《概率论与随机过程》第1章习题答案

#D(X)=E(X2)-[e(X)E=E[X(X-1)]+E(X)-[e(X)E=£k(k-1)pqk-1k=1ff(、=pqff(、=pq乙qkIk=1丿ff(1)=pqp241.解：Cov(X,Y)。E(X)41.解：Cov(X,Y)。E(X)=J"〕"#(x,y)dxdy=—JJ?(x2+xy)dy]dx=-J(x2y+_8_8—00—0E(Y)=卜8卜8yf(x,y)dxdy=-y2+xy)dx]dy=—J(y2x*"y—g—g—00—02『1J2/c—7dx=(x2+x)dy=4o602)dy=丄J247(y2+y)dy=，06设随机变量(X,Y)的概率密度函数为.f(x,y)=,x+y),0<x<2,0<y<2。求E(X)、E(Y八8TOC\o"1-5"\h\z4771Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=_：x；=_:,366362dJ2(y,y2

dy=(-+-0340E(XY)=J"」"xyf(x,y)dxdy=—JJ2dJ2(y,y2

dy=(-+-0340-g-g—00—032计算机在进行加法时,对每个加数取整（取为接近于它的整数）,设所有的取整误差是相互独立的,且它们都在（-0.5,0.5）上服从均匀分布。（1）若将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）几个数可加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？解：设X为取整误差,⑴护J；xk则E(X)=0,D(X)=o2=1/12。〉解：设X为取整误差,⑴护J；xk则E(X)=0,D(X)=o2=1/12。〉」500门500八込丨k=1>15,=P2X>15/TH?〜1.34k或：PX>15kk<10,=P2——g■、;2兀n=443#1E1500xk=1k=1-[P[丿E1500x*125k=1k<1.34><1.34,-P21E1500x<—1.34]]*125k=1kI1.341-1.341=1-Je-t2/2dt+Je-t2/2dt-g■<2兀-g2兀=1-0.9099+0.0901=0.1802,——―E1500x>15M''125二1.34丁1500/山2丨k=1k=2[1-PEW1251.341=2[1-J.e-t2/2dt]=2x[1-0.9099]=0.1802-gJ2兀—EnX<10^12/n,=1-2[1-1500X<1.34,]k=1kIk=1ke-t2/2dt]=0.95,10J12/n〜1.645,J10仁丿e-t2/2dt]=0.90-g（1）一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率0.10。为了使整个系统起作用，至少必需有85个部件工作，求整个系统工作的概率。（2）一个复杂的系统，由n个相互独立起作用的部件所组成。每个部件的可靠性（即部件工作的概率）解：为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠性为0.95。解：设每个部件损坏的概率p{X=0}=0.10，则每个部件未损坏的概率P{X=1}=0.90。kk令耳=^°X，由此可知耳具有参数为n=100，p=0.90的二项分布，故整个系统工作的概率为:100k100k=1⑴P{85<%'100}=P{¥<'咛}=P{-5<tS%'13}=J10/3-^e-t2/2dt=0.9995-0.0475=0.9520-5/3兀TOC\o"1-5"\h\z(2)nr0.8n-0.9n耳-npn-0.9n\n耳-npVn(2)P{0.8n<n<n}=P{<,n耳100「}=P{-~T<；n耳100}nJ0.09nVnp(1-p)100V0.09n3、【np(1-p)1003e-t2/2dt]=0.95\ne-t2/2dt]=0.95=e-t2/2dt=1-2[1--■n/3、：2兀-s2兀厂1~Je-t2/2dt=0.975n-—=1.96,/.n=35。#-8、:2兀3某个单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每个电话分机有5%的时间要使用外线通话，假定每个分机是否使用外线通话是相互独立的。问总机要多少外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。解：设要m条外线才能以90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。已知：P{X=1}=0.05，P{X=0}=0.95kk令耳=丫200X,则耳具有参数为n=200，p=0.05的二项分布。TOC\o"1-5"\h\znk=1kn纠」(m-巴宀纠」(m-巴宀5丄e-t2/2dt.5I10/'9.5<2kP{0<耳<m}=P{——<,n<nW9.5v'np(1-p)9.5e-t2/2dt=0.90<2nJ(m-9.5e-t2/2dt=0