平面的基本性质点线面课件

平面的基本性质—共点共线共面平面的基本性质—共点共线共面公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推论1

经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面

推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面知识回顾公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所(2)公理2：

“共点”、“共线”、“共面”问题(3)公理3,推论1、2、3:２、反证法１、理论依据：(1)公理1：判定两平面相交证点、线共面的依据，确定平面也是作辅助面的依据（“点共线”，“线共点”）判断或证明直线是否在平面内确定两个平面的交线，(2)公理2：“共点”、“共线”、“共面”问题(3)公理点共面、线共面、三点共线、三线共点问题的一般方法．1．证明若干点或直线共面通常有两种思路（1）先由部分元素确定一个平面，再证明其余元素在这平面内．（2）先由部分元素确定若干平面，再证明这些平面重合。2．证明三点共线，通常先确定经过两点的直线是某两个平面的交线，再证明第三点是这两个平面的公共点，即该点分别在这两个平面内．3．证明三线共点通常先证其中的两条直线相交于一点，然后再证第三条直线经过这一点。点共面、线共面、三点共线、三线共点问题的一般方法．1．证明若已知：如图1-26，α∩β=a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，b∩c＝p．求证：p∈a．证明：∵b∩c＝p，∴p∈b．∵β∩γ＝b，∴p∈β．同理，p∈α．又∵α∩β=a，∴p∈a．例、两个平面两两相交，有三条交线，若其中两条相交于一点，证明第三条交线也过这一点．证法：先证两条交线交于一点，再证第三条直线也过改点已知：如图1-26，α∩β=a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，b∩例2、如图：在四面体ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，G,H分别在CD,AD上,且DG:DC=DH:DA=1:m(m>2)求证：直线EH与FG,BD相交于一点例2、如图：在四面体ABCD中，E,F分别BAQRCP证明：同理Q、R也为公共点所以P、Q、R共线要证明各点共线,只要证明它们是两个平面的公共点例2、已知△ABC在平面α外，它的的三条边所在直线分别交平面α于P、Q、R

求证：P、Q、R共线BAQRCP证明：同理Q、R也为公共点所以P、Q、R共线要证3.已知:如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点,平面经过D,E两点(1)求直线AB与平面的交点P(2)求证:D,E,P三点共线.ABCDEP3.已知:如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点,A例1、已知四条直线两两相交，且不共点，求证这四条直线在同一平面内已知:直线a、b、c、d、两两相交,且不共点求证:a、

b、c、d在同一平面内分析：四条直线两两相交且不共点，可能有两种：一是有三条直线共点；二是没有三条直线共点，故证明要分两种情况．例1、已知四条直线两两相交，且不共点，求证这四条直线在同一平（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q．d∩c＝R，a、b、c相交于点O．求证：a、b、c、d共面．证明：∵d∩a＝P，∴过d、a确定一个平面α（推论2）．同理过d、b和d、c各确定一个平面β、γ．∵O∈a，O∈b，O∈c，∴O∈α，O∈β，O∈γ．∴平面α、β、γ都经过直线d和d外一点O．∴α、β、γ重合．∴a、b、c、d共面．注：本题的方法是“同一法”．（1）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q．d∩c＝R，a、b、c相（2）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a∩b＝M，b∩c＝N，a∩c＝S，且无三线共点．求证：a、b、c、d共面证明：∵d∩a＝P，∴d和a确定一个平面α（推论2）．∵a∩b＝M，d∩b＝Q，∴M∈α，Q∈α．∴a、b、c、d四线共面．（2）已知：d∩a＝P，d∩b＝Q，d∩c＝R，a∩b＝M，已知：直线a∥b∥c,a∩l=A,b∩l=B,c∩l=C求证：a,b,c,l共面aA证明：又∵a∩l=A,b∩l=B,

∵a∥b∴a,b,c,l共面bcBCl已知：直线a∥b∥c,a∩l=A,b∩l=B,c∩l=CaA例1:已知:A

l,

B

l,C

l,D

l,求证:直线AD,BD,CD在同一平面内.证明:∵D

l,

∴点D与直线l可以确定平面(推论1)

lBACD∵A

l∴A

又D

∴AD平面(公理1)同理:BD平面,CD平面

∴直线AD,BD,CD在同一平面

内例1:已知:Al,Bl,Cl,Dl,证明:∵共面问题：例题4：已知三条平行线a,b,c都与直线d相交，求证：四条直线共面。Cd共面问题：Cd2.已知:空间四点A、B、C、D不在同一个平面内,求证：直线AB和CD既不相交也不平行.反证法

ABCD2.已知:空间四点A、B、C、D不在同一个平面内,反证法AB１、要证“点共面”

、“线共面”可先由部分点、直线确定一平面，在证其余点、直线也在此平面内，小结２、反证法的应用的意识即纳入法１、要证“点共面”、“线共面”可先由部分点、直线确定一平面1．空间四点A、B、C、D共面但不共线，则下列结论成立的是（）A．四点中必有三点共线．B．四点中有三点不共线．C．AB、BC、CD、DA四条直线中总有两条平行．D．直线AB与CD必相交．课堂练习1．空间四点A、B、C、D共面但不共线，则下列结论成立的是（2．下列命题中，①有三个公共点的两个平面重合；②梯形的四个顶点在同一平面内；③三条互相平行的直线必共面；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中正确命题个数是（）A．0B．1C．2D．32．下列命题中，①有三个公共点的两个平面重合；②梯形的四个顶3．空间五个点，没有三点共线，但有四点共面，这样的五个点可以确定平面数最多为（）A．3B．5C．6D．74．直线l1//l2，在l1上取三点，在l2上取两点，由这五个点能确_____个平面．3．空间五个点，没有三点共线，但有四点共面，这样的五个点可以

填空题:（2)两个平面可以把空间分成________部分，三个平面呢?_________________。（1）三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，四条直线相交于一点呢?_____________。最多确定的平面数是_______;看看答案吧看看答案吧363或44，6或7，8看看答案吧填空题:（2)两个平面可以把空间分成________部3条直线相交于一点时：三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，最多可以确定3个。（1）、3条直线共面时（2）、每2条直线确定一平面时3条直线相交于一点时：三条直线相交于一点，用其4条直线相交于一点时：三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面，最多可以确定6个。（1）、4条直线全共面时（2）、有3条直线共面时（c）、每2条直线都确定一平面时4条直线相交于一点时：