连续时间系统的频域分析

第三章.连续时间系统的频域剖析一、随意信号在齐备正交函数系中的表示法（§）信号分解的目的：将随意信号分解为单元信号之和，进而考察信号的特征。简化电路剖析与运算，总响应=单元响应之和。1．正交函数集随意信号f(t)可表示为n维正交函数之和：f(t)C1g1(t)C2g2(t)Crgr(t)Cngn(t)nCrgr(t)r1原函数g1t,g2t20,mntgrt互相正交：gm(t)gn(t)dtt1Km,mngrt称为齐备正交函数集的基底。一个信号可用齐备的正交函数集表示,.正弦函数集有很多方便之处,如易实现等，我们主要议论怎样用正弦函数集表示信号。2．能量信号和功率和信号（§6.6一）设it为流过电阻R的电流，刹时功率为P(t)i2(t)R一般说来，能量老是与某一物理量的平方成正比。令R=1Ω，则在整时间域内，实信号ft的能量，均匀功率为：T01T0Wlim2T0f2(t)dtPlim2T0f2(t)dtT02T0T02议论上述两个式子，只可能出现两种状况：WP

(有限值)(有限值)

0W知足式的称为能量信号，知足式称功率信号。3．帕斯瓦尔定理设gr(t)为齐备的正交函数集，即t2t2t2f2tdtCr2gr2tdtCrgr(t)2dttr1t1r1t11信号的能量基底信号的能量各重量此式称为帕斯瓦尔定理P331式（6-81）(P93,P350)左侧是信号能量，右侧是各正交函数的能量。物理意义：一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在齐备正交函数集中各重量能量（功率）之和。二、周期信号的频谱剖析——傅里叶级数周期信号傅里叶级数有两种形式三角形式：f(t)a0ancosn1tbnsinn1tn1=c0cncos(n1tn)n1指数形式：f(t)F(n1)ejn1tn周期信号的频谱是失散谱，三个性质收敛性n,F(n1)谐波性：(失散性)谱线只出此刻n1处，独一性：f(t)的谱线独一两种频谱图的关系三角形式：cn~，n~单边频谱指数形式：F(n1)~,n~双边频谱二者幅度关系F(n1)=1cnn0F0c0a02指数形式的幅度谱为偶函数F(n1)F(n1)指数形式的相位谱为奇函数(n1)(n1)引入负频次对于双边频谱，负频次(n1)，只有数学意义，而无物理意义。为何引入负频率?f(t)是实函数，分解成虚指数，一定有共轭对ejn1t与ejn1t，才能保证(t)实函数性质不变。对特别信号不必定知足上述三个性质比如：冲激序列T(t)(tnT)(n为整数）的付里叶级数nTtFn111TT0TtO剖析：狄氏条件是傅里叶级数存在的充分条件。依据冲激信号的定义和特征，其积分有确立值，傅里叶级数存在。即1F(n1)T

T21tejn1tdtTT2f(t)T(t)1ejn1tnT(t)的频谱，有失散性，谐波性，无收敛性，频带无穷宽周期信号的功率1．描绘周期信号的均匀功率=各正交重量的均匀功率之和(帕斯瓦尔定理)f(t)a0ancosn1tbnsinn1tn1均匀功率:1T2(t)dtPfT0211a02cn2a02cn2n1n12cn是三角形式傅里叶级数的余弦形式中振幅值。∴总均匀功率=各次谐波的均匀功率之和对于指数形式的傅里叶级数1P=T

T2(t)dtFn122F0a0fFn,0nn三、典型周期信号的傅立叶级数本节以周期矩形脉冲信号为例，议论其频谱的特色。频谱构造已知矩形脉冲信号的脉宽为脉宽为,脉冲高度为E,周期为T1。f(t)T1/2/2T1t三角形式的谱系数ft是个偶函数bn0,只有a0,an。指数形式的谱系数1T1EF(n1)=T12f(t)ejn1tdtSan1频谱特色T12T12包络线按抽样形状变化Sax122303xsinx：当xsinx1抽样函数Sa(x)0时，xx频谱是失散的Fn1~是n1的函数，只在1的整数倍有值（谐波性）其最大值在n0处，为E。T1幅度2T1谱线间隔1T1当T1，时，E为无穷小，ft由周期信号非周期信号。1，T1矩形脉冲的频谱说了然周期信号频谱的特色：失散性，谐波性，收敛性对照波形：T11sT21sT31s42F(n1)E5201F(n1)E10201F(n1)E20201频带宽度周期矩形脉冲信号的频谱每当n1m（m取整数）时，经过零点。此中第2n1，即n12，今后谐波的振幅相对减小。能量主要集中在一个零点在2第一个零点之内。信号一般主要集中在低频段。定义：在知足必定失真条件下，信号能够用某段频次范围的信号来表示，此频次范围称为频带宽度。一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：B2或Bf1，带宽与脉宽成反比。对于一般周期信号，将幅度降落为1Fn1max的频次区间定义为频带宽度。10系统的通频带>信号的带宽，才能不失真四．非周期信号的频谱剖析─傅里叶变换傅里叶变换当T1时，f()：非周期信号t周期信号F(n1)1T12f(t)ejn1tdt谱系数：(1)T1T12T1Fn1Fn1Fn1单位频带上的频谱值1T1flimT1Fn1T1T1jn1t当T1时，lim2f(t)edtT1T12f(t)ejtdt称为频谱密度函数，简称频谱函数。由f(t)求F()称为傅立叶变换。F()一般为复信号，故可表示为F()|F()|ej()|F()|~：幅度频谱()~：相位频谱反变换ft应是F的反变换。f(t)1Fejtd2傅立叶变换对F()f(t)ejtdtFf(t)f(t)1FejtdF1f(t)2称为付里叶变换对，简写ftF，此中f(t)称为原函数，F()称为象函数。傅立叶变换的特别形式FFejRjX实部虚部f(t)fetfot实信号偶重量奇重量Ff(t)ejtdtfe(t)fo(t)costjsintdt20fe(t)costdtj2fo(t)sintdt0实部虚部R20fe(t)costdt对于的偶函数X20fo(t)sintdt对于的奇函数FR2X2对于的偶函数tg1X对于的奇函数Rft偶函数（奇重量为零）Fft奇函数（偶重量为零）F

为实函数，只有R，相位为虚函数，只有X，相位2奇偶虚实性傅里叶变换的物理意义(t)为实函数f(t)1FejtdFdejt221Fej()ejtd21Fcostdj1Fsintd221Fcostd21Fcostd0Fdcost0乞降振幅正弦量由上式可得出，非周期信号可分解为：无量多个幅度为无量小(1Fd)的连续指数信号之和，据有整个频域，2:

；无量多个振幅为无量小

(

1

F

d

)的连续余弦信号之和，频域范围：0

。傅里叶变换存在的条件ftdt有限值充分条件即f(t)绝对可积，F存在。全部能量信号均知足此条件。当引入函数的观点后，同意作变换的函数种类大大扩展了。五．典型非周期信号的频谱矩形脉冲ftEFESa2202t幅度频谱：FESa2FE2024频宽：B2或Bf1相位频谱：2024单边指数信号ftFEetutejtdtEEj0tEF0202直流信号Ef(t)Etft不知足绝对可积的条件，不可以直接用定义求F；利用矩形脉冲的频谱求极限。E2ftEF0t2EO时域无穷宽，频带无穷窄。当ft1时，F12符号函数f(t)sgnt1,t0这个信号不知足绝对可积条件。办理方法：1,t0做成一个双边函数f1tsgntet，求F1，，求极限获得F.sgnt2j22je2jF()22002冲激函数F(

)

te

jtdt

1

(t)

1t看作

1的矩形脉冲，

0时,B

。冲激函数积分是有限值，能够用公式求。而u(t)不知足绝对可积条件，不可以用定义求。ftF11t001()对称性2Fft1210t0冲激偶的付里叶变换∵fttdtf0∴ttejtdtejtt0jj单位阶跃函数u(t)u(t)

1jF000六.傅立叶变换的性质傅立叶变换拥有独一性。付氏变换的性质揭露了信号的时域特征和频域特征之间确实定的内在联系。议论付里叶变换的性质，目的在于：认识特征的内在联系；用性质求F；认识在通信系统率域中的适用。对称性线性奇偶虚实性微分性质尺度变换特征时移特征频移特征时域积分性质4.微分性质时域微分f(t)F()，则f(t)jF()假如ft中有确立的直流重量，应先拿出独自求付氏变换，余下部分再用微分性质。频域微分若f(t)F()，则tf(t)jdFd或jtf(t)dFd5.尺度变换特征若f(t)，则1F，a为非零常数。aa信号的连续时间与信号据有频带成反比，有时为加快信号的传达，要将信号连续时间压缩，则要以睁开频带为代价。6.时移特征若f(t)F()，则f(tt0)F()ejt0;若F()F()ej()F()ej()jt0，则f(tt0)幅度频谱无变化，只影响相位频谱，7.当f(t)时移和尺度变换都有时若f(t)F()，1b则fatbjFea,a0aa8.频移特征通信中调制与解调，频分复用若f(t)F()f(t)e则f(t)e

0t0t

FF

0为常数，注意号009.时域积分性质若ftF，则F0tfF0时，djF0tfF0时，dF0j七．卷积定理1．时域卷积定理若f1tF1,f2tF2则f1tf2tF1F2意义：时域卷积对应频域频谱密度函数乘积2．频域卷积定理若f1tF1,f2tF2则f1tf2t1F1F22意义：时间函数的乘积各频谱函数卷积的1倍。23．作用卷积定理：揭露了时间域与频次域的运算关系，在通信理论中有重要作用4．应用：用时间卷积定理求频谱密度函数t求fd的傅立叶变换。求系统的响应ftgthtgtftht5．调制原理与频分复用调制：将信号的频谱函数搬移就任何所需的较高频段上的过程。图1为幅度调制(AM)。f(t)fC(t)f(t)cosCt乘法器cosCtAFC()A22COCmCCm解调将已调信号恢复成本来的调制信号的过程。图4所示为同步解调fC(t)cosCtf(t)fC(t)理想低通乘法器滤波器cosCtH()2O

mG()AA24202CmmCGa1F1F2aF2a24频分复用所谓频分复用，就是以频段切割的方法在一个信道内实现多路通信的传输体系。发信端：调制，将各信号搬移到不一样的频次范围。收信端：带通滤波器，分开各路信号，解调。再利用一个低通滤波器（带宽m2am,），滤除再2a邻近的重量，即可拿出ft，达成解调。八．周期信号的傅立叶变换周期信号：ft傅里叶级数Fn1失散谱非周期信号ft傅里叶变换Fn连续谱cos0t00正弦信号：sin0tj0j0fTtFn1ejn1tn一般周期信号：FTFn1Fejn1t2Fn1n1可见：fTt的频谱由冲激序列构成;地点:n1谐波频次强度:2Fn1,与F(n1)成正比,失散谱2谱线的幅度不是有限值,由于F表示的是频谱密度.周期信号的F只存在于n1处,频次范围无穷小,幅度为.由F求Fn1：Ttejtdt1F02f0Fn1F0TT1n12单位冲激序列的Tt111112T1T1oT12T1tTttnTFn1ejn11tejn1tnnT12nnF111T1nnFn1F1T111111211o21211o2111Tt的频谱密度函数还是冲激序列,强度和间隔都是1周期矩形脉冲序列的傅氏变换tET1oT1t22F()E1n1n1Sa2九.抽样信号的傅立叶变换f(t)fs(t)A/Dfk(t)gk(t)g(t)数字滤D/A量化编码波器p(t)理想抽样（周期单位冲激抽样）连续信号抽样信号ftfStt抽样脉冲p(t)T(t)(tnTs)s(ns)fs(t)f(t)T(t)f(nTs)(tnTs)频域:FsFftTt1FT1Fns2TSn若接一个理想低通滤波器，其增益为Ts截止频次mcsm滤除高频成份，即可重现原信号。抽样定理fsmin2fm是最小抽样率,称为奈奎斯特抽样率Tsmax1是最大抽样间隔,称为奈奎斯特抽样间隔2fm一个频次受限的信号ft,假如频谱只据有m0~m的范围,则信号ft可用等间隔的抽样值来独一地表示。其抽样间隔一定不大于1，即Ts1（此中m2fm），或许说最低抽样2fm2fm频次为2fm。抽样定理的应用---时分复用用于时分复用，在同一时间里传递不一样信号。十．系统函数H(j)R()响应信号的傅氏变换H()E()激励信号的傅氏变换物理意义表征系统固有的性质或特征ht为冲激响应，取决于系统自己的构造，描绘了系统的固有性质。H也只是决定于系统构造，H是表征系统特征的重要参数。系统冲激响应的傅立叶变换当

e(t)

(t)时，

r(t)

h(t)，此时

(t)

1，R(

)

E(

)H(

)

H(

)，即

h(t)

H(

),或h(t)

H(j

)

。系统的频次响应特征H()H()ej()H()~：系统的幅频特征()~：相频特征系统的功能系统能够看作是一个信号处埋器：当激励信号的频谱密度函数为E时,则响应的频谱密度函数即是HE。系统改变了激励信号频谱。E()E()eje()H()H()ejh()R()E()H()r()e()h()系统能够看作是一个信号处埋器：H是一个加权函数，，对信号各频次重量进行加权。信号的幅度由H()加权，信号的相位