上海工程技术大学-概率论作业答案

#试问:当a,P取何值时,X与y相互独立?解：X与Y相互独立，则有P二P-P212--1P二P-P31P二P-P212--1P二P-P313--1即1=(1+«)丄993/.a1即18=8.设随机变量(X,Y)在区域G上服从均匀分布，其中G由直线y=x,y=-x,y=2所围成.(1)求X与Y的联合概率密度；(2)求X、Y的边缘概率密度(3)问X与Y相互独立吗？为什么？解：(1)G的面积A=2.4.2=41•/X与Y的联合概率密度为：f(x,y)=<40Ixl<y,0<y<2

其他⑵fx(x)f(x，y)dyJ2—dy=—(2-1xI)|x|440IxI<2其他(3)不是相互独立的。因为不恒成立f(x,y)二f(x)f(y)XY9.设X和Y是两个相互独立的随机变量,X在(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为(1)求(X,Y)的概率密度f(x,y)；(2)设含有t的二次方程为t2+2Xt+Y=0，求t有实根的概率.解:(1)fv(x)=X其他355498ADD諝G':308077857硗f395689A90骐-丄卄*丄、“、£/、」、—e20<x<1,y〉0■/X与Y相互独立，/.f(x,y)二f(x)f(y)=<2XY0其他(2)方程有实根，A二(2X)2—4Y>0即X2>Y所求概率为：f(x,y)dxdyJ1dxJx22e-2dyJ—(1—e—2)dx0010。60.4设X和Y是两个相互独立的随机变量，其分布律分别为-1010。20。30。5试分别求Z1二X+Y和Z2二max(X,Y)的分布律.解：0.120。18330390。080.120.2810F脏28490

6F4A潊'a241095E2D席#2678868A4梤2938372C7狇0.3(0,-1)(0,0)(0,1)(1,-1)(1,0)(1,1)-10101200360801118CF0賰392069926餦2553363BD掽3474187B5螵1400999CA3鰹1•••Z广•••Z广X+Y的分布律为:Z2二maX(X，Y)的分布律为—101—101200120o180.420.20.30.7设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,0.2)上服从均匀分布,Y的概率密度是GZ267046850桐@2991474DA瓚试求Z=X+Y的概率密度.解：fX(解：fX(x)={00<x<0.2其他12.设随机变量X和Y相互独立,X在(0,1)上服从均匀分布，Y在(0,2)上服从均匀分布，求Z1=max(X,Y)和Z2=min(X，Y)的概率密度•'0'0x<0解：Fx(x)=<x0<x<11x>10y<0Fy(y)=<20<y<2、1y>2习题四1.设随机变量X的分布律为X-101212pk11111366124求E(X),E(-X+1),E(X2).解：E(X)二(-1)-1+0丄+1丄+1•丄+2丄二-解：62612432.—口袋中共有8只球，其中5只白球，2只红球和1只黑球.从中随机地取出3只球，以X表示这三只球中所含红球数，试求E(X).解：X的分布律为：X012x,0<x<1,3.设随机变量X的概率密度为f(x)=<2—x,1<x<2,求E(X),E(X2).0,其它，解:E(X)=J*"xf(x)dx-J1x•xdx+f2x•(2一x)dx=1-a01某车间生产的圆盘其直径在区间(a,b)内服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望.366118F03較397379B39鬻316157B7F筿11303607698皘解:圆盘直径的概率密度为：f(x)=彳a<x<bb—a0其他解:圆盘直径的概率密度为：f(x)=彳a<x<bb—a0其他•-圆盘面积的数学期望为：5•设随机变量X的概率密度为求⑴Y1二2X，(2)Y二e-2X的数学期望.解：E(Y)=J+82xf(x)dx=J+82x-e-xdx=—2(x+1)e-x1—80+806.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=0<y<x<1,其它,求E(XY),E(X2+Y2).解：E(XY)二J+8J+8xyf(x,y)dxdy二J1dxjxxy-12y2dy二f13x5dx二——8—80002E(X2+Y2)二f+8f+8(x2+y2)f(x,y)dxdy二J1dxfx(x2+y2)-12y2dy二f1里x5dx二兰7.设随机变量—8—8000515X1,X2相互独立，它们的概率密度分别为求E(XX).12解:E(X)二卜xdX二—1—81038.计算第1题，第3题中随机变量X的方差及标准差35解:第1题方差：D(X)=E(X2)—[E(X)]2=(1¥9772标准差：b(X)=X；D(X)二，9772第3题方差：D(X)=E(X2)-[E(X)]2=6—12=6标准差:：(X)E耳9.设随机变量X服从参数为2的泊松分布，Z=3X—2，求E(Z),D(Z).解：E(X)=2,D(X)=210.设随机变量X与Y相互独立，且E(X)=E(Y)=1,D(X)=2,D(Y)=4，求E(X+Y)2.396529AE4髤mgh307227802砂272356A63橣359968C9C貜解：E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2,D(X+Y)=D(X)+D(Y)=6,11.设随机变量X与Y相互独立，且X~N(720,302)，Y~N(640,252).设Z=X—Y，求Z的概率分布,

并求概率P{X>Y}•解：E(X—Y)二E(X)—E(Y)二80,D(X—Y)二D(X)+D(Y)二1525试证明：如果X与Y相互独立，则有D(XY)二D(X)D(Y)+[e(X)1D(Y)+\.E(Y)1D(X).解：等式右边二D(Y)E(X2)+[E(Y)]2D(X)二E(X2Y2)—[E(X)]2[E(Y)]2二D(XY)=等式左边13．已知正常男性成人血液中，每毫升白细胞平均数是7300，均方差是700．利用切比雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在5200〜9400之间的概率p.解：设X：每毫升血液中含白细胞数所求概率p二P{5200<X<9400}二P{—2100<X—7300<2100}—101[13376383E3—101[13376383E3菣_Y2581164D3擓0。40。30.314．设随机变量Z的分布律为:且设X二sin乙Y二cosZ，试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.解：X的分布律为：Y的分布律为:XY二sinZcosZ,XY的分布律为:0。60。401-10.30000。410.30二X和Y不相关二X二X和Y不相关二X和Y不相互独立P二另一方面：X和Y的联合概率密度为:XYv'D(X)另一方面：X和Y的联合概率密度为:显然P{X=—1,Y二0}丰P{X二—1}•P{Y二0}设D(X)二25,D(Y)二36,p0.4，试求D(X+Y)以及D(X—Y).解：D(X+Y)二D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)二D(X)+D(Y)+2p^,D(X)D(Y)设二维随机变量(X,Y)在G上服从均匀分布，其中G={(x,y)10<x<1,0<y<x}，试求相关系数p财.「20<x<1,0<y<x解:f(x,y)=〔0其他试证：Cov(X+Y,X—Y)=D(X)—D(Y).证:cov(X+Y,X—Y)二cov(X,X—Y)+cov(Y,X—Y)习题五

1．根据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布．现随机取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率．解：(1)设第i个元件的寿命为Xi二1,2,,16，则E(X)二100,D(X)二1002iii艺X-16-100艺X-1600ii近似由中心极限定理得:11~N(0，1)400伍-1004004002．某银行的统计资料表明，每个定期存款储户的存款的平均数为5000元，均方差为500元任意抽取100个储户，问每户平均存款超过5100元的概率为多少？至少要抽取多少储户，才能以90%以上的概率保证，使每户平均存款数超过4950元解：(1)设第i户储户的存款为Xi-匕2，…，100侧E(X)=5000,D(X)=5002iii迥X-100-5000i近似由中心极限定理得：—-N(0,1)100-500⑵•••P』迥

⑵•••P』迥

ni=1迥X-500000X>4950}=P{—ii50004950n一5000n500亦查表得：0.1Jn>1.282n>164.4•-至少要抽取165户储户，才能以90%以上的概率保证，使每户平均存款数超过4950元.3．有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3米．现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3米的概率是多少？解:设短于3米的根数为X，则X〜B(100,0.2)，贝yX-20X-20近似由中心极限定理得：=〜N(o,i)<164X-2030-20X-20.P{X>30}=P{>}=P{>2.5}沁1-①(2.5)=1-0.9938=0.00624.设某电视台44某项电视节目的收视率为32%，现任意采访500户城乡居民，问其中有150〜170户收视该项节目的概率为多少？解：设收视该项节目的户数为X,则X〜B(500,0.32)，则由中心极限定理得:*二竺0近以N(0,1)J108.8设有1000台纺纱机彼此独立地工作，每台纺纱机在任意时刻都可能发生棉纱断头(其概率为0.02)，因而需要工人去