【微专题】2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版） 分式的规律性问题（解析版）

分式的规律性问题1．若（不取0和），，，…，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先通过题目给的x2与x1，x3与x2，x4与x3，……等关系分别用含有a的代数式表示x2，x3，x4，……从而找到规律，进而得到结果．【详解】解：，，，由此可知，，2020÷3=673……1．∴．故选：A．【点睛】本题考查了分式的化简，通过分式的化简找到周期规律是解决本题的关键．2．观察下列等式，，，…根据其中的规律，猜想_______（用含的代数式表示）．【答案】【分析】根据题意分别用含x的式子表示出a1、a2、a3、a4，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答．【详解】解：∵，∴，，，……∴每3个数为一周期循环，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．3．观察下列各式：，根据其中的规律可得________（用含n的式子表示）．【答案】【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2-1，即第n项的分子是n2+（-1）n+1；依此即可求解．【详解】解：由分析得，故答案为：【点睛】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．4．一组按规律排列的式子：，，，，…（）,则第个式子是______（为正整数）.【答案】.【详解】试题分析：观察给出的一列数，发现这一列数的分母a的指数分别是1、2、3、4…，与这列数的项数相同，故第n个式子的分母是an；这一列数的分子b的指数分别是2、5、8、11，…即第一个数是3×1-1=2，第二个数是3×2-1=5，第三个数是3×3-1=8，第四个数是3×4-1=11，…每个数都比项数的3倍少1，故第n个式子的分子是b3n-1；特别要注意的是这列数字每一项的符号，它们的规律是奇数项为负，偶数项为正，故第n个式子的符号为（-1）n．试题解析：第n个式子是.考点：规律型：数字的变化类．5．观察下列等式：第1个等式：x1=；第2个等式：x2=；第3个等式：x3=；第4个等式：x4=；则xl+x2+x3+…+x10=_______________．【答案】【详解】因为x1=；x2=；x3=；x4=；…所以xl+x2+x3+…+x10=+++…+=（）==．故答案为：【点睛】考点：分式的计算．6．观察下列等式：第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：；根据以上规律，解决下列问题：（1）写出第个等式：______；（2）计算结果等于______．【答案】

【分析】（1）观察等式，分母为连续两个偶数的乘积，分子为2，等式的右边等于这两个连续偶数的倒数的差；（2）根据（1）的规律即可求解．【详解】（1）由题意得：，故答案为：；（2）观察下列等式：第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式：；第个等式为：，．故答案为：．【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．三、解答题7．观察下列各式：，，，．(1)请再写出一个符合上述各式规律的式子：___________；(2)依照以上各式呈现的规律，写出它们的一般形式，并给出证明．【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】（1）不难看出，两个分数的分子的和等于8，分母是相应的分子减去4，结果都等于2，从而可求解；（2）根据（1）的分析，写出一般形式，再对式子的左边进行运算，从而可求证．（1）解：由题意得：两个分数的分子的和等于8，分母是相应的分子减去4，结果都等于2，则符合规律的式子有：，故答案为：（答案不唯一）；（2）解：设第一个分数的分子为x，其一般形式为：，证明：左边==2=右边．故原式成立．【点睛】本题主要考查分式的规律性问题，解答的关键是由所给的等式分析清楚各数之间的关系．8．观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；．．．．．．根据上述规律解决下列问题：(1)写出第5个等式：；(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示，n是正整数），并证明．【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】（1）根据前个等式的规律写出第个等式；（2）根据前个等式的规律写出第个等式，只需证明等式左边等于右边即可．（1）解：；（2）解：猜想：证明如下：左边右边．【点睛】本题考查了等式中的找规律问题，解决本题的关键是找出第项与项数之间的关系．9．观察下列等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第4个等式：_________；(2)写出你猜想的第n个等式：_________，并给出证明．【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】（1）根据题意得：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，即可求解；（2）由（1）发现规律：第n个等式：，再根据分式的减法运算把左边化简，即可求解．(1)解：（1）根据题意得：第1个等式：，即，第2个等式：，即，第3个等式：，即，第4个等式：，即，故答案为：；(2)解：由（1）发现规律：第n个等式：，理由如下：左边=右边【点睛】本题主要考查了规律类题探究，分式加减运算，明确题意，准确得到规律是解题的关键．10．观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；……按上述规律，回答以下问题：(1)写出第6个等式：_______________________________________________；(2)写出你猜想的第个等式：_____________________________________（用含的等式表示），并证明．【答案】(1)(2)；证明见解析【分析】（1）依次观察每个等式，可以发现规律：，按照此规律即可求解；（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．(1)解：第6个等式：；故答案为：．(2)解：第个等式：；证明：右边左边，∴等式成立．故答案为：．【点睛】此题考查了数字的规律变化，解题的关键是通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题．11．观察下列各式：第1个等式：．第2个等式：．第3个等式：．……根据你发现的规律解答下列问题：(1)第4个等式为：______．(2)写出你猜想的第n个等式：______（用含n的等式表示），并证明．【答案】(1)(2)【分析】（1）观察前几个等式中数字的变化，即可写出第4个等式；（2）结合（1）即可写出第个等式，然后计算证明即可．(1)解：第4个等式为：，故答案为：．(2)解：．证明：右边左边，所以等式成立，故答案为：．【点睛】本题考查了分式的规律探究，有理数的加减运算，解决本题的关键在于推导一般性规律．12．观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：______________________；(2)写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示），并证明.【答案】(1)；(2)，证明见解析；【分析】（1）根据前4个等式得出第五个等式即可；（2）通过观察减号后面的数字规律，再结合每个式子找到分母之间的关系，最后通过化简即可证明．（1）解：通过观察可得：；（2）．证明：左边===右边，∴．【点睛】本题主要考查数字类变化规律，仔细观察每个式子中对应位置的数字，并找到相关系数关系是解题的关键．13．观察下列等式：1﹣＝1×，2﹣＝2×，3﹣＝3×，…（1）试写出第5个等式；（2）写出第n个等式，并证明其正确性．【答案】（1）；（2）n﹣＝，证明见解析．【分析】（1）根据已知的等式即可写出第5个等式；（2）根据已知的等式即可写出第n个等式，再根据分式的运算法则即可验证．【详解】解：（1）∵1﹣＝1×，2﹣＝2×，3﹣＝3×，…，∴第5个等式是：；（2）1﹣＝1×，2﹣＝2×，3﹣＝3×，…，∴第n个等式是n﹣＝，证明：左边＝＝＝＝＝右边，即n﹣＝成立．【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是根据已知的式子写出第n个等式．14．观察下列等式：，①，②，③，④，⑤……（1）请按上述规律写出第2021个算式，然后把一共2021个算式两边分别相加并计算出等式右边；（2）根据第（1）小题计算，总结规律并填空：________；（3）根据发现的规律，在小于60的正整数中，求出8个数，使得它们的倒数和等于1【答案】（1），；（2）；（3）2，6，12，20，30，42，56，8【分析】（1）规律为分母为两个自然数的乘积，分子是分母乘式中乘数与被乘数的差，其结果为连续的两个自然数的倒数的差，根据规律写出算式即可；（2）根据（1）中的结论计算即可；（3）根据题意设计倒数和为1的8个数即可．【详解】解：（1）．（2）．（3）∵∴∴∴这8个数为2，6，12，20，30，42，56，8．【点睛】本题考查了规律探索问题，有理数的加减混合运算，分式的计算，找到规律是解题的关键．15．观察下列方程，回答问题①的解为x=0②的解为x=1③的解为x=2④的解为x=3（1）请直接写出第⑤个方程及它的解；（2）请你写出第n（n为正整数）个方程，并求出它的解．（写出解答过程）【答案】（1），x=4；（2）；x=n-1【分析】（1）根据题意，找到规律即可；（2）根据（1）的规律写出第n（n为正整数）个方程，并解方程即可．【详解】（1）观察前4个方程及方程的解，规律为：方程左边的分式是分母不变，分子分别为1,2,3,4故第5个方程左边分式的分子为5分母不变；方程的右边分母不变，分子为左边的2倍，故第5个方程的右边分式的分子为10；所以方程为：方程的解为：x=4；（2）根据（1）中的结论得到第n（n为正整数）个方程为:即：去分母得：化系数为1得：x=n-1当时，是原方程的解．【点睛】本题考查了找规律问题，分式方程的解法，根据题意找到规律是解题的关键．16．观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…根据你观察到的规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式；（2）写出第n个等式，并证明；（3）计算：．【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）．【分析】（1）根据已知4个等式的数字规律解题；（2）列式计算，找到等式的规律，写出第n个等式，再结合平方差公式即可解题；（3）根据（2）的结论即可计算解题．【详解】解：（1）根据已知等式可知：第1个等式，即，第2个等式，即，第3个等式，即，第4个等式，即第5个等式：，即；（2）根据已知等式可知：第1个等式，即，第2个等式，即，第3个等式，即，第4个等式，即第5个等式：，即；……第n个等式：；证明：左边＝＝右边,故等式成立；（3）．【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．17．请先阅读下列内容，然后解答问题：因为：，，，…，所以：++…+＝+++…+＝＝（1）猜想并写出：＝；（为正整数）（2）直接写出下面式子计算结果：++…+＝；（3）探究并计算：++…+【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据给出的具体例子，归纳式子特征为：分子为1，分母是两个连续自然数的乘积，等于这两个连续自然数的倒数差，因此猜想第n项可转化为；（2）按照（1）得出的规律，进行计算即可；（3）观察式子的每一项，归纳出：分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，第n项可转化为，依次抵消即可求解【详解】解：（1），故答案为：（2）++…+===，故答案为：（3）原式＝++…+＝…+＝＝＝【点睛】考查了与分式混合运算有关的规律性问题，解决这类题目要找出变化规律，消去中间项，只剩首末两项，使运算变得简单18．探究规律：(1)填空：①_________②_________③_________(2)根据（1）中的填空猜想_________（为整数），并说明理由；(3)受上述规律的启发，计算：【答案】(1)

(2)，理由见解析(3)【分析】（1）用分式减法法则计算即可；（2）根据（1）进行猜想即可得到答案，然后用分式减法法则计算即可说明理由；（3）运用（2）得到的规律解答即可．（1）解：①②③．（2）解：，理由如下：．（3）解：．【点睛】本题主要考查了分式的减法运算、归纳规律以及运用规律，根据分式的加减过程、归纳出规律是解答本题的关键．19．观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：…按照以上规律，解决下列问题：(1)请写出第5个等式________；(2)请写出第个等式，并证明．【答案】(1)(2)第个等式为，证明见解析【分析】（1）根据提供的算式写出第5个算式即可；（2）根据规律写出代数式然后证明即可．（1）解：根据已知规律，第5个等式为，故答案为：；（2）解：根据题意，第个等式为，证明：右边=左边，∴等式成立．【点睛】本题考查规律探索问题，从特殊的、简单的问题推理到普通的、复杂的问题，从中归纳问题的规律，体现了逻辑推理与数学运算的核心素养．20．观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……；按照以上规律，解答下列问题：(1)写出第5个等式：；(2)写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．【答案】(1)(2)，证明过程见详解【分析】（1）根据题目中前4个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第5个等式；（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．(1)第五个等式为：，故答案为：；(2)根据（1）所得到的规律，猜想：；证明：，即：右边=左边，故猜想成立，故答案为：【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性．21．观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：___________；(2)写出你猜想的第n个等式_________（用含n的等式表示），并证明．【答案】(1)(2)，见解析【分析】（1）根据题目中的等式，可以写出第6个等式；（2）根据题目中的等式，可以写出第n个等式，然后根据分式的乘除法，以及平方差公式因式分解，可以将等号左边的式子化简，从而可以证明结论成立．【详解】（1）解：由题意可得，第6个等式：，故答案为：；（2）解：猜想：第n个等式是：，证明：，∴成立．【点睛】本题考查数字的变化类规律探究，分式乘除法，掌握发现数字的变化特点，写出相应的式子．分式乘除法法则，平方差公式，规律探究的方法是解题关键．22．观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第7个等式：；(2)写出你猜想的第n