第二篇函数与导数专题4不等式微点6排序不等式与调整法

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第二篇函数与导数专题4不等式微点6排序不等式与调整法第二篇函数与导数专题4

不等式微点6

排序不等式与调整法【微点综述】排序不等式（RearrangementInequality）又称排序原理，是数学上的一种不等式．它可以推导出很多有名的不等式，例如：算术-几何平均不等式、柯西不等式、切比雪夫总和不等式．排序不等式在高中数学的基础应用频率是低于柯西不等式的．但是排序不等式在数学竞赛中有着广泛的应用．【典例刨析】一、高等数学知识：1．排序不等式（又称排序原理）设有两个有序数组及则（同序和）（乱序和）（反序和）其中是1，2，…，n的任一排列．当且仅当或时等号（对任一排列）成立．证明：（调整法）考察，若，则存在，使得，将与互换，调整后的和与调整前的和作差，所以调整后，和是不减的，接下来若，则继续同样的调整．至多经次调整就可将乱序和调整为同序和，而且每次调整后和是不减的，这说明同序和大于等于乱序和，同理可证乱序和大于等于反序和．2．排序不等式的理解我们可从以下例子中形象直观地理解排序不等式．假设要将n面墙刷上不同颜色的油漆，设这n面墙的面积分别为，，…平方米，而种不同颜色的油漆价格不同，设刷每平方米的价格分别为，…元，那么若第面墙用第种油漆刷（，，…为1，2，…n的一个排列），则刷这面墙的总费用为：．众所周知，当用最便宜的油漆去刷面积最大的墙，次便宜的油漆刷面积次大的墙……，最贵的油漆去刷面积最小的墙时总费用是最少的，也即．而用最贵的油漆去刷面积最大的墙，次贵的油漆去刷面积次大的墙，……，最便宜的油漆去刷面积最小的墙时总费用是最多的，也就是，所以．即排序不等式成立．3．排序不等式与柯西不等式的比较1．从条件看．相同点：两者都涉及两组数列；不同点：柯西不等式对两组数列中的数无大小顺序要求，而排序不等式则有大小顺序要求，且排序不等式还涉及一个数列的乱数列．2．从结论看．相同点：两者都呈现“（两项）积和结构”；不同点：柯西不等式的一边是“平方和的积”，另一边是“积的和的平方”，而排序不等式的两边均为“积的和”，两者取等号的条件不同．3．从应用看．相同点：有许多不等式既可用柯西不等式去证，又可用排序不等式求证，关键在于如何构造所需的两组数列；不同点：排序不等式涉及一个数列的乱数列，而柯西不等式没有．4．切比雪夫总和不等式：若，，则这个不等式可以利用排序不等式来证明．二、典例刨析利用排序不等式证明不等式问题，首先要根据不等式的特点构造两组实数，然后将两组实数进行有序化处理，利用排序不等式解决“乱序和”的最值问题．（一）利用排序不等式求最值（取值范围）1．已知，求的最值．【答案】最大值为，最小值为【分析】将已知不等式变形为，利用柯西不等式可得出，然后去绝对值可求得的取值范围，即可得解.【详解】解：由已知得，由柯西不等式知：．所以，，即，由此可得：，易知最大值为，最小值为．2．求的最小值．【答案】【分析】根据已知条件及柯西不等式即可求解.【详解】由柯西不等式得：．所以，且当且仅当时等号成立．故．【反思】利用柯西不等式求最值，确实显得干净利索，像这样直接可用柯西不等式能解决的题目，难度不大，在数学高考中很可能出现．3．已知，且，求的最小值．【答案】【分析】法1，利用柯西不等式进行求解；法2：利用均值不等式得到，取，可求出最小值；法3：利用排序不等式得到，结合基本不等式得到，求出最小值.【详解】证法1（柯西不等式）：，即，当且仅当时，取到等号，故．证法2（均值不等式）：由，考虑等号成立的条件，取，得，同理可得，．三式相加得，当且仅当时，取到等号，故．证法3（排序不等式）：不妨设，则，从而．因为乱序和反序和，所以．又，并结合当时，，当且仅当时，等号成立，故，可得，当且仅当时，取到等号，故．【反思】利用和谐化原则将各个分式中分子、分母的变量予以统一，有利于问题的简化．探究：不改变问题的条件，能否求u的最大值？试说明理由．猜测：当u在中间位置时，有最小值，估计在边界位置，时，有最大值1．证法1（排序不等式）：不妨设，则，从而．因为同序和乱序和，所以．当且仅当，即，时，．【反思】证法1通过集中变量，成功地实现了放缩．证法2（比较法）：即证．，同理可得，．三个式子相加得，当且仅当，，中有1个数为1，另2个数为0时，．证法3（放缩法，统一分母）：因为，所以，，于是，故，当且仅当，，中有1个数为1，另2个数为0时，．证法4（放缩法，统一分母）不妨设，则，，从而，当且仅当，时，．方法5（放缩法，去分母）不妨设，则，，从而，当且仅当，时，．【反思】上述不等式放缩的技巧性很强，分式中分子与分母的变量不统一反而成了有利条件，使其等号恰好在边界处达到．4．将2006表示成5个正整数之和.记.问：（1）当取何值时，S取到最大值；（2）进一步地，对任意有，当取何值时，S取到最小值.说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】(1)根据条件，判断S的值是有界集，故必存在最大值与最小值，且S取到最大值，则必有，从而可求结论；(2)当，且时，只有三种情况，后两种情形是由第一组作调整下得到的，结合（1）中的分析，可得结论.【详解】（1）首先这样的S的值是有界集，故必存在最大值与最小值．若,且使取到最大值，则必有

(*)事实上，假设（*）不成立，不妨假设．则令，,(),有，．将S改写成同时有．于是有.这与S在时取到最大值矛盾.所以必有.因此当取到最大值.

（2）当且时，只有402，402，402，400，400；402，402，401，401，400；402，401，401，401，401；三种情形满足要求．而后面两种情形是在第一组情形下作，调整下得到的．根据上一小题的证明可以知道，每调整一次，和式变大.所以在情形取到最小值.【点睛】该题所考查的是有关函数最值的应用以及绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有新定义的问题，在解题的过程中，注意对题中条件的转化以及深刻的理解，从而找准解题的方向，进而求得结果.（二）利用排序不等式证明不等式5．设，求证：．【答案】证明见解析【分析】变形得到，由柯西不等式进行证明即可.【详解】证明：由已知可得：．由柯西不等式可知：，两边开方，得：．6．若a，b，c为正实数，且满足．试证：．【答案】证明见解析【分析】将所证不等式化为，结合柯西不等式求解即可.【详解】证明：因，故欲证不等式等价于下述不等式．由柯西不等式得：．故．（当且仅当时，等号成立）故成立.7．已知，证明．【答案】证明见解析【分析】首先根据题目选取两组有序实数，我们不妨设，则且，然后利用排序不等式证明原不等式．【详解】证明：不妨设，则且，由排序不等式得（乱序和逆序和），同样（乱序和逆序和），两式相加，变形得，当且仅当时，等号成立，故原不等式成立．8．已知且满足，证明：．【答案】证明见解析【分析】首先选取两组有序实数，不妨设，则，然后利用排序不等式证明该不等式．【详解】证明：不妨设，则，所以（顺序和乱序和），同样（顺序和乱序和），上述两式当且仅当时，等号成立，所以，，由于，所以（应用柯西不等式），当且仅当时，等号成立，故原不等式成立．9．设，，，求证：．【答案】证明见解析【分析】应先对上式作变形，再利用排序不等式证明．【详解】证明：所证不等式等价于，由对称性，不妨设，则，，，所以，即，故原不等式成立．10．设，，…，是n个互不相等的正整数．求证．【答案】证明见解析【分析】利用排序不等式中反序和≤乱序和，结合，，…，，得到证明.【详解】证明：设，，…，是，，…，的一个排列，且，又．由反序和≤混序和得：．又，，…，，所以．11．利用排序不等式证明均值不等式：，即证明：．【答案】证明见解析【分析】设正数，，…，，记，令（，2，…，n），将要证不等式转化为，其中，引入新的未知数，，…，，使得，，…，，代换即可证明．【详解】设正数，，…，，记，令（，2，…，n），则，其中，不妨引入新的未知数，，…，，使得，，…，，于是，由排序不等式知：，当且仅当时，等号成立，因此，，当且仅当时等号成立．12．应用排序不等式证明切比雪夫不等式：切比雪夫不等式：若，，则【答案】证明见解析【分析】根据不等式两边的结构特征，左边是两两乘积的和，右边也可以组成两两乘积的和，利用排序不等式可以构造出个乱序结构，累加即可证得结论.【详解】同序和乱序和反序和．固定的位置，让进行轮换，轮换一周，恰好轮换次，共得以下个式子：，，，，……，，将以上个式子相加，得，即13．证明闵可夫斯基不等式：，，则.【答案】证明见解析【分析】令，可得出，利用赫尔德（Holder）不等式可得出，然后在不等式的两边同时除以即可证得结论成立.【详解】证明：令，，由赫尔德（Holder）不等式，当，，时，有，同理，，，，所以，，则，所以，.所以，当，时，推广：三角不等式（维向量模定理）：，，，则.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的证明，解题的关键是能熟练利用郝尔德不等式进行推导，同时要注意不等式基本性质的应用.14．设，，…，为互不相等的正整数，证明：．【答案】证明见解析【分析】将，，…，从小到大排序，设为，根据排序不等式即可证明结论.【详解】证明：将，，…，从小到大排序，设为，其中，，…为1，2…，n的一个排列，因为，，…，互不相等，所以有．因此对两组数，，…，和，，…，由排序不等式有．15．设a，b，c是正数，求证：．【答案】证明见解析【分析】由于不等式关于a，b，c对称，不妨设，则，，，由排序不等式证明即可．【详解】证明：由于不等式关于a，b，c对称，不妨设，因此，，，又由排序原理可得，，当且仅当时，等号成立；两式相加再除以2，得，同理，由排序原理可得，，当且仅当时，等号成立；两式相加再除以2，得，所以，当且仅当时，等号成立．【点睛】利用不等式关于a，b，c对称的特点，对a，b，c进行排序，构造两组有序实数，是应用排序不等式逐步调整的关键．（三）利用排序不等式解决三角形中的问题16．在中，a，b，c为三边长，试证．【答案】证明见解析【分析】对于任意的，若三边，则三角，应用排序不等式进行证明．【详解】证明：不妨设，则，所以，同样，所以，所以，故原不等式成立．17．在中，设其各边长分别为，外接圆半径为，求证：.【答案】见解析【分析】根据所给条件结合正弦定理，将原不等式左边构造所给一般形式的柯西不等式，利用柯西不等式证明即可.【详解】证明：∵，∴

.∴原不等式成立.18．设、、是三角形的三边长，且满足（定值），试求的最小值．【答案】【分析】不妨设，则，，利用幂平均不等式可得出，利用柯西不等式可得出，再利用切比雪夫不等式可求得的最小值.【详解】解：不妨设，则，，由切比雪夫不等式，由幂平均不等式有，由柯西不等式有，所以，，于是，当且仅当时，等号成立．19．设的三边为a，b，c，外接圆半径为，证明：，当且仅当为正三角形时等号成立．【答案】证明见解析【分析】由正余弦定理将所要证不等式化为，再由排序不等式求解.【详解】证明：不妨设，则所要证的不等式可化为（由余弦定理与正弦定理得）．由所设，有，，因此由排序不等式得（由均值不等式可得），当且仅当，即为正三角形时等号成立．（四）排序不等式在数学竞赛中的应用（第二届友谊杯国际竞赛题）20．设a，b，c都是正数，求证：.【答案】见解析【分析】由，利用柯西不等式，即可作出证明．【详解】证：因为所以.【点睛】本题主要考查了利用柯西不等式的证明问题，其中解答中合理化简，利用柯西不等式证明是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．【反思】对于一道复杂的有关排序不等式的竞赛题，要结合其他重要不等式，通过换元，反复利用排序不等式等技巧灵活解决问题．从以上例子看出，柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有指导作用，利用它能高瞻远瞩、居高临下，从而方便地解决一些中学数学中的有关问题．通过柯西不等式与排序不等式的应用，体会数学的价值，形成正确的数学观借助二维形式的柯西不等式证明了三角不等式，从而使学生体会到不等式的应用．如果仅从基础知识、基本公式的正面入手，很难取得知识性的突破，若对基础知识、基本公式稍加变形，就会大大降低问题的难度，达到化难为易、化繁为简、化陌生为熟悉的目的．利用柯西不等式证明某些不等式显然特别方便，而柯西不等式的技巧也有很多．如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等．通过对柯西不等式与排序不等式的学习，学生会感受到柯西不等式与排序不等式的对称与和谐美．教学中主要引导学生关注证明过程中如何应用柯西不等式，如何将式子变形转化为柯西不等式的结构形式，这有助于学生把握柯西不等式的结构特征，提高对具体不等式的转化变形能力．在学习数学的过程中，所积累的知识经验经过加工，会得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构与重要类型——模式，将其有意识地记忆下来，并作有目的地简单编码．当遇到一个新问题时，可以辨认它属于哪一类基本模式，联想一个已经解决的问题，以此为索引，在记忆贮存中提取出相应的方法加以解决，这就是模式识别的解题策略．【针对训练】（1999年全国联赛）21．给定正整数和正数．对于满足条件的所有等差数列．试求的最大值．【答案】【详解】设公差为，，则．故．则．因此，，且当，时，．由于此时，故．所以，的最大值为．（2009年清华大学自主招生试题理科）22．（1）x，y为正实数，且，求证：对于任意正整数n，；（2）a，b，c为正实数，求证：，其中x，y，z为a，b，c的一种排列．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）法1：应用二项式定理；法2：应用琴生不等式．（2）应用排序不等式【详解】（1）证法1：设，则，其中于是证法2：当时，成立；当时，画出函数的图象如下：显然，在上是下凸函数，所以，即．（2）证明：不妨设，即，且，排序不等式中，乱序和大于逆序和，故，当且仅当时，等号成立，即．23．设，，…，是n个互不相等的正整数．求证．【答案】证明见解析【分析】利用排序不等式中反序和≤乱序和，结合，，…，，得到证明.【详解】证明：设，，…，是，，…，的一个排列，且，又．由反序和≤混序和得：．又，，…，，所以．24．在中，内角、、所对的边长分别为、、，证明：．【答案】证明见解析【分析】利用排序不等式可结合不等式的基本性质可得出，再利用三角形三边关系结合三角形内角和定理可推导出，即可证得结论成立.【详解】证明：不妨设，则，则，，上述三个不等式全加可得，故．又由，，，可得，可得，综上，．25．设为2，3，5的任一个排列，证明：【答案】证明见解析【分析】根据排序不等式中乱序和逆序和进行证明.【详解】因为，所以从小到大的顺序是，即，而，由排序不等式，乱序和逆序和得，.当且仅当时，等号成立.26．已知，，为正数，，求证：(1)；(2)．