第4章-多元函数微积分学课件

考试内容1.多元函数的概念

邻域

:(开)区域连通的开集边界点内点外点若点集E

的点都是内点,则称E

为开集.若集

E

中任意两点都可用一完全属于

E

的折线相连,则称

E

是连通的.

E开区域连同它的边界一起称为闭区域.1考试内容1.多元函数的概念邻域:(开)区域连通的开集边界用不等式(组)表示区域:xyoabX-型2用不等式(组)表示区域:xyoabX-型2用不等式(组)表示区域:dcxyoY-型3用不等式(组)表示区域:dcxyoY-型32.二元函数的几何意义

n元函数:42.二元函数的几何意义n元函数:43.二元函数的极限与连续的概念

极限

反之,若沿不同的线路得到不同的极限,则原极限不存在.

(此结论常用于证明极限不存在)

53.二元函数的极限与连续的概念极限反之,连续4.有界闭区域上二元连续函数的性质有界定理,最值定理,

介值定理.一切多元初等函数在其定义区域内连续.5.多元函数偏导数的概念与计算本质上仍然是一元函数求导数,故一元函数中的求导公式,求导法则都适用于求偏导数.6连续4.有界闭区域上二元连续函数的性质有界定理,最值定理,6.二阶偏导数76.二阶偏导数7多元函数连续、可偏导与可微的关系可微连续连续的偏导数可偏导7.全微分

8多元函数连续、可偏导与可微的关系可微连续连续的偏8.多元复合函数的求导法与隐函数求导法

全导数公式

链导公式

(1)(2)注意与的区别.98.多元复合函数的求导法与隐函数求导法全导数公式链导公式隐函数求导法方法一:方法二:(公式法)

当

时,方程两边关于x或y求偏导数;10隐函数求导法方法一:方法二:(公式法)当时9.多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值记二元函数的极值求法119.多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值记二元函数的(拉格朗日乘数法)条件极值构造拉格朗日函数求出极值可能点,再根据具体问题判断.其中为参数,称为拉格朗日乘数.

则构造拉格朗日函数为12(拉格朗日乘数法)条件极值构造拉格朗日函数求出极值可能点,10.二重积分的概念、基本性质和计算二重积分的概念直角坐标系下,面积元素极坐标系下,面积元素1310.二重积分的概念、基本性质和计算二重积分的概念直角坐标11.无界区域上简单的反常二重积分二重积分的性质与一元函数定积分的性质完全类似.二重积分的计算将二重积分转化成累次积分.1411.无界区域上简单的反常二重积分二重积分的性质与一元函数考试要求1.了解多元函数的概念,了解二元函数的几何意义.3.了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数,会求全微分,会求多元隐函数的偏导数.4.了解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决简单的应用问题.2.了解二元函数的极限与连续的概念,了解有界闭区域上二元连续函数的性质.5.了解二重积分的概念与基本性质,掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标).了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算.15考试要求1.了解多元函数的概念,了解二元函数的几何意义.3典型例题分析例1解16典型例题分析例1解16最后考察可微性:17最后考察可微性:17实际上,可微一定连续,不连续当然不可微.18实际上,可微一定连续,不连续当然不可微.18解法1解法2

令解法3

令例2

讨论二重极限时,下列算法是否正确?19解法1解法2令解法3令例2讨论二重极限时分析:解法1解法2

令此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况,此法排除了沿曲线趋于原点的情况.此时极限为1.第二步未考虑分母变化的所有情况,20分析:解法1解法2令此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的解法3

令此法忽略了

的任意性,极限不存在!由以上分析可见,三种解法都不对,因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点.

特别要注意,在某些情况下可以利用极坐标求极限,但要注意在定义域内r,

的变化应该是任意的.同时还可看到,本题极限实际上不存在.21解法3令此法忽略了的任意性,极限不存在!由以解例3故由夹逼准则知

22解例3故由夹逼准则知22例4解23例4解23例5解24例5解24例6解法一解法二(公式法)设则25例6解法一解法二(公式法)设则25解两边微分,解26解两边微分,解26解

方程两边对

x

求导,得例9

设其中

f与F分别具有一阶导数或偏导数,

求即27解方程两边对x求导,得例9设其中f与例10解oxyD28例10解oxyD28oxyD29oxyD29例11解令由实际问题,此即最佳分配方案.30例11解令由实际问题,此即最佳分配方案.30将化为二次积分,其中

D

由直线围成.解法1先画出积分区域D，先x后y,例1231将化为二次积分,其中D由直线围成.解法1先画出积分区域解法2先y后x,

32解法2先y后x,32例13先x后y,将D

向y

轴投影,先y后x,将D

向x

轴投影,解

33例13先x后y,将D向y轴投影,先y后x解法1-12例14先x后y,34解法1-12例14先x后y,34选择积分次序的原则：