江苏省南通市如皋市2023-2024学年高三上学期8月诊断测试数学试题PDF版含答案

第第页江苏省南通市如皋市2023-2024学年高三上学期8月诊断测试数学试题（PDF版含答案）如皋市2024届高三上学期8月诊断测试

数学试题

2023.08

注意事项（请考生作答前认真阅读以下内容）：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔填涂准考证号.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

5.试卷共4页，共22小题；答题卡共2页.满分150分.考试用时120分钟.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的．

1

1.2已知Ax|1，Bx|x4xm0，若AB，则实数m的取值范围（▲）.

x1

A.[0,)B.(,3]C.[3,0]D.(,3][0,)

2.一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为（▲）.

A.2:3B.3:2C.1:2D.3:4

3.设a＞0，且2iza21i，若z在复平面内对应的点在直线x2y0上，则a（▲）.

A.1B.1C.2D.4

4.圆C:(x1)2(y1)21上两动点A，B满足△ABC为正三角形，则OAOB的最大值为（▲）.

A.23B.22C.223D.223

5.文化广场原名地质宫广场，是长春市著名的城市广

场．现某兴趣小组准备在文化广场上对上都太阳鸟雕塑

塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，A为太

阳鸟雕塑最顶端，B为太阳鸟雕塑塔的基座（即B在A

的正下方），在广场内（与B在同一水平面内）选取C、

D两点．测得CD的长为m.兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有ACB、ACD、BCD、ADC、

BDC，则根据下列各组中的测量数据，不能计算出太阳鸟雕塑塔高度AB的是（▲）.

A.m、ACB、BCD、BDCB.m、ACB、BCD、ACD

C.m、ACB、ACD、ADCD.m、ACB、BCD、ADC

高三8月诊断测试数学试题第1页（共4页）

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6.在△ABC中，点O是BC的三等分点（靠近点B），过点O的直线分别交直线AB，AC于不同两点M，

11

N，若ABmAM，ACnAN，m，n均为正数，则的最小值为（▲）.mn

A.2B.12C.12223D.1

333

7.已知等比数列an的首项为1，公比为q，Sn是数列an的前n项和，则“q0”是“nN,Sn0恒

成立”的（▲）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.函数fxsinxsin2x的最大值为（▲）.

2

3

A.B.33C.535D.

2484

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

x2y29.已知F为椭圆1(ab0)的一个焦点，A,B为该椭圆的两个顶点，若AF3,BF5，

a2b2

则满足条件的椭圆方程为（▲）.

222

A.xy1B.xy

22

1C.xy

2x2y2

1D.1

439516152521

10.函数f(x)sinxcosx，则（▲）.

A.f(x)为偶函数B.f(x)的最小正周期是π

C.f(x)

π

在0,上单调递增D.f(x)的最小值为1

2

11.已知函数f(x)的定义域1,1，满足fxfyfxy1，且f()1.当x0时，f(x)0，

1xy2

则下列说法正确的是（▲）.

A.f(x)是定义在1,1上的偶函数

B.f(x)在1,1上单调递增

a1C.若1,a

2ann1

2n1

1a2，则

fa2

nn

D.当A，B是钝角△ABC的两个锐角时，fsinAfcosB

高三8月诊断测试数学试题第2页（共4页）

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m

12.如果一个凸n面体共有m个面是直角三角形，那么我们称这个凸n面体的直度为，则（▲）.

n

3

A.三棱锥的直度的最大值为1B.直度为的三棱锥只有一种

4

4

C.四棱锥的直度的最大值为1D.四棱锥的直度的最大值为

5

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.7个人分乘三辆不同的汽车，每辆车最多坐3人，则不同的乘车方法有▲种.（用数字作答）

14.在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，

则球O的半径的取值范围是▲.

2

15.y过点(2,2)能作双曲线x21的两条切线，则该双曲线离心率e的取值范围为▲.

a2

5e

16.若xex5，lny1，则xy▲.y

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作．答．，解答时应写出文字说明、证

明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，AB的中点.

（1）证明：直线BC1//平面A1ECF.

（2）求点B到平面A1ECF的距离.

18.（本小题满分12分）

已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对的边，m(sinCsinB,sinBsinA)，n(cb,a)，

mn且.

（1）求C；

（2）若a2，△ABC的面积为23，且AB3DB，求CD.

高三8月诊断测试数学试题第3页（共4页）

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19.（本小题满分12分）

x

已知函数f(x)xlnxe.

x

（1）求f(x)的最大值;

x

（2）证明：1x3e3xfx

x

20.（本小题满分12分）

*

已知数列an的前n项和为Sn(nN)，当n2时，满足nSn1nS1n2Sn.

（1）证明：2a2a1a3；

（2）证明：数列{an}为等差数列；

（3）若a12，公差dN*，则是否存在n，d，使得Sn15？若存在，求出所有满足条件的n，d，

若不存在，请说明理由．

21.（本小题满分12分）

一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只．现从口袋

中先后有放回地取球2n次nN*，且每次取1只球．

（1）当n3时，求恰好取到3次红球的概率；

X,X为奇数

（2）X表示2n次取球中取到红球的次数，Y，求Y的数学期望（用n表示）.

0，X为偶数

22.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知圆G：x2(y1)21与抛物线C：x22py(p0)交于点M，N(异

于原点O)，MN为该圆的直径，过点E(0,2)作直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线

C的切线交于点P.

（1）证明：点P的纵坐标为定值；

（2）若F是抛物线C的焦点，证明：PFAPFB.

高三8月诊断测试数学试题第4页（共4页）

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数学参考答案2023.08

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

题号12345678

答案BABDBCAB

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.

题号9101112

答案BCDADBCAD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

题号13141516

答案1050[22,23]5e

(1,2)(2,21)

3

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.

(1)证明：如图，连接EF，

因为E，F分别是C1D1，AB的中点，所以EC1BF，EC1//BF，

所以四边形EFBC1为平行四边形，则EF//BC1，

又EF平面A1ECF，BC1平面A1ECF，所以BC1//平面A1ECF.

(2)解：连接EB，设点B到平面A11ECF的距离为h.VEBFCSCC

2

，

3BFC13

在EFC中，EF22，ECFC5，

S1EFC22526.2

126

又因为VEBFCVBEFC，所以6h，解得h.333

高三8月诊断测试数学参考答案第1页共6页

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18.

解：(1)因为mn，所以(sinCsinB)(cb)(sinBsinA)a0，

由正弦定理得：(cb)(cb)(ba)a0，即a2b2c2ab，

2

cosCab

2c21

由余弦定理得：，

2ab2

因为0C，所以C;

3

(2)S1ABCabsinC

1

2b323，解得b4，

222

因为AB3DB，所以D为AB的三等分点，AD2DB，

CDCBBDCB1

则BACB1(CA12CB)CACB，

3333

所以，

即CD43.

3

19.

ex

解：(1)f(x)xlnx，定义域为(0,)，

x

1exf(x)1(x1)(x1)(xe

x)

则，

xx2x2

令

即在

时,exx1x

令，得f(x)在(0,1]上单调递增，在(1,)上单调递减，

高三8月诊断测试数学参考答案第2页共6页

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所以f(x)maxf(1)1e.

x

(2)e证明：要证1x33xf(x)，即证x32x1lnx，

x

令

令得x1,即在，

即x1lnx

即欲证x32x1lnx，只需证x32x1x1.也就是证明x33x20.(*)

设(x)x33x2(x0)，则(x)3x23，令(x)0，得x1.

当x(0,1)时，(x)0;当x(1,)时，(x)0.

当x1时，(x)取到最小值(1)0.

x

故(*)e式成立，从而1x33xf(x)成立.

x

20.

解：(1)当n3时，3S23S1S3，所以3S23S1S3，即3a2a1a2a3，

即2a2a1a3，即证；

(2)因为nSn1nS1(n2)Sn(n2)，即0nS1n(SnSn1)2Sn(n2)

且SnSn1an(n2)，S1a1，所以2Snna1nan(n2)，

则2Sn1(n1)a1(n1)an1(n3)，

两式相减，可得2Sn2Sn12ana1nan(n1)an1(n3)，

整理得(n2)ana1(n1)an1(n3)，

所以(n1)an1a1nan(n2)，

两式相减，可得(n1)an1(n2)annan(n1)an1(n3)，

整理得(n1)(an1an12an)0(n3)，且n10，

所以an1an12an0(n3)，即当n2时，{an}成等差数列，

高三8月诊断测试数学参考答案第3页共6页

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又由(1)可知，a1，a2，a3成等差数列，

所以数列{an}为等差数列；

(3)Snan(n1)d假设存在符合题意的n，d，则由n1，2

152nn(n1)d可知，，当n1时，上式显然不成立，

2

当n2(2n15)2时，d*n(n1)，因为dN，且2n15为奇数，n(n1)为偶数，

2(2n15)2(2n15)

所以n(n1)必为奇数，若

12

n(n1)，则n5n300(n2)，无正整数解，

2(2n15)

所以3n(n1)，整理得3n

27n300(n2)，解得2n4，

d2(2n15)当n2时，19N，符合题意，n(n1)

2(2n15)

当n3时，d7N，符合题意，n(n1)

d2(2n15)23当n4N时，，不符合题意，n(n1)6

综上，存在n2，d19及n3，d7符合题意．

21.

解：(1)当n3时，从装有5只小球的口袋中有放回的取球6次，共包含56种情况．

C3434

“3”AAC3434256记恰好取到次红球为事件，事件包含6种情况．故P(A)66555

.

3125

256

答：当n3时，恰好取到3次红球的概率为.

3125

(2)由题意知，随机变量Y的所有可能取值为0，1，3，5，…，2n1(nN*).

2i1

P(Y2i1)C2n4

2n(2i1)

则

52n

.

2i12n(2i1)

(2i1)P(Y2i1)(2i1)C2n4

52n

[(2i1)(2n)!]42n(2i1)

(2i1)!(2n2i1)!

52n

高三8月诊断测试数学参考答案第4页共6页

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2nC2i42n(2i1)

2n12n(0in1,iN).5

所以E(Y)0P(Y0)1P(Y1)3P(Y3)

5P(Y5)…(2n1)P(Y2n1)

2n

(C042n1C242n3C42n52n2

52n2n12n12n1

4C2n14).

令xnC

02n12

2n14C2n14

2n3C42n14

2n5C2n22n14，

yC12n232n452n6n2n14C2n14C2n14C

2n10

2n14，

则xyC042n1C12n222n3nn2n12n14C2n14

C342n4C42n52n102n12n14C2n14

(41)2n152n1，

xyC042n1C142n222n3nn2n12n1C2n14

C32n442n14C2n14

2n5C2n102n14

(41)2n132n1，

52n132n1x.E(Y)2n

2n12n12n12n1

所以n所以2nx

2n53n(53)

25n

2n5252n

.

n(52n1Y3

2n1)

故的数学期望为

2n.5

22.

证明：(1)由题意可知该圆与抛物线交于一条直径，由对称性可知交点坐标为(1,1)，(1,1)，

代入抛物线方程可得2p1，所以抛物线的方程为x2y；

x2221x

2

2

设A(x1,x1)，