第一节 联合分布与边缘分布

第一节联合分布与边缘分布多维随机变量及其分布第一节联合分布与边缘分布第一节联合分布与边缘分布引言从本讲起，我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量.它是第二章内容的推广.第一节联合分布与边缘分布到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的.飞机的重心在空中的位置是由三个r.v(三个坐标)来确定的等等.引言第一节联合分布与边缘分布一般地,设是一个随机试验,它的样本空间是设是定义在上的随机变量,由它们构成的一个维向量叫做维随机向量或维随机变量.以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照.引言第一节联合分布与边缘分布一、二维随机变量的分布函数X的分布函数一维随机变量如果对于任意实数二元函数称为二维随机变量的分布函数,或者称为随机变量和的联合分布函数.定义1设是二维随机变量,第一节联合分布与边缘分布将二维随机变量看成是平面上随机点的坐标,那么,分布函数在点处的函数值就是随机点落在下面左图所示的,以点为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.分布函数的函数值的几何解释一、二维随机变量的分布函数第一节联合分布与边缘分布随机点落在矩形域概率为一、二维随机变量的分布函数第一节联合分布与边缘分布一、二维随机变量的分布函数第一节联合分布与边缘分布一、二维随机变量的分布函数第一节联合分布与边缘分布即F(x,y)关于x,y是右连续的。4.对任意的一、二维随机变量的分布函数第一节联合分布与边缘分布二、二维离散型随机变量或随机变量X和Y的联合分布律.

k=1,2,…离散型一维随机变量XX的分布律为

k=1,2,…定义2限对或无限可列多对,则称是离散型随机变量.设二维离散型随机变量可能取的值是记如果二维随机变量全部可能取到的值是有称之为二维离散型随机变量的分布律,第一节联合分布与边缘分布也可用表格来表示随机变量X和Y的联合分布律.二、二维离散型随机变量第一节联合分布与边缘分布二维离散型随机变量的分布律具有性质二维离散型随机变量的联合分布函数为：二、二维离散型随机变量第一节联合分布与边缘分布

例1

把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的分布律.解

(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=3}=3/8=3/8二、二维离散型随机变量第一节联合分布与边缘分布解且由乘法公式得例2二、二维离散型随机变量第一节联合分布与边缘分布二、二维离散型随机变量第一节联合分布与边缘分布例3

一个袋中有三个球,依次标有数字1,2,2,从中任取一个,不放回袋中,再任取一个,设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以X,Y分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字,求(X,Y)的分布律与分布函数.

(X,Y)的可能取值为解二、二维离散型随机变量第一节联合分布与边缘分布故(X,Y)的分布律为下面求分布函数.二、二维离散型随机变量第一节联合分布与边缘分布二、二维离散型随机变量第一节联合分布与边缘分布二、二维离散型随机变量第一节联合分布与边缘分布所以(X,Y)

的分布函数为二、二维离散型随机变量第一节联合分布与边缘分布连续型一维随机变量XX的概率密度函数函数称为二维定义3对于二维随机变量的分布函数则称是连续型的二维随机变量

,（X,Y)的概率密度

,随机变量存在非负的函数如果任意有使对于称为随机变量X和Y的联合概率密度.或三、二维连续型随机变量第一节联合分布与边缘分布三、二维连续型随机变量（X,Y）的概率密度的性质:表示介于f(x,y)和xoy平面之间的空间区域的全部体积等于1.注：第一节联合分布与边缘分布在f(x,y)的连续点,三、二维连续型随机变量注：第一节联合分布与边缘分布三、二维连续型随机变量例4

设(X,Y)的概率密度是(2)求分布函数(3)求概率.(1)求常数A;解

(1)由可得A=2.第一节联合分布与边缘分布积分区域区域解(2)三、二维连续型随机变量第一节联合分布与边缘分布三、二维连续型随机变量第一节联合分布与边缘分布当时,故当时,三、二维连续型随机变量第一节联合分布与边缘分布(3)三、二维连续型随机变量第一节联合分布与边缘分布例5

设随机变量(X,Y)的联合分布函数为其中A,B,C

为常数.(1)

确定常数A,B,C

；(2)求P(X>2);(3)求(X,Y)的联合密度函数。三、二维连续型随机变量第一节联合分布与边缘分布解

(1)三、二维连续型随机变量第一节联合分布与边缘分布(2)(3)三、二维连续型随机变量第一节联合分布与边缘分布四、课堂练习设随机变量(X,Y)的概率密度是(1)确定常数(2)求概率三、二维连续型随机变量第一节联合分布与边缘分布解(1)

故三、二维连续型随机变量第一节联合分布与边缘分布(2).三、二维连续型随机变量第一节联合分布与边缘分布二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布函数而和都是随机变量,也有各自的分布函数,分别记为变量(X,Y)关于X

和Y的边缘分布函数.依次称为二维随机四、边缘分布一、边缘分布函数第一节联合分布与边缘分布一般地，对离散型r.v(X,Y)，则(X,Y)关于X的边缘分布律为:X和Y的联合分布律为二、离散型随机变量的边缘分布律四、边缘分布第一节联合分布与边缘分布(X,Y)关于Y的边缘分布律为:离散型随机变量关于X和Y的边缘分布函数分别为:四、边缘分布第一节联合分布与边缘分布

我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.四、边缘分布第一节联合分布与边缘分布例6

已知下列分布律求其边缘分布律.四、边缘分布第一节联合分布与边缘分布注意联合分布边缘分布解四、边缘分布第一节联合分布与边缘分布解例7样本点四、边缘分布第一节联合分布与边缘分布四、边缘分布第一节联合分布与边缘分布三、连续型随机变量的边缘分布四、边缘分布第一节联合分布与边缘分布同理可得Y的边缘分布函数Y的边缘概率密度.四、边缘分布第一节联合分布与边缘分布解例8四、边缘分布第一节联合分布与边缘分布四、边缘分布第一节联合分布与边缘分布四、边缘分布第一节联合分布与边缘分布=5c/24=1,c=24/5解：(1)dxxxcò-=10222]/)([求(1)c的值；（2）两个边缘密度。例9

设(X,Y)的概率密度是四、边缘分布第一节联合分布与边缘分布解:(2)xy01y=x求(1)c的值；（2）两个边缘密度。例9

设(X,Y)的概率密度是四、边缘分布第一节联合分布与边缘分布解:(2)xy01y=x求(1)c的值；（2）两个边缘密度。例9

设(X,Y)的概率密度是四、边缘分布第一节联合分布与边缘分布即四、边缘分布第一节联合分布与边缘分布练习设(X,Y)的概率密度是求(X,Y)关于X

和Y的边缘概率密度.四、边缘分布第一节联合分布与边缘分布解当时,当时,故四、边缘分布第一节联合分布与边缘分布当时,当时,故四、边缘分布第一节联合分布与边缘分布设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（X,Y）具有概率密度则称（X,Y）在G上服从均匀分布.向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关.则质点的坐标(X,Y)在G上服从均匀分布.五、常见分布——二维均匀分布第一节联合分布与边缘分布若二维随机变量（X,Y）具有概率密度则称（X,Y）服从参数为的二维正态分布.其中均为常数,且记作（X,Y）～N().五、常见分布——二维正态分布第一节联合分布与边缘分布例10

试求二维正态随机变量的边