【解析】2023-2024学年初中数学八年级上册 19.10 两点的距离公式 同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

第第页【解析】2023-2024学年初中数学八年级上册19.10两点的距离公式同步分层训练培优卷(沪教版五四制)登录二一教育在线组卷平台助您教考全无忧

2023-2024学年初中数学八年级上册19.10两点的距离公式同步分层训练培优卷(沪教版五四制)

一、选择题

1．（2023八下·河西期中）若有点，点，则的长度为()

A．B．C．D．

2．（2022八下·无为期末）如图，在平面直角坐标系中，点是直线与直线的交点，点B是直线与y轴的交点，点P是x轴上的一个动点，连接PA，PB，则的最小值是（）

A．6B．C．9D．

3．（2022八下·禹州期末）在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，6），则点A，B之间的距离是（）

A．2B．2C．3D．5

4．（2023九上·永定期末）如图，直线y=x+2与反比例函的图象在第一象限交于点P.若，则k的值为（）

A．6B．8C．10D．12

5．（2023八下·东莞期末）如图，点P是平面直角坐标系中一点，则点P到原点O的距离是（）

A．1B．2C．D．

6．（2023九上·织金期末）如图，直线与坐标轴分别交于点，与若双曲线交于点，则为（）

A．B．C．D．

7．（2023八上·铁西月考）如图，若点，点，在x轴上找一点P，使最小，则点P坐标为（）

A．（－5，0）B．（－1，0）C．（0，0）D．（1，0）

8．（2023·宁波模拟）已知：、是正数，且，则的最小值是（）

A．B．C．D．

二、填空题

9．（2023·盐田模拟）如图，A，B是反比例函数图象上两点，，，，则．

10．（2023·秀洲模拟）如图，在平面直角坐标系中，，，P是x轴上动点，连结，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连结，取中点为M.的度数为，的最小值为.

11．（2023九下·荆州月考）如图，在平面直角坐标系中，长为3的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，点、是y轴上定点，连接，则的最小值为.

12．（2022·河西模拟）如图，在边长为4的等边中，D，E分别为，的中点，连接，F为的中点，连接，则的长为．

13．（2022·石景山模拟）如图，某建筑公司有A(1，3)，B(3，3)，C(5，3)三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为a吨，b吨，c吨．有M(1，5)，N(3，1)两个原料库供应水泥．使用一辆载重量大于(a+b+c)吨的运输车可沿图中虚线所示的道路运送水泥．为节约运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数×运输路程千米数）最小．若公司安排一辆装有(a+c)吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a>c，为使总的“吨千米数”最小，则应从原料库（填“M”或“N”）装运；若公司计划从N原料库安排一辆装有(a+b+c)吨的运输车向A，B，C三个工地运送当日所需的水泥，且a：b：c=3：2：1，为使总的“吨千米数”最小，写出向三个工地运送水泥的顺序（按运送的先后顺序依次排列即可）．

三、解答题

14．（2023八上·厦门开学考）在平面直角坐标系中有四点，其中，.

（Ⅰ）在下图中描出四点，再连接；

（II）直接写出线段与线段的位置关系；

（Ⅲ）若与轴交于点与轴交于点，在线段上是否存在一点，使得三角形与三角形的面积相等.若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.

四、作图题

15．（2023八下·福州月考）按要求完成作图：

（1）作出关于轴对称的图形；

（2）在轴上找一点，使得MA+MB的值最小，最小为多少？

五、综合题

16．（2023八上·长沙期末）设两个点A、B的坐标分别为，，则线段AB的长度为：.举例如下：A、B两点的坐标是，，则A、B两点之间的距离.请利用上述知识解决下列问题：

（1）若，，且，求x的值；

（2）已知△ABC，点A为、点B为、点C为，求△ABC的面积；

（3）求代数式的最小值.

17．（2023八上·长沙月考）先阅读下列一段文字，再解答问题.已知在平面内有两点P1（，），P2（，），其两点间的距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或.

（1）已知点A（7，3），B（2，），试求A，B两点间的距离；

（2）已知点A，B在平行于轴的直线上，点A的横坐标为6，点B的横坐标为，试求A，B两点间的距离；

（3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值.

答案解析部分

1．【答案】B

【知识点】直角坐标系内两点的距离公式

【解析】【解答】根据平面直角坐标系中两点距离公式：AB=；

故选：B

【分析】根据平面直角坐标系中两点距离公式计算可得答案。

2．【答案】D

【知识点】直角坐标系内两点的距离公式

【解析】【解答】解：作点A关于x轴的对称点，连接，如图所示：

则PA+PB的最小值即为的长，

将点A（3，a）代入y=2x，

得a=2×3=6，

∴点A坐标为（3，6），

将点A（3，6）代入y=x+b，

得3+b=6，

解得b=3，

∴点B坐标为（0，3），

根据轴对称的性质，可得点A'坐标为（3，-6）

∴，

∴PA+PB的最小值为．

故答案为：D．

【分析】作点A关于x轴的对称点，连接，先求出点B的坐标，再利用勾股定理求出，即可得到PA+PB的最小值为。

3．【答案】B

【知识点】直角坐标系内两点的距离公式

【解析】【解答】解：，，

.

故答案为：B.

【分析】若A（x，y），B（m，n）则AB=，据此计算

4．【答案】B

【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；直角坐标系内两点的距离公式

【解析】【解答】解：由题意设

整理得：

在第一象限，则

故答案为：B.

【分析】根据直线上的点的坐标特点设P（x，x+2），由坐标平面内两点间的距离公式求出OP2，结合OP的长可列出方程，解之可求出点P坐标，再将点P坐标代入反比例函数解析式中求出k值即可.

5．【答案】D

【知识点】直角坐标系内两点的距离公式

【解析】【解答】解：如图，过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，则四边形OAPB为矩形．

∵P（1，2），

∴OA＝1，PA＝OB＝2，

在Rt△OPA中，∵∠OAP＝90°，

∴OP＝＝＝．

故答案为：D．

【分析】过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，则四边形OAPB为矩形．根据点坐标的定义得出OA＝1，PA＝OB＝2，再利用勾股定理即可求出OP的长。

6．【答案】A

【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；直角坐标系内两点的距离公式

【解析】【解答】解：A为直线y=kx﹣3（k≠0）与双曲线y=﹣（x＜0）的交点，可得A满足双曲线的解析式，

可得：，

解得：，

即A点坐标为（-2，1），

A点在直线上，可得A点满足y=kx﹣3（k≠0），

可得：，解得：k=-2，

一次函数的解析式为：y=-2x﹣3，

B为直线与y轴的交点，可得B点坐标（0，-3），

∴AB==，

故答案为：A.

【分析】将y=1代入反比例函数解析式可求出m的值，可得到点A的坐标；将点A的坐标代入一次函数y=kx-3，可求出一次函数解析式，由x=0求出对应的y的值，可得到点B的坐标，然后利用点A，B的坐标，根据勾股定理求出AB的长.

7．【答案】C

【知识点】直角坐标系内两点的距离公式

【解析】【解答】解：根据题意要使|PAPB|最小，则PA＝PB即可，

设P（x，0），

∴，解得：x=0，

∴P（0，0）

故答案为：C．

【分析】要使|PAPB|最小，则PA＝PB即可.设P（x，0），根据PA=PB及坐标系内两点间的距离公式可得方程，求出x值即得结论.

8．【答案】A

【知识点】直角坐标系内两点的距离公式

【解析】【解答】解：，均为正数，，，

设，

从上式可以看出：第一个根号是表示点到的距离，第二个根号是点到的距离，

最小值为注意取值范围：，

最小值，

故答案为：A.

【分析】由已知得b=2-a，代入待求式子，根据坐标平面内来两点间的距离公式可得题目表示的是x轴上一点C（a，0）到A（0，1）、B（2，-2）的距离之和最小值问题，根据两点之间线段最短，用勾股定理算出最小值AB即可.

9．【答案】

【知识点】反比例函数的图象；三角形的面积；三角形全等及其性质；直角坐标系内两点的距离公式

【解析】【解答】解：设A（m，）（m>0、k>0）

∵C（-2，0），D（4，0），

∴OC=2，OD=4.

∵△ACO≌△ODB，

∴AC=OD=4，S△ACO=S△ODB，AO=BO，

∴OC·|yA|=×OD×|yB|，

∴×2×=×4×yB，

∴yB=.

∵点B在反比例函数y=的图象上，

∴=，

∴x=2m，

∴B（2m，）.

∵AO=BO，

∴AO2=BO2，

∴m2+()2=(2m)2+()2，整理可得4m2=k2，

∴k=2m2，

∴A（m，2m）.

∵AC=4，

∴(m+2)2+4m2=16，

解得m=，

∴A（，），

∴k=×=.

故答案为：.

【分析】设A（m，）（m>0、k>0），根据点C、D的坐标可得OC=2，OD=4，由全等三角形的性质可得AC=OD=4，S△ACO=S△ODB，AO=BO，结合三角形的面积公式可得yB=，代入反比例函数解析式中可得x=2m，则B（2m，），根据AB=BO结合两点间距离公式可得k=2m2，则A（m，2m），根据AC=4可得m的值，据此可得点A的坐标，进而可求出k的值.

10．【答案】135°；

【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）；直角坐标系内两点的距离公式

【解析】【解答】解：如图，过A作轴，垂足为C，

∵，，

∴，

∴，

∴；

∵绕点A逆时针旋转得到，是中点，

∴，，

∴，

过点Q作，垂足为D，

∵，

∴，又，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，即点Q的横坐标为1，则，

∴，

∴，则，

∴点M在线段的垂直平分线上，

∴当M在上时，最小，且为，

故答案为：135°，.

【分析】过A作AC⊥x轴，垂足为C，根据点A、B的坐标可得AC=BC=2，∠ABC=45°，则∠ABP=135°，由旋转的性质可得∠PAQ=90°，AP=AQ，则AM=PQ，过点Q作DQ⊥AC，垂足为D，由同角的余角相等可得∠DAQ=∠APC，利用AAS证明△ADQ≌△PCA，得到DQ=AC=2，进而推出AM=BM，故当M在AB上时，AM+BM最小，然后利用两点间距离公式进行计算.

11．【答案】

【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；平移的性质；直角坐标系内两点的距离公式

【解析】【解答】解：如图，平移使点D落在点B处，连接，则点C的对应点为，即，

∵，，

∴点，

作点A关于x轴的对称点，此时点，C，在同一条线上时，最小，

∵，

∴，

连接，则的最小值为，

故答案为：.

【分析】平移CD使点D落在点B处，连接B′C，则点C的对应点为B′，即B′C=BD，易得B′（-3，4），作点A关于x轴的对称点A′，此时点A′，C，B′在同一条线上时，AC+BD取得最小值，为A′B′，然后利用两点间距离公式进行计算.

12．【答案】

【知识点】等边三角形的性质；直角坐标系内两点的距离公式

【解析】【解答】解：以点B为原点，BC所在的直线为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴建立平面直角坐标系，过点A作AE⊥BC，过点D作DG⊥BC，

由题意，得

点C的坐标为（4，0），E的坐标为（2，0），

∵等边三角形，E为BC的中点，

∴AB=BC，∠ABC=60°，

∴AE=AB×sin60°=，

又D，E分别是AB，BC的中点，∠ABC=60°，

∴△BDE为等边三角形，

∴DG=BD×sin60°=，

∴点D的坐标为（1，），点A的坐标为（2，），

∵F为DE的中点，

∴点F的坐标为（），

∴AF==．

故答案为：．

【分析】以点B为原点，BC所在的直线为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴建立平面直角坐标系，过点A作AE⊥BC，过点D作DG⊥BC，先证出△BDE为等边三角形，求出DG=BD×sin60°=，再求出点F的坐标，最后利用两点之间的距离公式求解即可。

13．【答案】M；N-B-A-C

【知识点】直角坐标系内两点的距离公式

【解析】【解答】解：∵MA+ACc，为使总的“吨千米数”最小，则应从M料库装运；

∵N(3，1)，A(1，3)，B(3，3)，C(5，3)，

∴NA=NC=2，NB=AB=BC=2，

∵a：b：c=3：2：1，

∴a=3c，b=2c，

当按N-A-B-C运输时：2×6c+2×3c+2c=(8+12)c24.97c；

按N-B-A-C运输时：2×6c+2×4c+(2+2)c=24c；

按N-B-C-A运输时：2×6c+2×4c+(2+2)×3c=32c；

∵24c0、k>0）

∵C（-2，0），D（4，0），

∴OC=2，OD=4.

∵△ACO≌△ODB，

∴AC=OD=4，S△ACO=S△ODB，AO=BO，

∴OC·|yA|=×OD×|yB|，

∴×2×=×4×yB，

∴yB=.

∵点B在反比例函数y=的图象上，

∴=，

∴x=2m，

∴B（2m，）.

∵AO=BO，

∴AO2=BO2，

∴m2+()2=(2m)2+()2，整理可得4m2=k2，

∴k=2m2，

∴A（m，2m）.

∵AC=4，

∴(m+2)2+4m2=16，

解得m=，

∴A（，），

∴k=×=.

故答案为：.

【分析】设A（m，）（m>0、k>0），根据点C、D的坐标可得OC=2，OD=4，由全等三角形的性质可得AC=OD=4，S△ACO=S△ODB，AO=BO，结合三角形的面积公式可得yB=，代入反比例函数解析式中可得x=2m，则B（2m，），根据AB=BO结合两点间距离公式可得k=2m2，则A（m，2m），根据AC=4可得m的值，据此可得点A的坐标，进而可求出k的值.

10．（2023·秀洲模拟）如图，在平面直角坐标系中，，，P是x轴上动点，连结，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连结，取中点为M.的度数为，的最小值为.

【答案】135°；

【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）；直角坐标系内两点的距离公式

【解析】【解答】解：如图，过A作轴，垂足为C，

∵，，

∴，

∴，

∴；

∵绕点A逆时针旋转得到，是中点，

∴，，

∴，

过点Q作，垂足为D，

∵，

∴，又，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，即点Q的横坐标为1，则，

∴，

∴，则，

∴点M在线段的垂直平分线上，

∴当M在上时，最小，且为，

故答案为：135°，.

【分析】过A作AC⊥x轴，垂足为C，根据点A、B的坐标可得AC=BC=2，∠ABC=45°，则∠ABP=135°，由旋转的性质可得∠PAQ=90°，AP=AQ，则AM=PQ，过点Q作DQ⊥AC，垂足为D，由同角的余角相等可得∠DAQ=∠APC，利用AAS证明△ADQ≌△PCA，得到DQ=AC=2，进而推出AM=BM，故当M在AB上时，AM+BM最小，然后利用两点间距离公式进行计算.

11．（2023九下·荆州月考）如图，在平面直角坐标系中，长为3的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，点、是y轴上定点，连接，则的最小值为.

【答案】

【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；平移的性质；直角坐标系内两点的距离公式

【解析】【解答】解：如图，平移使点D落在点B处，连接，则点C的对应点为，即，

∵，，

∴点，

作点A关于x轴的对称点，此时点，C，在同一条线上时，最小，

∵，

∴，

连接，则的最小值为，

故答案为：.

【分析】平移CD使点D落在点B处，连接B′C，则点C的对应点为B′，即B′C=BD，易得B′（-3，4），作点A关于x轴的对称点A′，此时点A′，C，B′在同一条线上时，AC+BD取得最小值，为A′B′，然后利用两点间距离公式进行计算.

12．（2022·河西模拟）如图，在边长为4的等边中，D，E分别为，的中点，连接，F为的中点，连接，则的长为．

【答案】

【知识点】等边三角形的性质；直角坐标系内两点的距离公式

【解析】【解答】解：以点B为原点，BC所在的直线为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴建立平面直角坐标系，过点A作AE⊥BC，过点D作DG⊥BC，

由题意，得

点C的坐标为（4，0），E的坐标为（2，0），

∵等边三角形，E为BC的中点，

∴AB=BC，∠ABC=60°，

∴AE=AB×sin60°=，

又D，E分别是AB，BC的中点，∠ABC=60°，

∴△BDE为等边三角形，

∴DG=BD×sin60°=，

∴点D的坐标为（1，），点A的坐标为（2，），

∵F为DE的中点，

∴点F的坐标为（），

∴AF==．

故答案为：．

【分析】以点B为原点，BC所在的直线为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴建立平面直角坐标系，过点A作AE⊥BC，过点D作DG⊥BC，先证出△BDE为等边三角形，求出DG=BD×sin60°=，再求出点F的坐标，最后利用两点之间的距离公式求解即可。

13．（2022·石景山模拟）如图，某建筑公司有A(1，3)，B(3，3)，C(5，3)三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为a吨，b吨，c吨．有M(1，5)，N(3，1)两个原料库供应水泥．使用一辆载重量大于(a+b+c)吨的运输车可沿图中虚线所示的道路运送水泥．为节约运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数×运输路程千米数）最小．若公司安排一辆装有(a+c)吨的运输车向A和C工地运送当日所需的水泥，且a>c，为使总的“吨千米数”最小，则应从原料库（填“M”或“N”）装运；若公司计划从N原料库安排一辆装有(a+b+c)吨的运输车向A，B，C三个工地运送当日所需的水泥，且a：b：c=3：2：1，为使总的“吨千米数”最小，写出向三个工地运送水泥的顺序（按运送的先后顺序依次排列即可）．

【答案】M；N-B-A-C

【知识点】直角坐标系内两点的距离公式

【解析】【解答】解：∵MA+ACc，为使总的“吨千米数”最小，则应从M料库装运；

∵N(3，1)，A(1，3)，B(3，3)，C(5，3)，

∴NA=NC=2，NB=AB=BC=2，

∵a：b：c=3：2：1，

∴a=3c，b=2c，

当按N-A-B-C运输时：2×6c+2×3c+2c=(8+12)c24.97c；

按N-B-A-C运输时：2×6c+2×4c+(2+2)c=24c；

按N-B-C-A运输时：2×6c+2×4c+(2+2)×3c=32c；

∵24c<24.97c<32c，

∴按N-B-A-C运输时，总的“吨千米数”最小，

故答案为：M；N-B-A-C．

【分析】关键是求平面直角坐标系内两点之间的距离，再对行进路线的总长度进行大小比较即可。

三、解答题

14．（2023八上·厦门开学考）在平面直角坐标系中有四点，其中，.

（Ⅰ）在下图中描出四点，再连接；

（II）直接写出线段与线段的位置关系；

（Ⅲ）若与轴交于点与轴交于点，在线段上是否存在一点，使得三角形与三角形的面积相等.若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】解：（Ⅰ）先根据点的坐标描点，再连接，如图所示：

（Ⅱ），

轴，轴，

，

即线段与线段的位置关系是平行；

（III）由题意，画出图形如下：

轴于轴于，

，

，

，

设点的坐标为，则，

三角形的面积为，

三角形的面积为，

三角形与三角形的面积相等，

，

解得，

则点的坐标为.

【知识点】点的坐标；平行线之间的距离；三角形的面积；直角坐标系内两点的距离公式

【解析】【分析】(Ⅰ)根据坐标在坐标系中分别找出A、B、C、D四点，并把AB、CD连接起来即可；

(II)根据A、B两点的横坐标不相等，而纵坐标相等，得出AB∥x轴，同理得出轴，即可推出AB∥CD；

(III)先读出M、N的坐标，求出AB和CD的长，设点的坐标为，然后把△ABP和△CDP的面积分别用含a的代数式表示，然后根据面积相等，列方程求解，即可解答.

四、作图题

15．（2023八下·福州月考）按要求完成作图：

（1）作出关于轴对称的图形；

（2）在轴上找一点，使得MA+MB的值最小，最小为多少？

【答案】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：作关于轴对称点，仅当，，三点共线时值最小，

，，

，

∴MA+MB的最小值.

【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；直角坐标系内两点的距离公式

【解析】【分析】（1）关于y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此找出点D、E、F的位置，然后顺次连接即可；

（2）作A关于x轴对称点A′，仅当A′、M、B三点共线时值最小，则MA=MA′，A′（1，-2），MA+MB=MA′+MB=A′B，然后利用两点间的距离公式进行计算.

五、综合题

16．（2023八上·长沙期末）设两个点A、B的坐标分别为，，则线段AB的长度为：.举例如下：A、B两点的坐标是，，则A、B两点之间的距离.请利用上述知识解决下列问题：

（1）若，，且，求x的值；

（2）已知△ABC，点A为、点B为、点C为，求△ABC的面积；

（3）求代数式的最小值.

【答案】（1）解：