2022-2023学年四川省德阳重点中学高二下期中数学试卷理科含解析

第第页2022-2023学年四川省德阳重点中学高二（下）期中数学试卷（理科）（含解析）2022-2023学年四川省德阳重点中学高二（下）期中数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.复数，则()

A.B.C.D.

2.在等比数列中，已知，，则()

A.B.C.或D.或

3.函数的单调递增区间是()

A.B.

C.D.

4.已知函数，在上任取一个实数，使得的概率为()

A.B.C.D.

5.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为，底面圆的半径为，则圆锥的侧面积为()

A.B.C.D.

6.已知平面向量，若，则()

A.B.C.或D.或

7.命题：已知一条直线及两个不同的平面，，若，则“”是“”的充分条件；命题：有两个面相互平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台则下列为真命题的是()

A.B.C.D.

8.已知函数的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点()

A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度

C.向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度

9.我国古代数学典籍九章算术卷九“勾股”中有一测量问题：“今有立木，系索其末，委地三尺引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？这个问题体现了古代对直角三角形的研究，现有一竖立的木头柱子，高米，绳索系在柱子上端，牵着绳索退行，当绳索与底面夹角为时绳索未用尽，再退行米绳索用尽绳索与地面接触，则绳索长为()

A.米B.米C.米D.米

10.已知，为正实数，直线与曲线相切，则的最小值是()

A.B.C.D.

11.椭圆的左，右焦点为，，且，点是椭圆上异于左、右端点的一点，若是的内心，且，则实数()

A.B.C.D.

12.已知，若关于的方程有三个不同的实根，，，且，则的值为()

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.______．

14.已知复数为纯虚数其中为虚数单位，则．

15.若点是曲线上的点，则的最小值为______．

16.在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，，已知动点从点出发，沿外表面经过棱上一点到点的最短距离为，则该棱锥的外接球的体积为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

已知函数在处取得极值．

求实数的值；

当时，求函数的最小值．

18.本小题分

某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明、小红打算报名参加大赛赛前，小明、小红分别进行了为期一周的封闭强化训练，下表记录了两人在封闭强化训练期间每天加工模具成功的次数，其中小明第天的成功次数忘了记录，但知道，．

第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天

序号

小明成功次数

小红成功次数

求这天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率；

根据小明这天内前天的成功次数，求其成功次数关于序号的线性回归方程，并估计小明第七天成功次数的值．

参考公式：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为．

参考数据：；．

19.本小题分

如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，．

求的长；

求直线与平面所成角的正弦值．

20.本小题分

在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为．

求曲线的直角坐标方程；

设曲线与直线交于点，，点的坐标为，求．

21.本小题分

在圆：上任取一点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．

求曲线的方程；

设曲线与轴正半轴交点为，不过点的直线与曲线交于，两点，若，试探究直线是否过定点若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．

22.本小题分

已知函数．

Ⅰ判断函数的零点个数；

Ⅱ若，求的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由题意得．

故选：．

根据复数的除法运算法则即可得到答案．

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

2.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的通项公式，属于简单题．

设等比数列的公比为，利用等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出．

【解答】

解：设等比数列的公比为，

在等比数列中，，，

，解得，或，，

或．

故选：．

3.【答案】

【解析】解：函数的定义域为，

，

令，可得，

所以的单调递增区间是

故选：．

对求导，令，即可求解的单调递增区间．

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．

4.【答案】

【解析】解：由，得，

则所求概率．

故选：．

先根据指数函数的单调性解不等式，再利用几何概型的概率公式即可得解．

本题主要考查几何概型的概率公式，属于基础题．

5.【答案】

【解析】解：设圆锥的半径为，母线长为，则，

由题意知，，解得：，

所以圆锥的侧面积为．

故选：．

运用扇形的弧长公式及圆锥的侧面积公式计算即可．

本题主要考查圆锥的侧面积，圆锥的结构特征，考查运算求解能力，属于基础题．

6.【答案】

【解析】解：若，则，

解得或．

故选：．

由可得，求解即可．

本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示，属于基础题．

7.【答案】

【解析】解：对于命题，若，，则由面面垂直的判定定理可得，

所以“”是“”的充分条件，故命题为真命题，

对于命题，由棱台的定义可知，棱台各个侧棱的延长线交于一定，故命题为假命题，

所以为假命题，为真命题，为假命题，为假命题．

故选：．

先判断命题，的真假，再利用复合命题真假判断方法，逐个分析各个选项即可．

本题主要考查了面面垂直的判定定理，考查了复合命题的真假判断，属于基础题．

8.【答案】

【解析】解：根据函数的图象，

可得，．

再根据五点法作图，可得，，故

为了得到的图象，只需把的图象上所有点向左平移个单位长度，

故选：．

由题意利用余弦函数的图象和性质，求得的解析式，再利用函数的图象变换规律，得出结论．

本题主要考查余弦函数的图象和性质，函数的图象变换规律，属于中档题．

9.【答案】

【解析】解：由题意如图所示：，，，，则为绳子长，

在中，，

可得，

所以，

故选：．

由题意画出图形，由题意可得的大小，进而求出的大小，再由勾股定理可得的值．

本题考查直角三角形的性质的应用，属于基础题．

10.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查最值的求法，注意基本不等式的应用，同时考查导数的运用：求切线的斜率，注意设出切点，考查运算能力，属于中档题．

设切点为，求出曲线对应函数的导数，可得切线的斜率，代入切点坐标，解方程可得，进而得到，利用“乘”法及基本不等式的应用即可得到所求最小值．

【解答】

解：设切点为，

的导数为，

由题意可得，

又，，

解得，，

即有，

则，

当且仅当，即，时等号成立，

所以的最小值为．

故选A．

11.【答案】

【解析】解：设的内切圆半径为，

则，，，，

，

可得，解得．

又因为，所以，即，

所以，即，解得舍去负值，

所以．

故选：．

设的内切圆半径为，由可得，进而得到，由可得，同除以即可求解．

本题考查椭圆的简单性质的应用，是中档题．

12.【答案】

【解析】解：设，，

由已知方程组有三组解，

又函数的定义域为，导函数为，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

且时，，当时，，

当时，，当时，，

当，时，，

由此可得函数的大致图象如下：

所以当时，方程没有解，

当时，方程有两个解，

当或时，方程有一个解，

又方程至多有两个不相等的解，

由已知可得，方程必有两个解，且其中一个解，

若另一个解，则，，矛盾，

若另一个解，则，，矛盾，

故另一个解，且，

因为，

所以，，

所以，

故选：．

设，，由已知可得方程组有三组解，利用导数分析函数的单调性，由此确定的解，由此确定方程的解的特征，再求的值．

本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．

13.【答案】

【解析】解：，

故答案为：

根据定积分的计算法则计算即可．

本题考查了定积分的计算，属于基础题．

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查复数纯虚数的定义，同角三角函数的关系，属于基础题．

利用纯虚数的定义列出方程组求解即可．

【解答】

解：根据题意得，

所以，

．

故答案为：．

15.【答案】

【解析】解：令，则原问题转化为求解的最小值，

不妨设，，，

由题意可得：，

即，

整理可得：，

所以当时，有最大值，即有最小值，

所以可得的最小值是．

故答案为：．

令，不妨设，，，代入可得，由有最大值得到有最小值，从而可解．

本题考查了转化思想、函数的几何意义，属于中档题．

16.【答案】

【解析】解：在三棱锥中，平面，，，

先利用展开面，如图所示：

设，由题意知：，

在中，利用余弦定理：，

整理得：，

解得或负值舍去．

故该三棱锥的外接球的直径为．

所以，

所以三棱锥体的外接球的半径为；

故．

故答案为：．

首先利用三棱锥求出三棱锥的外接球的半径，进一步求出球的体积．

本题考查的知识要点：三棱锥和球体的关系，球的半径的求法，球的体积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．

17.【答案】解：，

又函数在处取得极值，则；

即，此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

所以当时满足条件；

所以；

由可知在上单调递增，单调递减；

所以当时，函数的最小值是，中的较小者；

，；

故函数的最小值为．

【解析】本题考查极值，函数最值，属于基础题．

在处取得极值，则可求出的值；

求出函数在上的单调区间，从而得出函数的最小值．

18.【答案】解：因为，且，所以的取值共有种情况，

又当小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，有，

即，得，

所以小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，的取值共有情况，

所以这天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率为；

由题设可知，

，

所以，

所以关于序号的线性回归方程为，

当时，，

估计小明第天成功次数的值为．

【解析】因为，且，所以的取值共有种情况，根据题意小明成功的总次数不少于小红成功的总次数时，的取值共有情况，即可求解；

由题意求得，，，可得关于序号的线性回归方程为，将代入方程即可求解．

本题考查了线性回归方程的应用计算，属于中档题．

19.【答案】解：取中点，连接，，则，

平面，，

又，平面，

故平面，即为在平面内的射影，

又，，

故∽，，而，；

连接，由知平面，

故为直线与平面所成角，

，，

，

即所求角的正弦值为．

【解析】本题考查直线与平面所成角的求法，空间点线面距离的求法，是中档题．

取中点，连接，，说明即为在平面内的射影，通过∽，求解，然后求解即可；

连接，说明为直线与平面所成角，通过求解三角形推出结果．

20.【答案】解：曲线的方程，

，，

即曲线的直角坐标方程为：．

把直线代入曲线得，

整理得，．

，

设，为方程的两个实数根，则，，，为异号，

又点在直线上，

．

【解析】由曲线的方程的极坐标方程能求出曲线的直角坐标方程．

把直线代入曲线得由此能求出．

本题考查曲线的直角坐标方程、两线段和的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

21.【答案】解：设点，，

，，

，，则曲线的方程为．

，设，，由，

，

当直线轴时，为钝角三角形，且，不满足题意，

直线的斜率存在．设直线的方程为：，

由，化简得：，，

，

，

整理得，，，

直线的方程为：，恒过点．

【解析】设点，，由得出，继而由圆的方程得出曲线的方程；

讨论斜率存在和不存在两种情况，由得出，结合韦达定理以及数量积公式得出，进而得出定点．

本题主要考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．

22.【答案】【解析】Ⅰ因为，所以，

令，所以，分

当时，，所以在上单调递增；

当时，，所以