2022-2023学年福建省福州市金桥学校高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年福建省福州市金桥学校高二（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知集合A={1,3,5}，B={1,2,3,4}，且A∩B=(

)A.{1,3} B.{1,3,5}

C.{1,2,3,4} D.A={1,2,3,4,5}2.已知点A(1,0)，B(0,1)，则|AB|=(

)A.1 B.3 C.2 D.3.若复数z满足iz=2+2i(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点所在的象限是(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.“x≠0”是“xy≠0”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知函数f(x)=3x2−5x+2，则f(a+3)的值为A.3a2+13a+14 B.3a2−5a+106.cos20°cos25°−sin20°sin25°的值为(

)A.0 B.1 C.22 7.已知某平面图形的斜二测画法直观图是一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图所示，则该平面图形的面积是(

)A.1

B.2

C.2

D.8.设函数f(x)=cos(3x+π6A.f(x)的最小正周期为2π3 B.y=f(x)的图像关于直线x=π9对称

C.y=f(x)的图像关于点(−2π9,0)对称9.已知集合A={x|−1<x≤3}，集合B={x||x|≤2}，则下列关系式正确的是(

)A.A∩B=⌀ B.A∪B={x|−2≤x≤3}

C.A∪∁RB={x|x≤−1或x>2}10.下列各组向量中，可以作为基底的是(

)A.e1=(0,0)，e2=(1,−2) B.e1=(2,−3)，e2=(1211.如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN//平面ABC的有(

)A. B.

C. D.12.某次智力竞赛的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得10分，部分选对的得5分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是(

)A.甲同学仅随机选一个选项，能得5分的概率是12

B.乙同学仅随机选两个选项，能得10分的概率是16

C.丙同学随机选择选项，能得分的概率是15

二、非选择题（90分）13.函数f(x)=x2+2x14.函数f(x)=4+loga(x−1)(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标是______15.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是______．16.已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数，若对任意x∈(0,+∞)，都有f[f(x)−12]=2，则f(1202117.已知集合A={x|x2−2x≤0}，B={x|2+a≤x≤1−a,a∈R}

(1)当a=−1时，求∁R(A∪B)；

(2)若A∩B=⌀18.已知tanα+9tanα=6．

(1)求tanα的值；

(2)化简并求19.如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，E为DD1中点．

(1)求证：BD120.为了解某校高二年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试.已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图．

(1)求a的值；

(2)估计这次数学考试的平均成绩；

(3)求这次数学考试的及格率(不低于60分视作及格)．21.如图所示，滚珠P，Q同时从点A(2,0)出发沿圆形轨道匀速运动，滚珠P按逆时针方向每秒钟转π3弧度，滚珠Q按顺时针方向每秒钟转π6弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．

(Ⅰ)求滚珠P，Q第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；

(Ⅱ)求从出发到第二次相遇滚珠P，Q各自滚动的路程．22.已知函数f(x)=3x−a⋅3−x，其中a为实常数；

(1)若f(0)=7，解关于x的方程f(x)=5；

(2)答案和解析1.【答案】A

【解析】解：∵A={1,3,5}，B={1,2,3,4}，

∴A∩B={1,3,5}∩{1,2,3,4}={1,3}．

故选：A．

直接利用交集运算得答案．

本题考查交集及其运算，是基础题．

2.【答案】D

【解析】解：∵A(1,0)，B(0,1)，

∴AB=(−1,1)，|AB|=2．

故选：D．

根据A，B点的坐标可求出向量AB3.【答案】D

【解析】解：由iz=2+2i，得z=2+2ii=(2+2i)×(−i)−i2=2−2i，

∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(2,−2)，所在的象限是第四象限．

故选：D4.【答案】B

【解析】解：当x≠0，y=0时，xy=0，则“x≠0”是“xy≠0”的不充分条件；

当xy≠0时，显然x≠0，y≠0，则“x≠0”是“xy≠0”的必要条件．

故选：B．

根据必要不充分条件的定义，可得答案．

本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．

5.【答案】A

【解析】解：根据题意，f(x)=3x2−5x+2，

则f(a+3)=3(a+3)2−5(a+3)+2=3a2+13a+14．

故选：A．6.【答案】C

【解析】解：因为cos20°cos25°−sin20°sin25°

=cos(20°+25°)

=22．

故选：C．7.【答案】D

【解析】解：根据平面图形的直观图，还原为平面图形为平行四边形，

如图所示：

所以OD=22，AB=1，

故S四边形ABCD=22×1=22．8.【答案】B

【解析】【分析】本题考查余弦函数的周期性、单调性、对称性，考查运算求解能力，属于中档题．

利用余弦函数的周期性、单调性、对称性对ABCD四个选项逐一判断即可得答案．【解答】解：由于函数f(x)=cos(3x+π6)的最小正周期为T=2π3，故A正确；

又当x=π9时，f(x)=cosπ2=0≠±1，

故y=f(x)的图像不关于直线x=π9对称，故B错误；

当x=−2π9时，f(x)=cos(−2π3+π6)=0，

故y=f(x)的图像关于点(−

9.【答案】BD

【解析】解：∵A={x|−1<x≤3}，B={x||x|≤2}={x|−2≤x≤2}，

∴A∩B={x|−1<x≤3}∩{x|−2≤x≤2}={x|−1<x≤2}，故A不正确；

A∪B={x|−1<x≤3}∪{x|−2≤x≤2}={x|−2≤x≤3}，故B正确；

∵∁RB={x|x<−2或x>2}，

∴A∪∁RB={x|−1<x≤3}∪{x|x<−2或x>2}={x|x<−2或x>−1}，故C不正确；

A∩∁RB={x|−1<x≤3}∩{x|x<−2或x>2}={x|2<x≤3}，故D正确．

∴正确的是B，D．

故选：10.【答案】D

【解析】解：选项A，可得0×(−2)−0×1=0，故e1//e2，不可作基底，故错误；

选项B，可得2×(−34)−(−3)×12=0，故e1//e2，不可作基底，故错误；

选项C，可得3×10−5×6=0，故e1//e211.【答案】AD

【解析】解：对于A选项，由下图可知MN//DE//AC，MN⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，所以MN//平面ABC，A正确．

对于B选项，设H是EG的中点，由下图，结合正方体的性质可知，AB//NH，MN//AH//BC，AM//CH，所以A，B，C，H，N，M六点共面，B错误．

对于C选项，如下图所示，根据正方体的性质可知MN//AD，由于AD⊄平面ABC，所以MN⊄平面ABC，所以C错误．

对于D选项，设AC∩NE=D，由于四边形AECN是矩形，所以D是NE中点，由于B是ME中点，所以MN//BD，

由于MN⊄平面ABC，BD⊂平面ABC，所以MN//平面ABC，D正确．

故选：AD．

结合线面的位置关系以及线面平行的判定定理确定正确选项．

本题主要考查空间中直线和平面的位置关系，属于基础题．

12.【答案】ABC

【解析】解：当至少选择一个选项，所有可能的选择情况有15种，分别为：A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，

A，甲同学仅随机选一个选项有4种情况，能得5分有2种情况为C，D，则能得5分的概率是24=12，故A正确，

B，乙同学仅随机选两个选项有6种情况，能得10分有1种情况为CD，则能得10分的概率16，故B正确，

C，丙同学仅随机选择选项有15种情况，能得分有3种情况为C，D，CD，则能得分的概率是1+215=15，故C正确，

D，丁同学随机至少选择两个选项有11种情况，能得分有1种情况为CD，则能得分的概率是111，故D错误．

13.【答案】2

【解析】解：当x>0时，x2+2x≥2x2×2x=2，

当且仅当x2=14.【答案】(2,4)

【解析】解：由对数的性质可知：x−1=1，可得x=2，

当x=2时，y=4．

∴图象恒过定点A的坐标为(2,4)．

故答案为(2,4)

根据对数的性质即可求图象恒过定点的坐标．

本题主要考查了对数的性质，图象恒过定点的问题．比较基础．

15.【答案】0.26

【解析】解：由题意得：甲批种子发芽同时乙批不发芽或甲批种子不发芽同时乙批种子发芽，

则所求概率P=0.8×(1−0.9)+(1−0.8)×0.9=0.26．

故答案为：0.26．

利用互斥事件及独立事件概率公式即得．

本题主要考查互斥事件和相互独立事件，属于基础题．

16.【答案】2022

【解析】解：根据题意，因为函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调函数，

若对任意x∈(0,+∞)，都有f[f(x)−12]=2，

可设f(x)−1x=c，故f(x)=c+1x，且f(c)=c+1c=2(c>0)，

解可得，c=1，所以f(x)=1x+1，则f(17.【答案】解：(1)∵A=[0,2]，当a=−1时，B=[1,2]，则A∪B=(0,2)

∴CR(A∪B)=(−∞,0)∪(2,+∞)

(2)当B=⌀时，则1−a<2+a，得a>−12；

当B≠⌀时，则a≤−12时，得1−a<0或2+a>2【解析】(1)化简集合A，B，根据并集与补集的定义写出∁R(A∪B)；

(2)讨论B=⌀和B≠⌀时，求出a的取值范围．

18.【答案】解：(1)根据tanα+9tanα=6，可得tan2α−6tanα+9=0，解得【解析】(1)由题意，解方程求出tanα的值．

(2)利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，计算求得结果．

本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．

19.【答案】(1)证明：设AC与BD交于点O，连接OE，

∵底面ABCD是菱形，

∴O为DB中点，

又∵E是DD1的中点，

∴OE//D1B，

∵OE⊂面AEC，BD1⊄平面AEC

∴BD1//平面ACE．

(2)证明：在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，BB1⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，

∴BB1⊥AC．

∵底面【解析】(1)设AC与BD交于点O，连接OE，可得OE//D1B，即可证明BD1//平面ACE；

(2)证明AC⊥BD及20.【答案】解：(1)由(0.002+0.008+0.02+0.026+a+0.016+0.004)×10=1，

解得a=0.024；

(2)这次数学考试的平均成绩为：

35×0.02+45×0.08+55×0.2+65×0.26+75×0.24+85×0.16+95×0.04=67.6；

(3)由频率分布直方图得这次数学考试的及格率为：

P=1−(0.002+0.008+0.02)×10=70%．

【解析】(1)由频率分布直方图小矩形面积之和为1即可计算；

(2)根据频率分布直方图直接计算即可；

(3)用频率估计概率即可．

本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．

21.【答案】解：(Ⅰ)设P、Q第一次相遇时所用的时间是t，

则t⋅π3+t⋅π6=2π，

∴t=4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．

设第一次相遇点为C，则xC=2cos4π3=−1，yC=2sin4π3=−3，【解析