2022-2023学年高三数学新高考一轮复习专题4.4导数与函数的最值含解析

Page14.4导数与函数的最值课标要求考情分析核心素养借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值;体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.新高考3年考题题号考点数学运算逻辑推理直观想象2022(Ⅰ)卷822导数求最值、已知最值求参2021(Ⅰ)卷15利用导数求函数最值1.函数的最值(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条⑵由区间[a，b①若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)（3）若函数f(x)在[a，b]上先增后减，极大值为最大值，f(a)与f(b)中较小值即为最小值；或先减后增，极小值为最小值，f(a)与（4）若函数f(x)在[a，b]上增减增，极大值与f(b)中较大值即为最大值，极小值与f(a)中较小值即为最小值；若函数f(x)在[a，b]上减增减，极大值与f(a)1．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．2．函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的整体情况，是函数在整个区间上的函数值的比较．1．【P93例6】函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值是2．【P104T8】若函数f(x)=x3-x2+a在[-1,1]上的最小值是1，则实数A.1 B.3 C.3127 D.考点一利用导数求函数的最值【方法储备】利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个为最大值，较小的一个为最小值.(4)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．【典例精讲】例1.(2022·江西省赣州市模拟)已知函数f(x)=2x+1-4lnx.(1)求f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;(2)求f(x)在[1,3]上的最大值与最小值．

例2.(2021·山东省烟台市期中)已知函数f(x)=lnx-a(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a>0时，求f(x)在区间[1,2]上的最大值．【名师点睛】函数f(x)求区间[a,b]上的最值，要明确函数在该区间上的单调变化情况，若极值点含有参数，或者区间端点含参数，要讨论极值点与区间的位置关系.如例2中，极值点含参数，讨论的思路与“二次函数闭区间上求最值”的思路一致【靶向训练】练1-1(2022·江苏省南京市月考)函数f(x)=-2x-|lnx|+2的最大值为

．练1-2(2022·山东省东营市月考)设a>0，函数f(x)=aln xx．

(1)判断函数f(x)的单调性；

(2)求函数f(x)考点二根据函数的最值求参数的值(范围)【方法储备】1.含参数函数的单调性和最值(极值)的探究,解答时常用到分类讨论与数形结合的思想，主要题型有以下几种：⑴已知函数在定区间的最值(极值)，极值点不确定，讨论极值点和区间的位置关系.⑵已知函数在动区间上的值域或者最值，极值点确定，讨论极值点与区间的位置关系．2.不等式恒成立(有解)问题，往往是构造函数，转化成利用导数求最值解决.【典例精讲】例3.(2022·湖北省武汉市期末)已知函数f(x)=alnx+1x-1(a∈R)，若f(x)的最小值为0，则a的值为A.1 B.-1 C.0 D.-2例4.(2022·北京市市辖区模拟)∀x>0满足ex-1>ax，则实数a的取值范围为(

)A.a<1 B.0<a<1 C.0<a≤1 D.a≤1【名师点睛】已知函数的最值求变量的取值范围，其实质仍是求函数的最值，即用变量表示函数的最值，结合条件构建变量的方程即可.恒成立问题，可分离参数构造不含参数的函数求最值，或者构造含参函数，分类讨论求最值.【靶向训练】练2-1(2022·江西省吉安市月考)已知函数f(x)=x2+1,(x≥0)-x3+3x+a,(x<0)的值域为[1,+∞)A.[1,+∞) B.(1,+∞) C.(3,+∞) D.[3,+∞)练2-2(2022·安徽省蚌埠市月考)已知函数f(x)=12a(1)讨论f(x)的单调性;(2)若函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为-3，求a的值．考点三利用导数解决实际应用问题【方法储备】利用导数解决应用问题的思路是：建模、解模、验模，解题步骤为：1.分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出问题中变量之间的函数关系式y=f(x);2.求函数的导数f'(x)，解方程f'3.比较函数在区间端点和f'4.回归实际问题作答.【典例精讲】例5.(2022·江西省南昌市月考)如图，某款酒杯容器部分的形状为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是163cm2的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为(

)A.33πcmC.93πc【名师点睛】解决实际问题应注意：1.由实际问题抽象出函数模型，利用导数求函数最优解，注意变量的实际意义；2.用导数求解实际问题中的最大（小）值，如果函数在区间内只有一个极值点，根据实际意义，该极值点就是最值点.【靶向训练】练3-1(2022·广东省佛山市月考)要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20，要使其体积最大，则其高为(

)A.2033 B.100 C.20练3-2(2022·江苏省南京市月考.多选)如图，在四面体ABCD中，点B1,C1,D1,分别在棱AB,AC,AD上，且平面B1C1D1∥平面BCD，A1为∆BCDA.当x=23时，函数f(x)取到最大值

B.函数f(x)在23,1上是减函数

C.函数f(x)的图象关于直线x=12对称

D.不存在x0，使得f核心素养系列逻辑推理——利用导数解决函数中的极值与最值综合问题高考对导数的考查，是应用导数来解决函数问题,以导数为工具探究函数的性质,围绕函数的单调性、极值、最值展开,借此研究不等式恒成立或证明不等式等问题,着重考查分类讨论、数形结合、化归与转化等数学思想方法.【方法储备】利用导数解决函数中的极值与最值问题，常见的解题方向有：1.利用导数求函数的极值与最值⑴在函数定义域的基础上，求出函数的单调区间，若函数带有参数，需要分类讨论；⑵对照单调区间的分界点，明确极值点，进而求出极值；⑶根据函数在给定区间上的单调性，若极值点含参数或区间端点含参数，讨论极值点与区间的位置关系判断单调性，再比较极值与端点处函数值，也可结合函数图象，求出函数最值.2.已知函数极值点与最值求其它量的取值范围⑴已知函数极值点或极值点个数，转化为导函数的零点，借助零点问题的解题思路求值或取值范围；⑵已知函数最值，与求函数最值的解题思路一致，通过给定区间上单调性的判断，明确函数取最值的点，表示出最值.3.与其他知识点综合考查在其它知识点下，如立体几何、解三角形问题中涉及求最值问题，构建函数关系，利用导数求出最值，要注意自变量的取值范围.【典例精讲】例6.(2022·河南省平顶山市月考)已知函数fx(1)当m=-1时，求fx(2)当m=2时，记函数g(x)=f(x)-ax(a⩾5)的两个极值点为x1，x2，且例7.(2022·江西省南昌市期中)己知函数f(x)=ln(1)若a=1，求f(x)在P(1,f(1))处的切线方程；(2)当0<x≤e2时，g(x)=f(x)-ax2例8.(2021·山西省忻州市月考)一个等腰三角形的周长为10，四个这样相同等腰三角形底边围成正方形，如图，若这四个三角形都绕底边旋转，四个顶点能重合在一起，构成一个四棱锥，则围成的四棱锥的体积的最大值为(

)A.500281 B.500227【名师点睛】1.处理解答题时，要求步骤规范，含参数时，讨论参数的范围，要分界明确，不重不漏．2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，研究其单调性，求出极值，也可画出函数的大致图象，借助图象观察得到函数的最值．【靶向训练】练5-1(2021·江苏省南京市月考)已知函数f(x)=1(1)当a=2时，求过坐标原点且与函数y=fx(2)当a∈0,2时，求函数fx在

练5-2(2021·江苏省南通市月考)如图，将矩形纸片ABCD的右下角折起，使得点B落在CD边上点B1处，得到折痕MN，已知AB=5cm，BC=4cm，则当tan∠BMN=

时，折痕MN最短，其长度的最小值为

cm．

易错点1混淆极值与最值的概念致错例9.(2021·江苏省盐城市月考)函数f(x)=8+12x-x3在区间[-3, 3]上的最大值与最小值之和是

．答案解析【教材改编】1．【解析】因为f'(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2)，

由f'(x)>0得，2<x⩽3，由f'(x)<0得，0≤x<2，

则函数f(x)在0,2上单调递减，在2,3上单调递增，

所以f(x)在x=2处取得极小值f(2)=-15，

又f(0)=5，f(3)=-4，

所以f(x)在[0,3]上的最小值为-15，最大值为5，2．【解析】令f'(x)=3x2-2x=x(3x-2)=0，解得x=0，或x=23

当x∈(0,23)时，f'(x)<0，x∈(23,1)⋃(-1,0)时，f'(x)>0，

又f(2【考点探究】例1.【解析】(1)因为f(x)=2x+1-4lnx，x∈0,+∞，以f'(x)=2-4x，

所以f(1)=3，f'(1)=-2，

所以f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-3=-2(x-1)，即2x+y-5=0．

(2)由(1)知f'(x)=2-4x=2(x-2)x，x∈[1,3]．

令f'(x)>0，则2<x≤3;令f'(x)<0，则1≤x<2，

所以f(x)在[1,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增，

所以f(x)min=f(2)=5-4ln2．

又f(1)=3，例2.【解析】定义域为(0,+∞)，f'(x)=1x-2ax=1-2ax2x，

(1)①当a≤0时，f'(x)>0，

∴f(x)在(0,+∞)x(0,1(f'(x)+0-f(x)递增极大值递减∴f(x)在(0,12a)上单调递增，在(12a,+∞)上单调递减，

综上，a≤0时f(x)在(0,+∞)上单调递增;

a>0时f(x)在(0,12a)上单调递增，在(12a,+∞)上单调递减．

(2)当a>0时，由(1)知

①当12a≤1，即a≥12时，f(x)在[1,2]上单调递减，f(x)max=f(1)=-a;

②当1<12a<2，即18<a<1练1-1.【解析】由题知当x≥1时，f(x)=-2x-ln∴f'(x)=-2-∴f(x)在[1,+∞)为减函数，∴f(x)当0<x<1时，f(x)=-2x+ln∴f'(x)=-2+1∴当x∈(0,12)时，f'(x)>0，函数f(x)递增，当x∈(12∴f(x)综上可知，f(x)故答案为：1-ln练1-2.【解析】(1)函数的定义域是(0,+∞)，

又f'(x)=a·1-ln xx2，

因为a>0，由f'(x)=a·1-ln xx2>0，得0<x<e；

由f'(x)=a·1-ln xx2<0，得x>e，

故函数的增区间是(0,e)，减区间是(e,+∞)．

(2)当0<a≤e2时，函数f(x)在区间[a,2a]单调递增，

所以f(x)max=f(2a)=aln2a例3.【解析】f(x)=alnx+1x-1的定义域为(0,+∞)，

∵f'(x)=ax-1x2=ax-1x2，

当a≤0时，f'(x)<0恒成立，∴f(x)在(0,+∞)上单调递减，无最值；

当a>0时，x∈(0,1a)时，f'(x)<0，x∈(1a例4.【解析】令f(x)=ex-ax-1，则f'(x)=ex-a．

当a≤1时，f'(x)≥0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，

故f(x)>f(0)=0，满足题意；

当a>1时，由f'(x)=ex-a=0，得x=lna，

当0<x<lna时，f'(x)<0，函数f(x)在(0,lna)上单调递减，

故f(x)<f(0)=0，不符合题意．

综上所述：a≤1练2-1.【解析】∵函数f(x)=x2+1,(x≥0)-x3+3x+a,(x<0)值域为[1,+∞)，

∵f(x)=x2+1,(x≥0)时的值域为[1,+∞),

∴当x<0时，f(x)=-x3+3x+a≥1，即a≥x3-3x+1在-∞,0上恒成立．

令g(x)=x3-3x+1，(x<0)则g'(x)=3x2-3，练2-2.【解析】(1)f'(x)=ax-(a+2)+2x=ax2-(a+2)x+2x=a(x-1)(x-2a)x，∴f(x)在(0,1)上单调增，在(1,2a)上单调减，在(2a,+∞)上单调增，

②当2a=1即a=2时，f'(x)=(x-2)2x≥0，∴f(x)在(0,2a)上单调增，在(2a,1)上单调减，在(1,+∞)上单调增，

综上所述：当0<a<2时，f(x)在(0,1)上单调增，在(1,2a)上单调减，在(2a,+∞)上单调增，

当a=2时，f(x)在(0,+∞)上单调增，

当a>2时，f(x)在(0,2a)上单调增，在(2a,1)上单调减，在(1,+∞)上单调增；

2由1可得，当2a≤1，即a≥2时，f'(x)≥0，

∴f(x)在[1,2]上单调递增，此时f(x)min=f(1)=-12a-2=-3，∴a=2；

当2a≥2，即0<a≤1时，f'(x)≤0，

∴f(x)在[1,2]上单调递减，此时f(x)min=f(2)=-4+2ln2≠-3，∴a无解；

当1<例5.【解析】设圆锥底面圆的半径为Rcm，圆柱形冰块的底面圆半径为xcm，高为hcm，由题意可得，

34×(2R)2=163，解得R=4，

h≤tanπ3⋅(R-x)=3(4-x)(0<x<4)，

设圆柱形冰块的体积为Vcm3，则V≤3πx2⋅(4-x)(0<x<4)，

设f(x)=3πx2练3-1.【解析】设圆锥的高为x，则底面半径为202-x2，

其体积为V=13πx(202-x2)(0<x<20)，

V'=13π(400-3x2)，

令V'=0，解得x1=2033，练3-2.【解析】A.∵在四面体ABCD中，点B1，C1,D1分别在棱AB，AC，AD上，且平面B1C1D1//平面BCD，

∴由题意可知△B1C1D1∽△BCD，

∵C1D1CD=AD1AD=x,∴S△B1C1D1S△BCD=x2，

∵棱锥A1-B1C1D1与棱锥A-BCD的高之比为1-x，设VA-BCD=V0，

∴VA1-B1C1D1=f(x)=x2【素养提升】例6.【解答】(1)当m=-1时，函数f(x)=x2-lnx的定义域为(0,+∞)，f'(x)=2x-1x=2x2-1x，

令f'(x)=0，得x=22(负值已舍去)，

当x∈(0,22)时，f'(x)<0;

当x∈(22,+∞)时，f'(x)>0;

所以函数f(x)在(0,22)上单调递减，在(22,+∞)上单调递增．

所以f(x)的最小值为f(x)min=f(22)=1+ln22，无最大值；

(2)当m=2时，g(x)=x2+2lnx-ax(x>0)，g'(x)=2x-a+2x．

因为x1，x2是方程2x2-ax+2=0的两个不等正根，例7.【解析】(1)a=1时，f(x)=lnx+x2+1，

可得f'(x)=1x+2x，f'(1)=3，f(1)=2，

所以切线斜率为3，且过点(1,2)，切线方程为3x-y-1=0；

(2)g(x)=f(x)-ax2