2022-2023学年广东省惠州市重点中学高一下期中联考数学试卷含解析

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.()

A.B.C.D.

2.已知，，，为平面上四点，则“向量”是“直线”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.函数在上的最小值为()

A.B.C.D.

4.若向量，满足，，且与的夹角为，则()

A.B.C.D.

5.已知，则()

A.B.C.D.或

6.如图，点为射线与以原点为圆心的单位圆的交点，一动点在圆上以点为起始点，沿逆时针方向运动，每秒转一圈则该动点横坐标关于运动时间的函数的解析式是()

A.

B.

C.

D.

7.已知的外接圆圆心为，且，，则()

A.B.C.D.

8.智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成的声波来抵消噪声如图已知噪声的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的声波曲线是其中，，，则()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列命题正确的是()

A.空间中所有的单位向量都相等

B.若，则

C.若，满足，且，同向，则

D.对于任意向量，，必有

10.下列说法正确的是()

A.向量在向量上的投影向量可表示为

B.若，则与的夹角的范围是

C.若是等边三角形，则，的夹角为

D.若，则

11.古代典籍周易中的“八卦”思想在我国建筑中有一定影响如图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若是正八边形的中心，且，则()

A.B.

C.D.

12.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是()

A.函数的最小正周期为

B.函数的图像关于点对称

C.函数图象向右平移个单位可得函数的图象

D.若方程在上有两个不等实数根，，则

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为______．

14.已知，则______．

15.将函数的图象向右平移个单位得到一个奇函数的图像，则的最小值是______．

16.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理图假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个简都做匀速圆周运动如图，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋一周用时秒，当时，盛水筒位于点，经过秒后运动到点，点的纵坐标满足，则______；当筒车旋转秒时，盛水筒对应的点的纵坐标为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设，．

用，表示，；

如果，，且，求．

18.本小题分

已知，．

Ⅰ若，求；

Ⅱ若、的夹角为，求；

Ⅲ若与垂直，求当为何值时，？

19.本小题分

已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点．

求，的值；

求的值．

20.本小题分

函数的部分图象如图所示．

求函数的解析式；

先将函数的图象的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向左平移个单位，最后得到函数，求在区间上的值域．

21.本小题分

设两个向量，满足，．

若，求，的夹角；

若，的夹角为，向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．

22.本小题分

已知函数．

求的最小正周期和对称轴方程；

若方程在定义域上有两个不同的根，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．

故选：．

由及两角和与差的三角函数化简求解即可．

本题考查两角和与差的三角函数，是基础题．

2.【答案】

【解析】解：由直线，得，必要性成立；由，知直线和平行或重合，充分性不成立．

故选：．

根据向量共线与直线的平行或重合之间的关系，得解．

本题考查充分必要条件的判断，向量共线的含义，考查逻辑推理能力，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：当时，，

则当时，．

故选：．

根据正弦型三角函数在区间上的最值的求解方法得出答案．

本题主要考查三角函数的最值，属于基础题．

4.【答案】

【解析】解：因为，，与的夹角为，

所以，

则．

故选：．

根据结合数量积的运算律计算即可．

本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．

5.【答案】

【解析】解：，即，．

或，则或，

故选：．

由题意利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式，求得的值．

本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于中档题．

6.【答案】

【解析】解：因为动点的运动速度为，射线对应的角度为，

所以动点行程的射线对应的角度为，

所以．

故选：．

动点的运动速度为，射线对应的角度为，故动点行程的射线对应的角度为，得到答案．

本题考查了三角函数模型的应用问题，是基础题．

7.【答案】

【解析】解：由，得为的中点，

又为的外接圆圆心，，故BC为外接圆的直径，

则，又，为正三角形，可得，

．

故选：．

由已知可得为的中点，且，再由数量积公式得答案．

本题考查平面向量数量积的运算与性质，考查运算求解能力，是中档题．

8.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查由已知条件求三角函数，属于基础题．

根据题意可得通过主动降噪芯片生成的声波曲线是，从而可求的值．

【解答】

解：噪声的声波曲线是，可得通过主动降噪芯片生成的声波曲线是，

故．

故选：．

9.【答案】

【解析】解：对于，单位向量的大小相等，方向不一定相等，但相等向量的大小和方向都相等，故A错误；

对于，相等向量的方向相同，所以B正确；

对于，向量不能比较大小，故C错误；

对于，由向量加法的三角形法则知，D正确．

故选：．

由向量的相关概念逐一判断各选项即可．

本题考查向量的相关概念，属于基础题．

10.【答案】

【解析】解：对于选项A，根据投影向量的定义可得向量在向量上的投影向量为，故A正确；

对于选项B，因为，所以，

又，所以，故B正确；

对于选项C，若是等边三角形，则，的夹角为，故C错误；

对于选项D，因为，所以或或，故D错误．

故选：．

根据投影向量的定义即可判断；根据数量积的计算公式即可判断；根据向量夹角的定义即可判断，根据数量积的计算公式即可判断．

本题主要考查平面向量的数量积公式，属于基础题．

11.【答案】

【解析】解：连接，，由正八边形的性质可知，，，，

所以，又因为，

所以，是相反向量，所以，故A项错误；

又，所以所以，项正确；

由上过程可知，连结交于点，

在直角三角形中，为的中点，

则，

又，

所以，项错误；

又正八边形的每一个内角为：，

延长，，相交于点，则，

所以，故AB，

所以，项正确．

故选：．

连接，，由正八边形的性质可知，，，，可判断选项A；从而可得，可判断选项B；连结交于点，可判断选项C；先判断出，结合向量的加法和数量积的运算性质可判断选项D．

本题主要考查了相反向量的概念，考查了向量的加减运算以及数量积的性质和相关运算，属于中档题．

12.【答案】

【解析】解：由图可知，，所以，

于是A正确，所以，则，

将点代入得：，所以，，

又，所以，所以；

对于，因为，为最小值，

所以函数的图象关于直线对称，点不是对称中心，故B错误；

对于，将函数图象向右平移个单位，可得函数，故C正确；

对于，由条件结合图象可知，于是，

所以，故D正确．

故选：．

先根据图象确定解析式，然后对应的性质判断各个选项即可．

本题考查三角函数的性质，属于中档题．

13.【答案】

【解析】解：因为，且与的夹角为，所以在上的投影向量为：

．

故答案为：．

若为与的夹角，则在上的投影向量为，由此类比可得所求．

本题考查投影向量的概念，属于基础题．

14.【答案】

【解析】解：

，

，

则．

故答案为：．

利用辅助角公式化简，再利用倍角公式，计算即可．

本题考查三角函数的应用，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：将函数的图象向右平移个单位，

所得到的图象对应的解析式为，

函数为奇函数，所以，，

所以，，又，所以令，

得的最小值是．

故答案为：．

先求出解析式，再根据三角函数奇偶性，诱导公式可得的最小值．

本题考查三角函数的性质，属于基础题．

16.【答案】

【解析】解：由题意，得，，，当，，即，

所以或，，又，所以，所以，

所以．

故答案为：；．

筒车半径即为点到点距离，而后根据题意求出其他参数，再代入计算即可．

本题主要考查三角函数与圆的关系，属中档题．

17.【答案】解：因为，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，

所以，

．

由可知，，

所以，由，可得，

所以．

【解析】利用向量的加减法法则结合图形求解；

由，可得，从而可得，结合已知可得，从而可求出．

本题考查了平面向量基本定理，向量共线，向量模的求法等知识点，重在培养学生数学运算，逻辑推理，直观想象的数学素养，属中档题．

18.【答案】解：Ⅰ分

Ⅱ，

，

分

Ⅲ若与垂直

使得，只要分

即分

分

【解析】Ⅰ由于，则两向量共线，根据向量的数量积即得；

Ⅱ直接根据向量的数量积公式即可得到：从而，开方后即得答案；

Ⅲ利用两个向量垂直的数量积条件，由与垂直，得到，为使得，只要代入数据即可求得值．

本小题主要考查向量的模、数量积判断两个平面向量的垂直关系、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．

19.【答案】解：角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点，

则，

，；

．

【解析】根据已知条件，结合余弦、正切函数的二倍角公式，即可依次求解；

根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，即可求解．

本题主要考查三角函数的二倍角公式，以及诱导公式，属于基础题．

20.【答案】解：由图可知，，

函数的最小正周期为，

，

，

，

，

则，

，则，

故；

将函数的图象的横坐标缩小为原来的，可得到函数的图象，

再将得到的函数图象向左平移个单位，最后得到函数的图象，

则，

当时，，

则，

，

在区间上的值域为．

【解析】由图可得出的值，求出的最小正周期，可求得的值，由结合的取值范围可求得的值，可得出函数的解析式；

利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质可求得在上的值域．

本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于基础题．

21.【答案】解：，

则，

，，

，

，

，

；

，的夹角为，，，

则，

，

设，，

则，解得，

向量与的夹角为锐角，

且，解得且，

故实数的取值范围为．

【解析】根据已知条件，结合平面向量的数量积运算，即可求解；

根据已知条件，结合平面向量的数量积运算，以及向量共线的性质，即可求解．

本题主要考查平面向量的数量