在．五、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用．下面通过实例说明其应用类型．1．求函数值例11．已知定义为的函数满足，且函数在区间上单调递增．如果，且，则的值()A．恒小于 B．恒大于C．可能为 D．可正可负【答案】A【分析】依题意可得的图象关于点对称，再根据函数的单调性即可得到，最后由即可得解.【详解】解：因为，即，所以的图象关于点对称．又在区间上单调递增，所以函数在区间上也单调递增．∵，且，即，且函数在上单调递增，所以，又由，所以，∴.故选：A.例22．设是R上的奇函数，且，当时，，则=（

）A．1.5 B．-1.5 C．0.5 D．-0.5【答案】D【分析】根据与是R上的奇函数,可将中转换到中进行求解即可.【详解】由有,又是R上的奇函数则.故选：D【点睛】本题主要考查了函数性质求解函数值的方法,属于基础题型.2．比较函数值大小例33．若是以2为周期的偶函数，当时，，试比较、、的大小．【答案】【分析】根据函数的单调性得到，根据奇偶性和周期性得到，得到答案.【详解】是以2为周期的偶函数，在上是增函数，且，，故，即，即.3．求函数解析式例44．设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间，已知当时，，求在上的解析式．【答案】【分析】由函数的周期性求解，【详解】当时，得，则，故在上的解析式为例55．设是定义在上以为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，.求时，的解析式．【答案】，.【分析】首先由奇偶性求出函数在上的解析式，再根据周期性可得当时，即可得解.【详解】当，即，所以，又为偶函数，所以，所以，又是以为周期的周期函数，于是当，即时，有，所以，，，.4．判断函数奇偶性例66．已知的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性．【答案】偶函数【分析】由周期性，得函数满足的关系式，结合条件代换得函数的奇偶性.【详解】由，将代入，得，由的周期为4，得，所以，故为偶函数．5．确定函数图像与轴交点的个数例77．定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为n，则n可能为（

）A．0 B．1 C．3 D．5【答案】D【分析】利用是奇函数，又是周期函数，计算出方程在闭区间上必有的几个根即可作答.【详解】定义在R上的函数是奇函数，则，又是的一个正周期，则，又，于是得，因此，都是方程在闭区间上的根，所以n可能为5.故选：D例88．设函数对任意实数满足，判断函数图像在区间上与轴至少有多少个交点．【答案】13【分析】由题可得函数关于直线和对称及一个周期为10，据此可得答案.【详解】因，，则关于和对称，又，则.又，，则，即的一个周期为10.综上，在不为常函数的前提下，，即图像在区间上与轴至少有13个交点.6．在数列中的应用例99．在数列中，，求数列的通项公式，并计算【答案】(其中)，【分析】根据两角和的正切公式猜想数列的通项公式为，再用数学归纳法证明即可得数列的通项公式；再利用数列的周期求解即可.【详解】解：令则于是猜想，设当时，有，则当时，有所以数列的通项为：(其中)，且以4为周期，于是有1，5，9…1997是以4为公差的等差数列，，由，得，即总项数为500项，7．在二项式中的应用例1010．今天是星期三，试求今天后的第天是星期几？【答案】星期四【分析】转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可．【详解】，，因为展开式中前92项中均有7这个因子，最后一项为1，即为余数，故天为星期四．8．复数中的应用例1111．设（是虚数单位），则满足等式，且大于1的正整数中最小的是（

）A．3 B．4 C．6 D．7【答案】B【分析】先求出.然后化简可得，即可运用方幂的周期性求值，得出答案．【详解】由已知，则.，，.，必须是3的倍数，即..，时，有最小值4.故选：B.9．解“立几”题例1212．ABCD—是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”．白蚁爬行的路线是黑蚁爬行的路线是它们都遵循如下规则：所爬行的第段所在直线与第段所在直线必须是异面直线（其中．设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是（

）A．1 B． C． D．0【答案】B【分析】根据题意可知黑白二蚂走完6段后回到起点A，以6为周期，则白蚁走完1986段后回到起点A，再走4段到达终点C，黑蚁走完1986段后回到起点A，再走4段到达终点，结合正方体的结构即可求解.【详解】由题意，白蚁的路线为，即白蚁走完6段后又回到起点A，以6为周期.同理，黑蚁也是走完6段后回到起点A，以6为周期.而，因此白蚁走完1986段后回到起点A，再走4段，即到达终点C，同理，黑蚁走完1986段后回到起点A，再走4段，即到达终点，又正方体的棱长为1，所以.所以黑白二蚂走完1990段后，它们的距离为.故选：B.【针对训练】13．函数y＝f(x)是定义在实数集上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图像之间（

）A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称【答案】C【分析】据复合函数的对称性与关于点对称可求得对称点，即可得到答案.【详解】据复合函数的对称性知函数与之间关于点，即中心对称故选：C14．，则，，，…，中最多有（

）个不同的值．A．165 B．177 C．183 D．199【答案】B【分析】由题可得有一个周期为352，且的图像关于直线，对称，据此可得答案.【详解】，即有一个周期为352；又注意到，即的图像关于直线对称；由可得的图像关于直线对称.则，，，…，中的不同值为，共有177个．故选：B．15．已知，，，…，，则（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】根据函数的解析式可得，，，则为迭代周期函数，故，即可求解.【详解】由，知，，．则为迭代周期函数，故，则，所以．故选：A．16．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f（1）＝，f(x＋2)＝f(x)＋f（2），则f（5）等于（

）A．0 B．1C． D．5【答案】C【解析】观察f(x＋2)＝f(x)＋f（2）可知要求需求，要求需求，已知而未知，要求可结合奇函数性质，令求出【详解】令x＝－1，得f（1）＝f(－1)＋f（2）．∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f（1），∴f（1）＝－f（1）＋f（2），∴，∴f（2）＝1，令x＝1，得f（3）＝f（1）＋f（2）＝，令x＝3，得f（5）＝f（2）＋f（3）＝.故选：C【点睛】关键点睛：本题考查由奇函数性质求解具体函数值，抽象函数中赋值法的应用，解题关键在于利用奇函数性质求出；对于抽象函数要能通过关系式进行合理赋值.17．设是定义在上以为周期的函数，在内单调递减，且的图象关于直线对称，则下面正确的结论是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函数的周期为6，从而有，所以有，，又因为，且函数在内单调递减，从而判断大小.【详解】解：因为在上以为周期，对称轴为，且在内单调递减，所以，，，，即.故选：B．18．设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据函数的奇偶性得到，，再结合题意即可求出的表达式．【详解】由函数是一个偶函数，是一个奇函数，所以，，因为①，则②，所以①+②得，所以．故选：A．19．函数在上有定义，且满足是偶函数，且，是奇函数，则的值为．【答案】0【分析】根据函数的奇偶性得到的周期为4，根据奇函数得到，计算得到答案.【详解】，即，令，则，即有，，故，函数周期为，故，为奇函数，故，，故，故.故答案为：20．已知函数的图象关于直线和都对称，且当时，．求的值．【答案】【分析】由对称性可得是以4为周期的函数，由周期性可得，代入已知解析式结合奇偶性即可得出答案.【详解】因为的图象关于直线对称，即，同样，满足，所以，令等价于，所以，所以是以4为周期的函数，所以函数关于对称，即函数为偶函数，，同时还知是偶函数，所以．21．已知是定义在R上的函数，，，，求在区间上至少有几个根？【答案】401【分析】依题意可求得，再求得在区间上，方程至少两个根，结合周期函数性质求解即可．【详解】由，则，又，则，所以，则，又，所以在区间上，方程至少两个根，又是周期为10的函数，则在每个周期上至少有两个根，所以方程在区间上至少有1+个根．22．已知函数在上有定义，,当且仅当时，，且对于任意都有，试证明：①是奇函数；②在上单调递减.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）在（﹣1，1）上的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）在（0，1）上的单调性.【详解】⑴由令令所以是奇函数；⑵，即又当且仅当时，所以即，所以在上单调递减.【点睛】证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并