双曲线简单几何性质练习题5318

双曲线的简单几何性质练习题班级姓名学号1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为()x2y2x2y2x2y2x2y2A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1412124106610x2y2522．(新课标卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线a2b2方程为()1413C．y＝±12xA．y＝±xB．y＝±xD．y＝±x623．下列双曲线中离心率为的是()x2y2x2y2x2y2xy22D.－＝1410A.－＝1B.－＝1C.－＝12442464．中心在原点，实轴在是(A．x2－y2＝8B．x2－y2＝4x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程)C．y2－x2＝8D．y2－x2＝4xy225．已知双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为()a2b2B.2C.252D.2A.3xy226．双曲线＋＝4k1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是()A．(－10,0)7．已知双曲线点，且AB的中点为N(－12，－B．(－12,0)E的中心为原点，15)，则C．(－3,0)F(3,0)是E的焦点，过F的直线E的方程为D．(－60，－12)l与E相交于A，B两()x2y2x2y2x2y2xy221A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝54364563x2y21的两条渐近线的方程为________．8．(江苏高考)双曲线－＝1699．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为．y2π610．过双曲线x－＝1的左焦点F，作倾斜角为的直线AB，其中A，B分别为直线231与双曲线的交点，则|AB|的长为________．xy2211．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，Na2b2x2y212．双曲线－＝1的右顶点为916的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．13．求适合下列条件的双曲线的标准方程：52(1)过点(3，－2)，离心率e＝；(2)已知双曲线的中心在原点，焦点F，F在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点12P(4，－10)．为3，且ac＝33.x2y2214．已知双曲线b2C：－＝1(a>0，b>0)的离心率a2(1)求双曲线(2)已知x－y＋m＝0与双曲线＋y＝5上，求m的值．C的方程；直线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x22参考答案1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为()x2y2x2y2A.－＝1B.－＝1412124x2y2x2y2C.－＝1D.－＝1106610b解析：选A由题意知c＝4，焦点在x轴上，所以a2＋1＝e2＝4，所以＝ba3，又由x2y2a2＋b2＝4a2＝c2＝16，得a2＝4，b2＝12.所以双曲线方程为－＝1.412xy225Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线ab2222．(新课标卷方程为()1413A．y＝±xB．y＝±x12C．y＝±xD．y＝±xx2y2b解析：选C因为双曲线－＝1的焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为y＝±a2b2aa2＋b25a2，所以ba＝12，所以双曲线的渐近线方程为ycb＝2x.又离心率为e＝＝＝1＋aa＝±12x.623．下列双曲线中离心率为的是()x2y2x2y2A.－＝1B.－＝12442x2y2x2y2C.－＝1D.－＝1464106232c32解析：选B由e＝得e＝，∴＝，2a223b12a2＋b2则＝，∴a＝，即a2＝2b2.因此可知B正确．a22224．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是()A．x2－y2＝8C．y2－x2＝8B．x2－y2＝4D．y2－x2＝4解析：选A令y＝0得，x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，∴c＝4，a2＝12c2＝×16＝8，故选A.125．已知双曲线ax－by＝1的两条渐近线互相垂直，22则双曲线的离心率为()22A.3B.252C.2D.2解析：选B由题意可知，此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a＝b，c＝a＋b2＝2a，于是e＝ac＝2.26．双曲线x＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是(2y2)4kA．(－10,0)C．(－3,0)B．(－12,0)D．(－60，－12)解析：选B由题意知k<0，∴a2＝4，b2＝－k.a2＋b2＝4－kk4∴e2＝＝1－.a24k4又e∈(1,2)，∴1<1－<4，∴－12<k<0.7．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为()x2y2x2y2A.－＝136B.－＝145x2y2x2y2C.－＝163D.－＝154解析：选B设双曲线的标准方程为ax－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，2y22b2x2y21b2－＝1，1a2设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有x2y22－＝1，2a2b2两式作差得y1－ybx1＋x－12b224b2，5a22＝2＝＝x－xa2y1＋y－15a2121－15－0＝1，又AB的斜率是－12－3所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，答案第2页，总5页xy22所以双曲线标准方程是－＝1.45x2y21的两条渐近线的方程为________．8．(江苏高考)双曲线－＝169解析：令x－＝0，解得y＝±x.2y2341693答案：y＝±x49．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意得双曲线的焦点在x轴上，且a＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c∶b＝5∶4，解得c＝5，b＝4，x2y2∴双曲线的标准方程为－＝1.916x2y2答案：－＝1916y2π10．过双曲线x－＝1的左焦点F，作倾斜角为的直线AB，其中A，B分别为直线2361与双曲线的交点，则|AB|的长为________．解析：双曲线的左焦点为F1(－2,0)，将直线AB方程：y＝33(x＋2)代入双曲线方程，得8x2－4x－13＝0.显然Δ>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，12138∴x1＋x2＝，xx12＝－，∴|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4xx1213113－4×－＝3.8＝1＋×22答案：3xy2211．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，Na2b2两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a＋c＝ba2，即a2＋ac＝c2－a2，∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．答案：2x2y212．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线916的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．x2y243解析：双曲线－＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x.91643不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得，y＝－，所以B，－.515所以S△AFB＝|AF||y|＝12(c－a)|y|＝×(5－3)×＝121232321515.BB32答案：.1513．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点(3，－2)，离心率e＝25；(2)已知双曲线的中心在原点，焦点F，F在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点12P(4，－10)．x2(1)若双曲线的焦点在x轴上，设其标准方程为－＝1(a>0，b>0)．ab22y2解：92因为双曲线过点(3，－2)，则a－＝1.①2b2a2＋b2＝25，故a2＝4b2.②c又e＝＝aa214y2由①②得a2＝1，b2＝，故所求双曲线的标准方程为x2－＝1.14y2x2172若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为－＝1(a>0，b>0)．同理可得b2＝－，a2b2不符合题意．y2综上可知，所求双曲线的标准方程为x2－＝1.14(2)由2a＝2b得a＝b，1＋ba＝2，2∴e＝2答案第4页，总5页所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点P(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x2－y2＝6.xy22∴双曲线的标准方程为－＝1.6614．已知双曲线C：a－b＝1(a>0，b>0)的离心率为3，且ac＝33.x2y2222(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．33，a2＝＝，a1c解：(1)由题意得解得＝c3.c＝3，a所以b2＝c2－a2＝2.y2所以双曲线C