2022年高考真题-数学（全国甲卷）（理科）

2022年高考真题——数学（全国甲卷）（理科）1.若，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：共轭复数复数的乘法复数的除法答案：C解析：由，故选C.2.某社区通过公益讲座以及普及社区居民的垃圾分类知识为了解讲座效果，随机抽取位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

​

则（

）A.

讲座前问卷答题的正确率的中位数小于B.

讲座后问卷答题的正确率的平均数大于C.

讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.

讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差知识点：众数、中位数和平均数方差与标准差极差与“平均距离”答案：B解析：对A选项，讲座前问卷大题的正确率中位数，所以A错误；

对B选项，讲座后问卷答题的正确率的平均数为，所以B正确；

对C选项，讲座前问卷答题的正确率数据波动要大于讲座后问卷答题的正确率，故标准差也应大于讲座后的标准差，所以C错误；

对D选项，讲座前正确率的极差为，讲座后正确率极差为，所以D错误，故选B.3.设全集，集合，，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：并集一元二次方程的解集全集与补集答案：D解析：由，，所以，故选D.4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方系的边长为，则该多面体的体积为（

）

A.

B.

C.

D.

知识点：三视图分割法求体积棱柱、棱锥、棱台的体积补形法求体积答案：B解析：由三视图还原几何体，如图，

则该直四棱柱的体积

故选B.5.函数在区间的图像大致为（

）A.

​​B.

​C.

​D.

​知识点：函数奇、偶性的图象特征函数奇、偶性的定义函数图象的识别余弦（型）函数的奇偶性答案：A解析：设，，所以为奇函数，排除BD，令，则，排除C，故选A.6.当时，函数取得最大值，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：导数的四则运算法则导数与最值答案：B解析：，由条件，得，所以，即，易知函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得最大值，所以，故选B．7.在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（

）​A.

B.

与平面所成的角为

C.

D.

与平面所成的角均为知识点：棱柱的结构特征及其性质直线与平面所成的角答案：D解析：如图所示：

不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，，解得．

对于A，，，，A错误；

对于B，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误；

对于C，，，，C错误；

对于D，与平面所成角为，，而，所以.D正确．

故选D．8.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的会圆术，如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，.会圆术给出的弧长的近似值的计算公式：．当，时，（

）

A.

B.

C.

D.

知识点：三角函数中的数学文化答案：B解析：由条件得，为等边三角形，有，，所以

，故选B．9.甲，乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和，若，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：圆锥的结构特征及其性质圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积圆柱、圆锥、圆台的体积答案：C解析：如图，甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径（即圆锥母线）为，甲，乙两个圆锥的底面半径分别为，，高分别为，，则，，则，，由勾股定理，得，，所以，故选C．

10.椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为（

）A.

B.

C.

D.

知识点：椭圆的离心率椭圆的对称性答案：A解析：椭圆的右顶点为，由于点，均在上，且关于轴对称，所以直线，也关于轴对称，即，所以，，故选A．

11.设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（

）A.

​B.

C.

D.

知识点：根据三角函数的性质求参数取值范围简单复合函数的导数基本初等函数的导数导数与极值答案：C解析：依题意可得当时，.函数在区间上恰有三个极值点、两个零点，结合的图象可知解得即的取值范围是故选.12.已知，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：导数与单调性辅助角公式二倍角的正弦、余弦、正切公式正弦线与余弦线导数中的函数构造问题利用函数单调性比较大小答案：A解析：法一：构造法

构造函数，，则，，所以，所以在上单调递减，所以，即，另一方面，，显然在时，，所以，即，所以，故选A.

法二：放缩法

因为当，

取得：，故，

，其中，且，

当时，，即，

此时，，

故，故，

所以，所以，故选A.​​​​​13.设向量的夹角的余弦值为，且，则

​知识点：数量积的性质数量积的运算律向量的数量积的定义答案：解析：14.若双曲线的渐近线与圆相切，则

​知识点：双曲线的渐近线圆的一般方程直线和圆相切双曲线的标准方程答案：解析：双曲线的渐近线方程为即.圆的标准方程为所以圆心坐标为半径.依题意，圆心到渐近线的距离解得或(舍去).15.从正方体的个顶点中任选个，则这个点在同一平面上的概率为

​知识点：古典概型的概率计算公式立体几何中的四点共面、三点共线古典概型的应用答案：解析：由古典概型计算公式可知，.16.已知中，点在边上，，，当取得最小值时，

​．知识点：余弦定理及其应用一元二次方程的解集解三角形中的最值（范围）问题利用基本不等式求最值答案：解析：法一：基本不等式

设，

则在中，，

在中，，

所以

，

当且仅当即时，等号成立，

所以当取最小值时，.

故答案为.

法二：判别式法

设，

则在中，，

在中，，

所以，

设，则,

若，则，（舍）

若，由方程有解得：​​

即，解得，

所以的最小值是，此时，

所以当​取最小值时，，即.17.记为数列的前项和已知.(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值.知识点：数列的前n项和等差数列的通项公式等差数列的定义与证明等比中项等差数列的前项和的应用答案：(1)由于，变形为，记为①式，

又，记为②式，

①—②可得

即，所以是等差数列；(2)由题意可知，即，解得，所以

，其中，

则的最小值为.解析：(1)依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；(2)​​​​​​由（）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．18.在四棱锥中，底面，，，，

(1)证明：；(2)求与平面所成的角的正弦值.知识点：用空间向量研究直线与平面所成的角直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的性质定理答案：(1)∵底面，

∴，

取中点，连接，可知，

∵，

∴，

∴四边形为平行四边形，

∴，

∵，

∴为直角三角形，为斜边，

∴，

∵，

∴平面，

∴.

(2)由（1）知，，，两两垂直，，

建立空间直角坐标系如图所示，则

，，，，

∴，，，

设平面的法向量为，则

，即，

不妨设，则，

设与平面的所成角为，则

，

∴与平面的所成的角的正弦值为.解析：(1)略(2)略19.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得分，负方得分，没有平局三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为，，，各项目的比赛结果相互独立(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望知识点：离散型随机变量的分布列及其性质离散型随机变量的均值或数学期望相互独立事件的概率答案：(1)记甲学校获得冠军为事件，

则

答：甲学校获得冠军的概率是.(2)的可能取值为，

则，

，

，

，

的期望值为解析：(1)略(2)略20.设抛物线的焦点为，点，过的直线交于两点，当直线轴时，.(1)求的方程；(2)设直线，与的另一个交点分别为，记直线，的倾斜角分别为，当取得最大值时，求直线的方程.知识点：抛物线的标准方程抛物线的顶点、焦点、准线直线与抛物线的综合应用圆锥曲线的最值（范围）问题答案：(1)由题可知，当时，，则

则可知，

则在中，

得，解得

则的方程(2)由抛物线的对称性，不妨设在轴上方，设，由（1）可知

则

又三点共线，则，则，则

得，即

同理由三点共线可得

则

由题可知，直线斜率不为，不妨设

由

则，

则

要使最大，，​，，则最大，

​当且仅当时，最大，即最大，此时

的直线方程为，即

又

则的直线方程为，即解析：(1)略(2)略21.已知函数．(1)若，求的取值范围；(2)证明：若有两个零点，，则．知识点：导数与单调性利用导数求参数的取值范围利用导数证明不等式利用导数解决函数零点问题导数中的函数构造问题导数中的极值点偏移（双变量问题）答案：(1)定义域为，，

令，所以时，单调递减；

时，单调递增；，要使得恒成立

即满足：.(2)由（）知要使得有两个零点，则，

假设.要证明，即证明，又由于在单增，即证明.

下面构造函数，

由于，又函数在单减，

.

，

时在单调递增，而，

得证.解析：(1)略(2)略22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（是参数），曲线的参数方程为，（是参数）.(1)写出的普通方程；(2)以坐标原点为极点，轴正半轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标.知识点：参数方程和普通方程的互化极坐标和直角坐标的互化答案：(1):，消去参数得⟹.(2):，两边同乘.

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