第六章幂函数、指数函数和对数函数 复习课讲义含答案

第第页第六章幂函数、指数函数和对数函数复习课讲义（含答案）编号：037课题:§6幂函数、指数函数和对数函数复习课

教学课时安排

1、上课时间：_________________．

2、课时安排：_________________．

3、上课班级___________________．

学科目标要求

1.理解并掌握幂、指数、对数函数的图象问题；

2.会利用幂、指数、对数函数的性质比较大小；

3.理解并掌握幂、指数、对数函数的性质应用；

4.解决一些抽象函数应用问题．

本节重点难点

重点：幂、指数、对数函数的性质应用；

难点：抽象函数应用问题．

学科素养目标

指数函数、对数函数、幂函数是与现实世界的密切联系的函数模型，是体验函数模型运用过程和方法的重要载体．通过学习，进一步体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题，利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系．

在学习基本初等函数I及其应用的过程中，要通过对具体数式的分析，使学生体会分数指数幂、对数的概念和意义，掌握有理指数幂、对数的运算性质，了解并掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念、图象和性质；知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．

通过函数的应用，了解函数与方程之间的关系，体会二分法求一些简单方程的近似解的方法，尽管这个解也许不准确，但可以通过有效的方法控制精确度；通过数据拟合，体会到现代信息技术是数学课程的一个重要部分；会利用函数知识分析问题、解决问题，能准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具，逐步形成利用运动、变化的观点观察事物的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力，以及数学表达、交流的能力，进一步培养学生的创新意识与探究能力、数学建模能力和实践能力．

知识结构简图

教学过程赏析

基础知识积累

1.常见幂函数的图象与性质

解析式y=xy=x2y=x3

图象

定义域RRR_______________

值域R_______R_________________

奇偶性______函数_____函数______函数_____函数________函数

解析式y=xy=x2y=x3

增区间_______________无______

减区间无_______无_______，__________无

定点幂函数的图象均过定点_________

(1)本质:幂函数的图象是函数的图形表示,幂函数的性质是根据函数图象总结得到的.

(2)应用:①求定义域;②求值域;③比较大小;④求单调区间.

2.指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象与性质

a>10图象

性质(1)定义域:________

(2)值域:_________

(3)图象过定点_______,图象在x轴上方

a>10性质(4)在(-∞,+∞)上是增函数;当x>0时,y>1;当x0时,01

注意:在同一坐标系中有多个指数函数图象时,图象的相对位置与底数的大小有如下关系:

①在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;

②在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即无论在y轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x=1时,y的取值去理解.如图所示:

3.对数函数的图象与性质

a>10图象

性质定义域:____________

值域:______________

a>10性质图象过点___________

在(0,+∞)上是增函数;当01时,y>0在(0,+∞)上是减函数;当00;当x>1时,y1时,底数越大图象越靠近x轴;当0底数越小图象越靠近x轴.

②左右比较:交点(图象与y=1的交点)的横坐标越大,对应的对数函数的底数a越

大.

【课堂题组训练】

题1.已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(－2，－)，则满足f(x)＝27的x的值为()

A．3B．C．27D．

题2．已知log2x＝log3y＝log5z＞1，则，，的大小排序为()

A．＜＜B．＜＜

C．＜＜D．＜＜

题3．已知f(x)＝lg(e|x|＋2)，a＝20.3，b＝log32，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为()

A．f(b)＞f(a)＞f(c)

B．f(c)＞f(a)＞f(b)

C．f(a)＞f(b)＞f(c)

D．f(c)＞f(b)＞f(a)

题4．函数f(x)＝ax2＋2x＋1与g(x)＝xa在同一坐标系中的图象不可能为()

题5．已知实数a，b满足等式2a＝3b，下列关系式中不可能成立的是()

A．0＜b＜aB．a＜b＜0

C．b＜a＜0D．a＝b

题6．下列说法中错误的个数是()

①幂函数的图象不过第四象限；

②y＝x0的图象是一条直线；

③若函数y＝的定义域是，则它的值域是；

④若函数y＝x2的值域是，则它的定义域一定是.

A．1B．2C．3D．4

题7．已知f(x)＝3x－，若f(m)＋f(n)＞0，则()

A．m＋n＞0B．m＋n＜0

C．m－n＞0D．m－n＜0

题8．对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是()

A．[－，0)B．[－，－]

C．[－，0]D．(－∞，0)

题9(多选题)．已知幂函数f(x)的图象经过(27，)，则幂函数f(x)具有的性质是()

A．在其定义域上为增函数

B．在(0，＋∞)上单调递减

C．奇函数

D．定义域为R

题10(多选题)．已知函数f(x)＝log3在区间(－3，3]上单调递减，则实数a的可取值是()

A．－1B．－3C．0D．5

题11(多选题)．行列式作为基本的数学工具，有着重要的应用，行列式＝ad－bc，则下列说法正确的是()

A．函数f(x)＝的值域为[－7，＋∞)

B．不等式≥0的解集为[1，＋∞)

C．行列式＝0是“a＝c＝0或b＝d＝0”的必要不充分条件

D．若f(x)＝为奇函数，则fi(x)(i＝1，2，3，4)均为奇函数

题12(多选题)．已知函数f(x)＝，g(x)＝lg(－x)，则()

A．函数f(x)为偶函数

B．函数g(x)为奇函数

C．函数F(x)＝f(x)＋g(x)在区间[－1，1]上的最大值与最小值之和为0

D．设F(x)＝f(x)＋g(x)，则F(2a)＋F(－1－a)＜0的解集为(1，＋∞)

题13(多选题)．设f(x)＝，x∈R，则f(x)是()

A．奇函数且在(－∞，0)上是增函数B．偶函数且在(－∞，0)上是增函数

C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数

题14(多选题)．若函数f(x)＝ex－e2－x，则下列叙述正确的是()

A．f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增B．f(x)的值域为(0，＋∞)

C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称

题15(多选题)．已知函数f(x)＝下列结论正确的是()

A．若f(a)＝1，则a＝3B．f＝2020

C．若f(a)≥2，则a≤－1或a≥5D．若方程f(x)＝k有两个不同的实数根，则k>

题16．函数y＝＋的定义域为____________．

题17．已知125x＝12.5y＝1000，则＝________．

题18．f(x)＝x－x，则满足f(x)＞0的x的取值范围为____________．

题19．已知函数y＝()mt－7(m为常数)，当t＝4时，y＝64，若y≤，则实数t的取值范围为__________．

题20．已知函数f(x)＝2x－.

(1)若f(x)＝2，求2x的值；

(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0，对于任意t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

题21．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)＝log(－x＋1).

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若f(a－1)＜－1，求实数a的取值范围．

题22．已知函数f(x)＝|log2x|.

(1)若x1＜x2，且f(x1)＝f(x2)，求证：＋＋＋＞3；

(2)解不等式：f(f(x))＞1.

题23．已知函数f(x)是偶函数，且当x≥0时，f(x)＝loga(3－ax)(a＞0，且a≠1).

(1)求x＜0时f(x)的解析式；

(2)在①f(x)在(1，4)上单调递增，②在区间(－1，1)上恒有f(x)≥x2这两个条件中任选一个补充到本题中，求g(a)＝()a的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

编号：037课题:§6幂函数、指数函数和对数函数复习课

教学课时安排

1、上课时间：_________________．

2、课时安排：_________________．

3、上课班级___________________．

学科目标要求

1.理解并掌握幂、指数、对数函数的图象问题；

2.会利用幂、指数、对数函数的性质比较大小；

3.理解并掌握幂、指数、对数函数的性质应用；

4.解决一些抽象函数应用问题．

本节重点难点

重点：幂、指数、对数函数的性质应用；

难点：抽象函数应用问题．

学科素养目标

指数函数、对数函数、幂函数是与现实世界的密切联系的函数模型，是体验函数模型运用过程和方法的重要载体．通过学习，进一步体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题，利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系．

在学习基本初等函数I及其应用的过程中，要通过对具体数式的分析，使学生体会分数指数幂、对数的概念和意义，掌握有理指数幂、对数的运算性质，了解并掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念、图象和性质；知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．

通过函数的应用，了解函数与方程之间的关系，体会二分法求一些简单方程的近似解的方法，尽管这个解也许不准确，但可以通过有效的方法控制精确度；通过数据拟合，体会到现代信息技术是数学课程的一个重要部分；会利用函数知识分析问题、解决问题，能准确、清晰、有条理地表述问题以及问题的解决过程，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具，逐步形成利用运动、变化的观点观察事物的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力，以及数学表达、交流的能力，进一步培养学生的创新意识与探究能力、数学建模能力和实践能力．

知识结构简图

教学过程赏析

基础知识积累

1.常见幂函数的图象与性质

解析式y=xy=x2y=x3

图象

定义域RRR_{x|x≠0}___[0,+∞)__

值域R__[0,+∞)_R_{y|y≠0}___[0,+∞)__

奇偶性_奇__函数__偶_函数__奇_函数_奇__函数__非奇非偶_函数

解析式y=xy=x2y=x3

增区间____[0,+∞)___无__[0,+∞)__

减区间无__(-∞,0)__无__(-∞,0)，___(0,+∞)__无

定点幂函数的图象均过定点__(1,1)_

(1)本质:幂函数的图象是函数的图形表示,幂函数的性质是根据函数图象总结得到的.

(2)应用:①求定义域;②求值域;③比较大小;④求单调区间.

2.指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象与性质

a>10图象

性质(1)定义域:__

(2)值域:_____

(3)图象过定点____,图象在x轴上方

a>10性质(4)在(-∞,+∞)上是增函数;当x>0时,y>1;当x0时,01

注意:在同一坐标系中有多个指数函数图象时,图象的相对位置与底数的大小有如下关系:

①在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;

②在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即无论在y轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x=1时,y的取值去理解.如图所示:

3.对数函数的图象与性质

a>10图象

性质定义域:___(0,+∞)_____

值域:________

a>10性质图象过点___(1,0)____

在(0,+∞)上是增函数;当01时,y>0在(0,+∞)上是减函数;当00;当x>1时,y1时,底数越大图象越靠近x轴;当0底数越小图象越靠近x轴.

②左右比较:交点(图象与y=1的交点)的横坐标越大,对应的对数函数的底数a越

大.

【课堂题组训练】

题1.已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(－2，－)，则满足f(x)＝27的x的值为()

A．3B．C．27D．

【解析】选D.因为幂函数y＝xα的图象经过点(－2，－)，所以(－2)α＝－，所以α＝－3.

又因为f(x)＝27，所以x－3＝27，所以x＝.

题2．已知log2x＝log3y＝log5z＞1，则，，的大小排序为()

A．＜＜B．＜＜

C．＜＜D．＜＜

【解析】选D.由log2x＝log3y＝log5z＞1，

得1－log2x＝1－log3y＝1－log5z＜0，即

log2＝log3＝log5＜0，

可得＜＜.

题3．已知f(x)＝lg(e|x|＋2)，a＝20.3，b＝log32，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为()

A．f(b)＞f(a)＞f(c)

B．f(c)＞f(a)＞f(b)

C．f(a)＞f(b)＞f(c)

D．f(c)＞f(b)＞f(a)

【解析】选B.f(－x)＝lg(e|－x|＋2)＝lg(e|x|＋2)＝f(x)，f(x)是偶函数，

x≥0时f(x)＝lg(ex＋2)是增函数，1＜20.3＜2，0＜log32＜1，log2＝－2，f(log2)＝f(－2)＝f(2)，

而log32＜20.3＜2，所以f(log32)＜f(20.3)＜f(2)，即f(b)＜f(a)＜f(c).

题4．函数f(x)＝ax2＋2x＋1与g(x)＝xa在同一坐标系中的图象不可能为()

【解析】选B.当a＝－1时，g(x)＝xa为奇函数，定义域为，且在(0，

＋∞)上递减，而f(x)＝ax2＋2x＋1开口向下，对称轴为x＝－＞0，

f(0)＝1，故A符合，B不符合；

当a＝2n(n∈N＋)时，g(x)＝xa为偶函数，且在(0，＋∞)上递增，f(x)＝ax2＋2x＋1开口向上，且对称轴为x＝－＜0，Δ＝4－4a＜0，其图象和x轴没有交点，故D符合；

当a＝(n∈N＋)时，函数g(x)＝xa的定义域为[0，＋∞)，且在[0，＋∞)上递增，f(x)＝ax2＋2x＋1开口向上且对称轴为x＝－＜0，Δ＝4－4a＞0，图象和x轴有两个交点，故C符合．

题5．已知实数a，b满足等式2a＝3b，下列关系式中不可能成立的是()

A．0＜b＜aB．a＜b＜0

C．b＜a＜0D．a＝b

【解析】选C.作出函数y＝2x与函数y＝3x的图象，如图，当2a＝3b＞1时根据图象得0＜b＜a，故A选项正确，不符合题意；

当2a＝3b＝1时，根据图象得a＝b＝0，故D选项正确，不符合题意；

当2a＝3b＜1时根据图象得a＜b＜0，故B选项正确，不符合题意；故不可能成立的是b＜a＜0.

题6．下列说法中错误的个数是()

①幂函数的图象不过第四象限；

②y＝x0的图象是一条直线；

③若函数y＝的定义域是，则它的值域是；

④若函数y＝x2的值域是，则它的定义域一定是.

A．1B．2C．3D．4

【解析】选C.由幂函数的图象与性质知①正确；

y＝x0的图象是直线y＝1上去掉点(0，1)，②错误；

函数y＝的定义域是，则它的值域是，③错误；

若函数y＝x2的值域是，则它的定义域也可能是，④错误．

题7．已知f(x)＝3x－，若f(m)＋f(n)＞0，则()

A．m＋n＞0B．m＋n＜0

C．m－n＞0D．m－n＜0

【解析】选A.因为f(x)＝3x－，x∈R，所以f(－x)＝3－x－＝

x－3x＝－f(x)，所以f(x)是定义域为R的奇函数，且是增函数；又f(m)＋f(n)＞0，所以f(m)＞－f(n)＝f(－n)，所以m＞－n，所以m＋n＞0.

题8．对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(－x0)＝－f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”．设f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是()

A．[－，0)B．[－，－]

C．[－，0]D．(－∞，0)

【解析】选A.因为f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1，1]上的“倒戈函数，所以存在x0∈[－1，1]满足f(－x0)＝－f(x0)，所以3＋m－1＝－3－m＋1，

所以2m＝－3－3＋2，构造函数y＝－3－3＋2，x0∈[－1，1]，

令t＝3，t∈[，3]，y＝－－t＋2＝2－(t＋)在[，1]单调递增，

在(1，3]单调递减，所以t＝1取得最大值0，t＝或t＝3取得最小值－，y∈[－，0]，

所以－≤2m＜0，所以－≤m＜0.

题9(多选题)．已知幂函数f(x)的图象经过(27，)，则幂函数f(x)具有的性质是()

A．在其定义域上为增函数

B．在(0，＋∞)上单调递减

C．奇函数

D．定义域为R

【解析】选BC.设幂函数f(x)＝xa，因为幂函数图象过点(27，)，所以27a＝，所以a＝－，所以f(x)＝x＝(x≠0)，所以f(x)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，满足f(－x)＝－f(x)，是奇函数，值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在定义域内不单调，在上单调递减．

题10(多选题)．已知函数f(x)＝log3在区间(－3，3]上单调递减，则实数a的可取值是()

A．－1B．－3C．0D．5

【解析】选AC.令u＝，由题意可知，u＝＞0对任意的x∈(－3，3]恒成立，

因为x＋3＞0，则ax＋6＞0对任意的x∈(－3，3]恒成立，则，得

－2＜a≤2.

因为函数f(x)＝log3在区间(－3，3]上单调递减，外层函数y＝log3u为增函数，

故内层函数u＝＝＝a＋在区间(－3，3]上为减函数，

所以6－3a＞0，可得a＜2.综上所述，－2＜a＜2.

题11(多选题)．行列式作为基本的数学工具，有着重要的应用，行列式＝ad－bc，则下列说法正确的是()

A．函数f(x)＝的值域为[－7，＋∞)

B．不等式≥0的解集为[1，＋∞)

C．行列式＝0是“a＝c＝0或b＝d＝0”的必要不充分条件

D．若f(x)＝为奇函数，则fi(x)(i＝1，2，3，4)均为奇函数

【解析】选ABC.对于A，f(x)＝＝x(x－2)－6＝(x－1)2－7≥－7，故f(x)的值域为[－7，＋∞)，故A正确；

对于B，≥02x－1·4x－2×2≥023x－1≥22，解得x≥1，故B正确；

对于C，当“a＝c＝0或b＝d＝0”时，可得＝0；而当＝0时，取a＝b＝c＝d＝1，可得“a＝c＝0或b＝d＝0”不成立，故C正确；

对于D，若f(x)＝为奇函数，取fi(x)(i＝1，2，3，4)＝x2，可得f(x)＝0为R上的奇函数，故D错误．

题12(多选题)．已知函数f(x)＝，g(x)＝lg(－x)，则()

A．函数f(x)为偶函数

B．函数g(x)为奇函数

C．函数F(x)＝f(x)＋g(x)在区间[－1，1]上的最大值与最小值之和为0

D．设F(x)＝f(x)＋g(x)，则F(2a)＋F(－1－a)＜0的解集为(1，＋∞)

【解析】选BCD.f(x)＝，定义域为R，

f(－x)＝＝－＝－f(x)，

则f(x)为奇函数，故A错误；

g(x)＝lg(－x)，定义域为R，

g(－x)＝lg(－(－x))

＝－lg(－x)＝－g(x)，

则g(x)为奇函数，故B正确；

对于C：F(x)＝f(x)＋g(x)，f(x)，g(x)都为奇函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)为奇函数，

F(x)＝f(x)＋g(x)在区间[－1，1]上的最大值与最小值互为相反数，必有F(x)在区间[－1，1]上的最大值与最小值之和为0，故C正确；

f(x)＝＝－()＝－1，则f(x)在R上为减函数，

g(x)＝lg(－x)＝lg，

则g(x)在R上为减函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)在R上为减函数，若F(2a)＋F(－1－a)＜0，即F(2a)＜F(1＋a)，则必有2a＞1＋a，解得a＞1，

即F(2a)＋F(－1－a)＜0的解集为(1，＋∞)，故D正确．

题13(多选题)．设f(x)＝，x∈R，则f(x)是()

A．奇函数且在(－∞，0)上是增函数B．偶函数且在(－∞，0)上是增函数

C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数

【解析】选BD.依题意，得f(－x)＝＝＝f(x)，所以f(x)是偶函数．当x>0时，f(x)＝＝，该指数函数是减函数；当x

【解析】选BC.对于A：由f(a)＝1，

得或解得a＝3或a＝0，故A错误；

对于B：f＝log2＝log2＝，因为<0，

所以f＝f()＝＝2020，故B正确；

对于C：由f(a)≥2，得或解得a≥5或a≤－1，故C正确；

对于D：作出f(x)的图象，如图所示：

又f(1)＝，结合图象可得f(x)＝k有两个不同的实数根，即y＝f(x)的图象与y＝k的图象有两个交点，所以k≥，故D错误．

题16．函数y＝＋的定义域为____________．

【解析】由题意，，得，

所以－2≤x＜1.

答案：[－2，1)

题17．已知125x＝12.5y＝1000，则＝________．

【解析】因为125x＝12.5y＝1000，

所以x＝log1251000，y＝log12.51000，

＝－＝log1000125－log100012.5

＝log1000＝log100010＝.

答案：

题18．f(x)＝x－x，则满足f(x)＞0的x的取值范围为____________．

【解析】因为f(x)＝x－x＞0，所以x＞x．

在同一坐标系中作出y＝x，y＝x的图象，如图所示：

结合幂函数图象可得x∈(－∞，0)∪(1，＋∞).

答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)

题19．已知函数y＝()mt－7(m为常数)，当t＝4时，y＝64，若y≤，则实数t的取值范围为__________．

【解析】将t＝4，y＝64代入y＝()mt－7，

可得64＝()4m－7，解得m＝，所以y＝()．由()≤，得t－7≥1，解得t≥32.故实数t的取值范围是[32，＋∞).

答案：[32，＋∞)

题20．已知函数f(x)＝2x－.

(1)若f(x)＝2，求2x的值；

(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0，对于任意t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．

【解析】(1)当x＜0时，f(x)＝0≠2，舍去；

当x≥0时，f(x)＝2x－＝2，

即(2x)2－2·2x－1＝0，2x＞0.

解得2x＝1＋.

(2)当t∈[1，2]时，2tf(2t)＋mf(t)≥0，即2t＋m(2t－)≥0，

即m(22t－1)≥－(24t－1)，因为22t－1＞0，所以m≥－(22t＋1).

由t∈[1，2]，所以－(22t＋1)∈[－17，－5].

故m的取值范围是[－5，＋∞).

题21．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)＝log(－x＋1).

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若f(a－1)＜－1，求实数a的取值范围．

【解析】(1)令x＞0，则－x＜0，

f(－x)＝log(x＋1)＝f(x)，

所以x＞0时，f(x)＝log(