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文档简介

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质DENG1.3.2“杨辉三角”与DENG一般地，对于nN*有二项定理:新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？一般地，对于nN*有二项定理:新课引入二项展开式中计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表n(a+b)n展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表n(a+b)(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)61）请看系数有没有明显的规律？2）上下两行有什么关系吗？

3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5《详解九章算法》中记载的表杨辉杨辉三角《详解九章算法》中记载的表杨辉杨辉三角

展开式的二项式系数依次是：

从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：

当时，其图象是右图中的7个孤立点．展开式的二项式系数依次是：从①对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．这一性质可直接由公式得到．图象的对称轴：①对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值.增减性的实质是比较的大小.二项式系数的性质(1)对称性:(2)增减性与最大值.增减性的实质是比较(3)增减性与最大值.增减性的实质是比较的大小.所以相对于的增减情况由决定．

可知，当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。

(3)增减性与最大值.增减性的实质是比较

因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数

取得最大值；

当n为奇数时，中间两项的二项式系数、相等，且同时取得最大值。因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数（3）各二项式系数的和

在二项式定理中，令，则：

这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：同时由于，上式还可以写成：这是组合总数公式．

（3）各二项式系数的和在二项式定理中，令，2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二项式系数相等，练习11、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是()A第２项B第３项C第４项D第５项则n=__________B82、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为

；在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为

.练习22.指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式系数最大，并求出其最大的二项式系数最大。解:第8、9项的二项式系数即6435最大。1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为例1：证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令，则：

赋值法证明：例1：证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于2.

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