2022-2023学年山东省淄博市高一下期末数学试卷含解析

第第页2022-2023学年山东省淄博市高一（下）期末数学试卷（含解析）2022-2023学年山东省淄博市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.在复平面内，对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.若且，则()

A.B.C.D.

3.设，表示不同的直线，，，表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数是()

若，，则

若，，则

若，，，则

若，，则

A.B.C.D.

4.已知向量，，则在上的投影向量的模为()

A.B.C.D.

5.已知，，点是坐标原点，记，则()

A.B.C.D.

6.已知函数的部分图像如图所示，将函数图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的值为()

A.

B.

C.

D.

7.如图，在棱长为的正方体中，，分别是、中点，点是线段上的动点，则三棱锥的体积是()

A.

B.

C.

D.与点的位置有关

8.在中，内角，，所对的边分别为，，，，则的最大值是()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统，唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛，守岁接长筵”这样的诗句为了解某地区居民的年夜饭消费金额，研究人员随机调查了该地区个家庭，所得金额统计如图所示，则下列说法正确的是()

A.可以估计，该地区年夜饭消费金额在家庭数量超过总数的三分之一

B.若该地区有个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过元的有个

C.可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足元

D.可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过元

10.设，若，且的最小正周期大于，则下列结论正确的是()

A.当时，取最大值B.的最小正周期为

C.是偶函数D.在上单调递增

11.已知向量，的夹角为，，向量，且，，则向量，夹角的余弦值可以为()

A.B.C.D.

12.如图，在棱长为的正方体中，为边的中点，点为线段上的动点，设，则()

A.当时，平面

B.当时，取得最小值，其值为

C.的最小值为

D.当平面时，

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.某个品牌的牛奶重景单位：的样本数据如下：、、、、、、、、、、、，则这组数据的第百分位数为______．

14.在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为______．

15.已知四棱锥的底面是矩形，侧面为等边三角形，平面平面，其中，，则四棱锥的外接球表面积为______．

16.图：上有两定点，及两动点，，且，则的最大值是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

已知向量，．

若向量与互相垂直，求的值；

设，求的最小值．

18.本小题分

已知，．

若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求函数的解析式；

若函数的图象关于对称，且函数在上单调，求的值．

19.本小题分

如图所示，在三棱柱中，点，，，分别为棱，，，上的点，且，，，，四边形为矩形，平面平面，G.

证明：平面；

证明；平面．

20.本小题分

后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数国家先后出台了多项减税增效政策某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得位在职员工的个人所得税单位：百元数据，按，，，，，，，，分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：

求直方图中的值；

根据频率分布直方图估计该市的职工年个人所得税不超过百元，求的最小值：

已知该地区有万在职员工，规定：每位在职员工年个人所得税不超过元的正常收取，若超过元，则超出的部分退税，请估计该地区退税总数约为多少？

21.本小题分

如图，在四棱柱中，底面是边长为的正方形，，．

求三棱锥的体积；

若是侧棱的中点，求二面角的余弦值．

22.本小题分

如图，平面四边形中，，，，的内角，，的对边分别是，，，且满足．

判断四边形是否有外接圆？若有，求其半径；若无，说明理由，

求内切圆半径的取值范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，

则在复平面内，对应的点的坐标为，位于第一象限．

故选：．

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

2.【答案】

【解析】解：根据题意，若，

则，解可得．

故选：．

根据题意，由数量积的计算公式可得，解可得答案．

本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：，表示不同的直线，，，表示不同的平面，

对于，若，，则由线面的判定定理得，故正确；

对于，若，，则与相交或平行，故错误；

对于，若，，，则由线面平行的性质得，故正确；

对于，若，，则与平行或异面，故错误．

故选：．

对于，由线面的判定定理得；对于，与相交或平行；对于，由线面平行的性质得；对于，与平行或异面．

本题考查线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定与性质等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．

4.【答案】

【解析】解：向量，，则是单位向量，且，

因此在上的投影向量为，其模为．

故选：．

利用投影向量的定义求出该向量，再求出模作答．

本题考查了单位向量的定义，向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，投影向量的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．

5.【答案】

【解析】解：，，点是坐标原点，

可得，

，

又，，

．

故选：．

由题意利用向量夹角公式即可求解．

本题考查了平面向量夹角公式的应用，属于基础题．

6.【答案】

【解析】解：观察图像知，，函数的周期，则，

根据五点法作图，可得，故，

因此，，

所以．

故选：．

根据给定的图像，求出函数的解析式，进而求出的解析式，再利用余弦函数的图像和性质，得出结论．

本题主要考查三角函数的图像和性质，利用五点对应法求出函数的解析式，利用图像平移变换关系求出的解析式是解决本题的关键，属于中档题．

7.【答案】

【解析】解：在正方体中，，分别是、中点，则，

而平面，平面，于是平面，又点是线段上的动点，

因此点到平面的距离等于点到平面的距离，

所以三棱锥的体积．

故选：．

根据给定条件，证得平面，再利用等体积法求解作答．

本题主要考查棱锥体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．

8.【答案】

【解析】解：在中，，

因为，

所以，

则，

所以，

又，均为锐角，

故，，

由余弦定理得，

所以

，

又，当且仅当时等号成立，

所以的最大值是．

故选：．

根据三角形的内角和结合诱导公式、两角和的余弦公式、商数关系式可得，再根据余弦定理与角度转化可得，由基本不等式即可得最大值．

本题考查了三角形的内角和定理，诱导公式，两角和的余弦公式，余弦定理以及基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

9.【答案】

【解析】解：对于，由题意得该地区年夜饭消费金额在的频率为，

可以估计，该地区年夜饭消费金额在家庭数量超过总数的三分之一，故A正确；

对于，若该地区有个家族，可以估计年夜饭超过元的家庭个数为，故B正确；

平均数为元，故C错误；

中位数为元，故D正确．

故选：．

利用频率、频数、平均数、中位数的定义直接求解．

本题考查频率、频数、平均数、中位数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

10.【答案】

【解析】解：，，

的图象关于直线对称，且关于点对称，

的最小正周期，，

由，可得，

，

再根据，，可得，，

又，，

，显然为偶函数，故C正确，

当时，，此时取得最小值，故A错误，

的最小正周期为，故B正确，

当时，，而余弦函数在上单调递减，

所以在上单调递减，故D错误．

故选：．

由题意可得的图象关于直线对称，且关于点对称，且，由，可得，进而求出的值，得到的解析式，再利用余弦函数的图象和性质逐个判断各个选项即可．

本题主要考查了余弦函数的图象和性质，属于中档题．

11.【答案】

【解析】解：，，

，

，，

，

令，则，

令，由，，得，

则，

，，

，

向量，夹角的余弦值可以为，．

故选：．

利用向量的模，向量数量积的运算，向量夹角公式得出，再结合换元法得到二次函数，求二次函数的范围即可．

本题考查求向量的模，向量数量积的运算，向量夹角公式，考查换元法，二次函数求最值，属于难题．

12.【答案】

【解析】解：在棱长为的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，

所以，则点，

对于，，，，而，

显然，即是平面的一个法向量，

而，因此不平行于平面，即直线与平面不平行，A错误；

对于，，则，

因此当时，取得最小值，B正确；

对于，，

于是，当且仅当时取等号，C正确；

对于，取的中点，连接，，，如图，

因为为边的中点，则，当平面时，平面，

连接，连接，连接，显然平面平面，

因此，，平面，平面，则平面，

即有，而，

所以，D错误．

故选：．

建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断；利用两点间距离公式计算判断；确定直线与平面交点的位置判断作答．

本题主要考查了直线与平面平行的判定定理，考查了利用空间向量求空间中的距离问题，属于中档题．

13.【答案】

【解析】解：样本数据由小到大排列为，、、、、、、、、、、、，

由，得这组数据的第百分位数为．

故答案为：．

把给定的样本数据由小到大排列，利用第百分位数的定义求解作答．

本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．

14.【答案】

【解析】解：正四棱台的对角面是等腰梯形，其高为该正四棱台的高，

在等腰梯形中，，而，

则该梯形的高，

所以该棱台的体积．

故答案为：．

根据给定条件，求出正四棱台的高，再利用棱台的体积公式计算作答．

本题考查台体的体积公式的应用，属基础题．

15.【答案】

【解析】解：设的中点为，连接，，连接，

设外接圆的圆心为，半径为，

所求外接球球心为，半径为，连接，，如图，

因为为等边三角形，，所以圆的半径，

因为为等边三角形，是的中点，所以，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

因为底面是矩形，所以是底面外接圆的圆心，

故平面，所以，

同理，所以四边形是矩形，

所以，

所以球的半径，

所以外接球的表面积为．

故答案为：．

设外接圆的圆心为，外接球球心为，先分别求得外接圆的半径与，再利用勾股定理求得外接球的半径，从而得解．

本题考查四棱锥的外接球问题，属中档题．

16.【答案】

【解析】解：由题意，，是圆：上的两动点，则，

由，得，

即，，

为正三角形，

已知点，，

所以，

故

，

设与的夹角为，则，

又，，

，

故，

则的最大值是．

故答案为：．

由，结合平面向量的数量积运算求解即可．

本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题．

17.【答案】解：因为向量，，

则，，

由向量与垂直，得，

所以．

由，，得，

所以，

所以当时，取到最小值．

【解析】利用垂直关系的向量表示，结合数量积的运算律求解作答．

利用向量线性运算的坐标表示，结合模的坐标表示建立函数关系，求出函数最小值作答．

本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示，属于基础题．

18.【答案】解：因为，

因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，所以，则，

所以，解得，

故函数．

由，函数的图象关于对称，

所以，所以，，

由，则，

又函数在上单调，所以，解得，

所以当时，．

【解析】利用三角恒等变换将函数化简，依题意，即可求出，从而得到函数解析式．

由对称性得到，，再由函数在区间上的单调性求出的范围，即可得解．

本题主要考查三角恒等变换，函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．

19.【答案】证明：在三棱柱中，连接，，取的中点，连接，如图，

因为，，，，则，，

于是四边形是平行四边形，即有，

又平面，平面，则平面，

显然点为的中点，而点为的中点，则，

由，得，又，，，即有且，

于是四边形为平行四边形，则，

而平面，平面，则平面，

又，，平面，因此平面平面，而平面，

所以平面．

由四边形为矩形，得，因为平面平面，

平面平面，平面，因此平面，

而平面，则，又，，于是，

因为，平面，平面，

所以平面．

【解析】取的中点，利用平行公理及平行四边形性质，证明线面平行，进而证明面面平行，再利用面面平行的性质推理作答．

利用面面垂直的性质、线面垂直的判定推理作答．

本题主要考查了平行及垂直关系的判断及性质的应用，属于中档题．

20.【答案】解：由频率分布直方图列方程，得：

，

解得，

直方图中的值为；

由频率分布直方图得：

在户居民年用水量频率分布直方图中，前组频率之和为，

前组频率之和为，，

，

解得；

由频率分布直方图得：

区间，，，内的年个人所得税分别取，，，为代表，

则他们的年个人所得税分别超出，，，元，

元，

超出的部分退税，估计该地区退税总数约为元．

【解析】由频率分布直方图列方程组，能求出的值．

在户居民年用水量频率分布直方图中，前组频率之和为，前组频率之和为，所以，由此能求出的最小值．

由题可知，区间，，，内的年个人所得税分别取，，，为代表，则他们的年个人所得税分别超出，，，元，由此能估计该地区退税总数．

本题考查频率分布直方图的性质及应用，考查运算