一线三垂直模型及其在平面几何中的应用

关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况,关于“一线三等角”模型详见,即三个等角角度为90º,于是有三组边相互垂直,所以称为“一线三垂直”模型;“一线三垂直”的性质：1,模型中必定存在至少两个三角形相似,三对等角,三对成比例的边长；2,当模型中有一组对应边长相等时,则模型中必定存在全等三角形;“一线三垂直”模型在平面几何中有着及其重要的地位,常出现的图例有以下几种：其中,在“变形2”模型下,根据相似原理,推理出了著名的“射影定理”这里主要讨论有一对对应边相等的情况;例1如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=Rt∠,AC=BC,AE⊥CE于点E,BD⊥CE于点D,AE=5cm,BD=2cm,则DE的长为多少CD=AE=5cm,CE=BD=2cm,DE=5-2=3cm例2如图,在△ABC中,CA=CB,点D为BC中点,CE⊥AD于点E,交AB于点F,连接解析此题乍一看起来和例1相同,却不能照搬照抄;从要证明的结论来看,需要把AD这条线段“转化”到直线CF上;如图,过点B作BG⊥CB,交CF的延长线于点G;则易证△ACD≌△CBG,于是AD=CG=CF+FG；BG=CD=BD,BF=BF,∠DBF=∠GBF=45º,故△BDF≌△BGF,于是FD=FG,所以AD=CF+DF;关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用二“一线三垂直”的性质：1,模型中必定存在至少两个三角形相似,三对等角,三对成比例的边长；2,当模型中有一组对应边长相等时,则模型中必定存在全等三角形;例3如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90º,分别过B,C向过A点的直线作垂线,垂足分别为E,F;1如图1,过点A的直线与斜边BC不相交时,求证：EF=EB+CF；2如图2,过点A的直线与斜边BC相交时,其他条件不变,若BE=10,CF=3.求EF的长;提示1图1是“一线三垂直”的基础模型,△ABE≌CAF；2图2是“一线三垂直”的变形4,和例1相同;例4如图,已知△AEB中,∠AEB=90º,以AB为边向外作正方形ABCD,连接AC、BD,交于点O,连接EO;若BE=2,EO=3√2,求五边形AEBCD的面积;解析因为∠解析因为∠ABC=∠AEB=90º,故构造“一线三垂直”模型,如图;过点C作CP⊥EB,交EB延长线于点P,连接OP;则根据“一线三垂直”模型的性质,△AEB≌△BPC,∵∠AOB=∠AEB=90º,∴A、E、B、O四点共圆详见,∴∠BEO=∠BAO=45º;同理∠BPO=∠BCO=45º,故△EOP为等腰直角三角形；根据勾股定理,AB²=16+4=20,即S正方形ABCD=20,S△AEB=4×2÷2=4,∴S五边形AEBCD=20+4=24.关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用三例5已知△ABC中,∠ACB=90º,AC=BC,CD为AB边上的中线,点E为BC边上任意一点不与A、D、B重合,BF⊥CE于点F,交CD于点G,AH⊥CE,交CE延长线于点H,交CD延长线于点M;提示1根据“一线三垂直”模型,△ACH≌△CBF,∴∠ACE=∠CBG,又∠CAE=∠BCG=45º,AC=BC,∴△ACE≌△BCG；2由“一线三垂直”模型可知,∠ACE=∠CBG,BF=CH,∴∠HCM=∠FBE,又∠BFE=∠CHM=90º,∴△CHM≌△BFE,BE=CM,从而DE=DM;同时我们也应该注意到：△ACM≌△CBE；△ADM≌△CDE≌△BDG；△AHE≌△CFG；DM=DG=DE；△GEM为等腰直角三角形等;构造“一线三垂直”模型,是作辅助线常用的一种手段;例6如图,直线l1∥l2∥l3,且l1到l2的距离为3,l2到l3的距离为4,等腰直角△ABC的直角顶点C在l2上,点A、B分别在l1、l3上;求△ABC的面积;提示过点提示过点C作l2的垂线,分别交l1和l3于点D、E,构造“一线三垂直”模型,则CD=3,AD=CE=4,AC=5.关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用四形,AD∥BC,∠BCD=90º,AB=BC+AD,∠DAC=45º,E为CD上一点,且∠BAE=45º,若CD=4,求△ABE的面积;解析如图解析如图,过点E作EG⊥AE,交AB延长线于点G,过点G作GH⊥DC,交DC延长线于点H,构造“一线三垂直”模型；过点G作GK⊥BC于点K,过点B作BF⊥AD于点F;则△ADE≌△EHG,DE=GH；AD=EH=CD,∴DE=CH,故四边形CKGH为正方形;AF=4-BC,AB=4+BC,BF=4,∴4+BC²=4-BC²+4²,设DE=x,则BK=1-x,GK=x,AE²=x²+4²∵△AEG为等腰直角三角形,∴AG²=2AE²,5+BG²=2x²+4²,将BG代入,化简得：7x-4²=0,x=4/7,∴△ABE面积=梯形ABCD面积-△ADE面积-△BCE面积=1+4×4÷2-4×4/7÷2-1×4-4/7÷2=50/7;在直角坐标系中构造“一线三垂直”模型,是解决坐标问题的一种有效手段;例8如图,在直角坐标系中,点A1,2,点B0,-1,已知△ABC为等腰直角三角形,求点C的坐标;解析设Cm,p;1当∠BAC为直角时：①当点C在AB右侧时,如图1;过点A作DE∥x轴,交y轴于点D,过点C作CE⊥DE于点E;根据“一线三垂直”模型,△ABD≌△ACE,∴DB=AE,CE=DA,即：m-1=3,2-p=1,②当点C在AB左侧时,如图2;过点A作DE∥x轴,交y轴于点D,过点C作CE⊥DE于点E;根据“一线三垂直”模型,△ABD≌△ACE,∴DB=AE,CE=DA,即：1-m=3,p-2=1,或者用下列方法：此时,点C和①中的C关于点A对称,故m=2×1-4=-2,p=2×2－1=3.2当∠ABC为直角时：①当点C在AB右侧时,如图3;过点A作AE∥x轴,交y轴于点E,过点C作CD⊥y轴于点D;根据“一线三垂直”模型,△ABE≌△BCD,∴DB=AE,BE=CD,即：-1-p=1,m=3,解②当点C在AB左侧时,如图4;过点B作DE∥x轴,过点C作CD⊥DE于点D,过点A作AE⊥DE于点E;根据“一线三垂直”模型,△ABE≌△BCD,∴BE=CD,BD=AE,即：0-m=3,p--1=1,或者用下列方法：此时,点C和①中的C关于点B对称,故m=2×0-3=-3,p=-1×2－-2=0.3当∠ACB为直角时：①当点C在AB右侧时,如图5;过点C作CD∥x轴,过点A作AD⊥CD于点D,CD交y轴于点E;根据“一线三垂直”模型,△ACD≌△CBE,∴BE=CD,CE=DA,即：m=2-p,p--1=m-1,②当点C在AB左侧时,如图6;过点C作CD∥x轴,过点A作AD⊥CD于点D,CD交y轴于点E;根据“一线三垂直”模型,△ACD≌△CBE,或者用下列方法：此时,点C和①中的C关于AB的中点对称,AB的中点坐标为,,故m=2×=-1,p=×2－0=1.综上所述：符合条件的点C的坐标有6个：4,1；-2,3；3,-2；-3,0；2,0；-1,1;关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用五前面讨论的是关于“一线三垂直模型”有两条边相等时的情况;如果不存在两条边相等,那么“一线三垂直模型”的性质是必然存在一对或几对相似三角形,这个性质在初中平面几何中的应用也是十分广泛,尤其在直角坐标系中的函数图像与平面几何的综合应用题或压轴题经常得到应用,也是作辅助线的思想方法;经常出现的图例跟前面介绍的一样,只是直角的两条边不一定相等;例9如图,在直角坐标系中,点A1,3,点B2,-1,坐标轴上是否存在点C,使得∠ACB为直角若存在,请求出点C的坐标；若不存在,请说明理由;如图1,设C0,c,分别过点A、B作x轴的平行线,交y轴于点D、E;则根据“一线三垂直模型”,△ACD∽△CBE,=1+√2,c2=1-√2,故C0,1+√2；或C0,1-√2；如图2,如图2,设Cc,0,分别过点A、B作y轴的平行线,交x轴于点D、E;则根据“一线三垂直模型”,△ACD∽△CBE,或3∶c-2=c-1∶2,综上所述,符合条件的点C的坐标有4个,分别为：0,1+√2；0,1-√2；例10如图,在直角坐标系中,点A1,3,点B2,-1