《概率论与数理统计》第二章随机变量及其分布

--#-/25应该指出，除了离散型，连续型以外，随机变量还有其它类型，例如0,x<0F（x）=J土,0<x<121,x>1是分布函数，它不是离散型的，也不是连续型的（因为它不连续）.以后如果对一般的随机变量进行讨论，就用分布函数；如果对离散型情形，主要就用分布列；如果对连续型，则主要用密度函数,不另提其它类型了。基础训练2.3第四节随机变量函数的分布在实际中，我们不仅要研究随机变量，还要讨论随机变量的函数.例如在测量圆轴的截面积时，往往只能测量到圆轴的直径，然后由函数得到截面积的值。在这一节中，我们讨论如何由已知随机变量的分布去求它的函数的分布，这里是已知的连续函数。一离散型随机变量函数的分布设随机变量的分布律为显然，的连续函数也是一个离散型的随机变量.如何由的概率分布导出Y的概率分布？第一步，先由可能取到值确定的所有可能取到的值；第二步，如果随机变量取不同的值时，随机变量函数也取不同的值，则Y的分布列为如果随机变量取不同的值时，而随机变量函数的取值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，并根据概率的可加性把对应的概率相加，就得到Y的分布列.【例1【例1】设的分布列为012345求（1）的分布律；（2）的分布律【解】（1）Y的可能取值为1,3,5,7,9,11,它们互不相同,所以Y的分布律为1357911（2）Y的可能取值为0，1，4，9它们有相同的则；同理可得，；.所以Y的分布律为0149二连续型随机变量的函数分布设已知连续型随机变量的分布函数为或其密度函数为，那么应当如何确定随机变量的概率密度？1.分布函数法从的分布函数为，而Y的概率密度函数可由得到.【例2】设随机变量具有概率密度函数求随机变量的概率密度函数。【解】先求的分布函数.当时，事件为不可能事件，所以当时，有根据的概率密度函数表达式，有当，即时，有当，即时，有综上，我们得到Y的分布函数为

于是Y的概率密度函数为【例3】对一圆片的直径进行测量，其值在［5,6］上服从均匀分布，求圆片面积的概率密度.【解】设圆片的直径为，则圆片的面积为⑴因为’所以FX(x)十⑴因为’所以FX(x)十x-5,5<x<6；1,x>6⑵Fy(⑵Fy(y)=P(Y<y)=為x2<y}T0,y<0律<X<2P{-21)而当时，将代入的分布函数中，得2)综合式(1)、式(2)，得到Y的分布函数FY(y)FY(y)<y<9k对Y的分布函数求导，得到Y的概率密度函数f125k门I/—，<y<9兀f(y)=L：ky4

y|o,其它【例4】设随机变量具有概率密度函数，求随机变量的概率密度函数.【解】由于，故当时，；当时有由此知Y的概率密度函数为0,y<0.(y)二d-F(y)」占m小-®y>0;ydyy0,y<0.注15】根据本例，若，的概率密度函数为

则的概率密度函数为则的概率密度函数为I1_1_于y>0;y<o.Iy2e2y>0;y<o.f(y)十仏'Io,此时称Y服从自由度为1的卡方分布，记为分布.2.定理法定理2设随机变量具有概率密度函数，为内的严格单调的可导函数，则随机变量的概率密度函数为（2.22）其中是的反函数，且证不妨设严格单调增加，则，它的反函数存在，且也严格单调增加.因为在区间之间取值，所以当时,；当时；当时，于是，Y的概率密度函数为对于严格单调下降的情形可以类似证明，此时有合并以上两式，即得（2.22）式.【例5】设随机变量证明也服从正态分布.【证】因为，所以；由为严格单调函数，得，，且根据定理，得所以【注16】由上面的讨论知，求随机变量的函数的分布，关键的一步是在事件中，解得的取值范围，而Y的分布函数就是的概率密度函数在此取值范围上的积分。当是严格单调函数时，可应用定理给出的结果。要注意的是，由事件得出的的取值范围可能不止一个区间，此时则应在各个区间上对的概率密度函数积分，然后得出Y的分布函数。【例6】*设X的概率密度函数为0<x<兀;其他2xf(x)=<0<x<兀;其他I0,求的概率密度函数.【解】因为Y在［0，1］上取值，所以当时，

当时，；当时，.当时，满足的落在区间和之内（图2-13），故若记则Y的分布函数为于是