【微专题】2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版）角的多个等分线求角（解析版）

角的多个等分线求角类型一角的多个等分线求角1．已知，在中，∠A=60°，（1）如图①，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC=；（2）如图②，∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点O1，O2，则；（3）如图③，∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O1，O2，……，（内部有个点），则；（4）如图③，∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O1，O2，……，，若，求n的值．【答案】（1）120°；（2）100°；（3）；（4）n=4【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC＋∠ABC，然后根据角平分线的定义即可求出∠OBC＋∠OCB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（2）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC＋∠ABC，然后根据三等分线的定义即可求出∠O2BC＋∠O2CB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（3）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC＋∠ABC，然后根据n等分线的定义即可求出∠On－1BC＋∠On－1CB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（4）根据（3）的结论列出方程即可求出结论．【详解】解：（1）∵在中，∠A=60°，∴∠ABC＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB∴∠OBC＋∠OCB=∠ABC＋∠ACB=（∠ABC＋∠ACB）=60°∴∠BOC=180°－（∠OBC＋∠OCB）=120°故答案为：120°．（2）∵在中，∠A=60°，∴∠ABC＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点O1，O2，∴∠O2BC=∠ABC，∠O2CB=∠ACB∴∠O2BC＋∠O2CB=∠ABC＋∠ACB=（∠ABC＋∠ACB）=80°∴180°－（∠O2BC＋∠O2CB）=100°故答案为：100°．（3）∵在中，∠A=60°，∴∠ABC＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O1，O2，……，∴∠On－1BC=∠ABC，∠On－1CB=∠ACB∴∠On－1BC＋∠On－1CB=∠ABC＋∠ACB=（∠ABC＋∠ACB）=°∴180°－（∠O2BC＋∠O2CB）=故答案为：（4）由（3）知：∴解得：n=4经检验：n=4是原方程的解．【点睛】本题考查了n等分线的定义和三角形的内角和定理，掌握n等分线的定义和三角形的内角和定理是解决此题的关键．2．如图，∠A＝120°，且∠1＝∠2＝∠3和∠4＝∠5＝∠6，则∠BDC＝（）A．120° B．60° C．140° D．无法确定【答案】C【解析】【分析】根据三角形内角和定理，即可得到∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，再根据∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，即可得到∠DBC+∠DCB的度数，最后利用三角形内角和定理可得∠BDC的度数．【详解】解：在△ABC中，∵∠A＝120°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，又∵∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，∴∠DBC+∠DCB＝×60°＝40°，∴∠BDC＝180°﹣40°＝140°．故选C．【点睛】此题考查三角形的内角和，解题时注意：三角形内角和是180°．3．如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据题意可得∠ABC+∠ACB=160°，BD1，CD1，CD2，BD2…BDn，CDn是角平分线，可得∠ABDn+∠ACDn=160×（）n，可求∠BCDn+∠CBDn的值，再根据三角形内角和定理可求结果．【详解】解：∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=160°，∵BD1平分∠ABC，CD1平分∠ACB，∴∠ABD1=∠ABC，∠ACD1=∠ACD，∵BD2平分∠ABD1，CD2平分∠ACD1，∴∠ABD2=∠ABD1=∠ABC，∠ACD2=∠ACD1=∠ACB，同理可得∠ABD5=∠ABC，∠ACD5=∠ACB，∴∠ABD5+∠ACD5=160×=5°，∴∠BCD5+∠CBD5=155°，∴∠BD5C=180-∠BCD5-∠CBD5=25°，故选B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题．4．如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的平分线交于点D2，以此类推，∠ABD2与∠ACD2的平分线交于点D，则∠BDC的度数是__．【答案】40°．【解析】【分析】根据题意可得∠ABC+∠ACB=160°，BD1，CD1，CD2，BD2…BDn，CDn是角平分线，可得∠ABDn+∠ACDn=160×（）n，可求∠BCDn+∠CBDn的值，再根据三角形内角和定理可求结果．【详解】∵∠A＝20°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝160°，∵BD1平分∠ABC，CD1平分∠ACB，∴∠ABD1＝∠ABC，∠ACD1＝∠ACD，∵BD2平分∠ABD1，CD2平分∠ACD1，∴∠ABD2＝∠ABD1＝∠ABC，∠ACD2＝∠ACD1＝∠ACB，同理可得∠ABD＝∠ABC，∠ACD＝∠ACB，∴∠ABD+∠ACD＝160°×＝20°，∴∠BCD+∠CBD＝140°∴∠BDC＝180﹣∠BCD﹣∠CBD＝40°故答案为40°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题．5．如图，，且和，则（

）A． B．C． D．不能确定，具体由三角形的形状确定【答案】B【解析】【分析】先在△ABC中，求出∠ABC和∠ACB的和，再利用∠1=∠2=∠3和∠4=∠5=∠6，求出∠DBC与∠DCB的和，从而得出∠BDC=140°，再根据△BCD中，点E就是三角形三个内角平分线的交点，由此求得结论即可．【详解】解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-120°=60°，∵∠1=∠2=∠3，∠4=∠5=∠6，∴∠DBC+∠DCB=40°，∴∠BDC=180°-40°=140°，∵∠2=∠3，∠5=∠6，∴DE平分∠BDC，∴∠BDE=∠BDC=70°．故选B．【点睛】此题考查三角形的内角和，角平分线的性质，三角形中三条内角的平分线交于一点是解本题的关键．类型二多个等分线求角进阶6．如图，若BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，也就是∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A＝72°，则∠BOC＝______°．【答案】144【解析】【分析】根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，求出∠OBC+∠OCB，然后根据三角形内角和定理求出∠BOC即可．【详解】解：∵∠A＝72°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣72°＝108°，∵∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×108°＝36°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣36°＝144°，故答案为：144．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，根据定理求出∠ABC+∠ACB以及∠OBC+∠OCB是解题的关键．7．如图，在四边形中，，，，则的度数为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】先求出∠CDE＋∠CBE，然后延长DC交BE于H，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可．【详解】解：延长DC交BE于点H，∵∠A＝∠BCD＝90°，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠CDN＋∠CBM＝180°，∵∠EDN＝n∠CDE，∠EBM＝n∠CBE，∴∠CDE＋∠CBE＝×180°＝，由三角形的外角性质得，∠BHD＝∠CDE＋∠BED，∠BCD＝∠BHD＋∠CBE，∴∠BCD＝∠CBE＋∠CDE＋∠BED，∴∠BED＝∠BCD−（∠CBE＋∠CDE）＝90°−，故选：A．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键，要注意整体思想的利用．8．如图，∠MON=90°，在△ABO中，∠ABC=∠ABN，∠BAD=∠BAO，则∠D=___°（用含n的代数式表示）．【答案】【解析】【分析】由三角形外角的性质可知∠D=∠ABC-∠BAD，把∠ABC=∠ABN，∠BAD=∠BAO代入整理即可求出结论.【详解】∵∠D=∠ABC-∠BAD，∠ABC=∠ABN，∠BAD=∠BAO，∴∠D=∠ABN-∠BAO=(∠ABN-∠BAO)，∵∠MON=∠ABN-∠BAO=90°，∴∠D=∠MON=()°，故答案为．【点睛】本题主要考查角平分线和外角的性质，熟练掌握三角形的外角性质和角平分线的性质是解题的关键．9．如图，已知△ABC中，∠A=60°，点O为△ABC内一点，且∠BOC=140°，其中O1B平分∠ABO，O1C平分∠ACO，O2B平分∠ABO1，O2C平分∠ACO1，…，OnB平分∠ABOn-1，OnC平分∠ACOn-1，…，以此类推，则∠BO1C=______°，∠BO2021C=______°．【答案】

100

【解析】【分析】先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．【详解】解：如图，，，，，，平分，平分，，，，，，，，同理可得：，，，，，，，归纳类推得：，其中为正整数，则，故答案为：100，．【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键．10．如图①，在中，若，则，叫做的三分线，其中，是邻的三分线，是邻的三分线．（1）如图②，在中，，，的三分线交于点，求的度数；（2）如图③，在中，是的邻三分线，是的邻三分线，且，垂足为，求的度数．【答案】（1）87°或101°；（2）45°【解析】【分析】（1）分为两种情况：当BD是“邻AB三分线”时，当BD′是“邻BC三分线”时，根据三角形的外角性质求出即可；（2）求出∠PBC+∠PCB=90°，根据BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线求出∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，求出∠ABC+∠ACB=135°，再求出∠A即可．【详解】解：（1）如图，当BD是“邻AB三分线”时，∵∠A=73°，∠B=42°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=73°+×42°=87°；当BD′是“邻BC三分线”时，∠BDC′=∠A+∠ABD′=73°+×42°=101°；（2）∵BP⊥CP，∴∠BPC=90°，∴∠PBC+∠PCB=90°，∵BP、CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，∴∠ABC+∠ACB=90°，∴∠ABC+∠ACB=135°，∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-135°=45°．【点睛】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用了分类讨论思想．11．（1）如图①在ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=α，则∠BOC=（用α表示）；如图②∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A=α，则∠BOC=（用α表示）扩展探究：（2）如图③，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=α，求∠BOC的度数（用α表示），并说明理由．【答案】（1），；（2），见解析【解析】【分析】（1）如图①，根据角平分线的定义可得，，然后表示出，再根据三角形的内角和等于列式整理即可得；如图②，根据三角形的内角和等于列式整理即可得；（2）如图③，根据三角形的内角和等于列式整理即可得；【详解】解：（1）如图①，与的平分线相交于点，，，，在中，，，，，；如图②，在中，，，，，；（2）如图③，在中，，，，，．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是运用整体思想的来解题．类型三综合解答12．【概念认识】如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．【问题解决】（1）如图②，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝45°，若∠B的三分线BD交AC于点D，求∠BDC的度数；（2）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC＝140°，求∠A的度数；【延伸推广】（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°（），∠B＝54°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）【答案】（1）95°或110°；（2）60°；（3）m°或m°或m°＋°或m°﹣18°【解析】【分析】（1）根据题意可得的三分线有两种情况，画图根据三角形的外角性质即可得的度数；（2）根据、分别是邻三分线和邻三分线，且可得，进而可求的度数；（3）根据的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．分四种情况画图：情况一：如图①，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时；情况二：如图②，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时；情况三：如图③，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时；情况四：如图④，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，再根据，，根据三角形外角性质，即可求出的度数．【详解】解：（1）如图，当BD是“邻AB三分线”时，；当BD是“邻BC三分线”时，；（2）在△BPC中，∵，∴，又∵BP、CP分别是邻BC三分线和邻BC三分线，∴，∴，∴，在△ABC中，，∴．（3）分4种情况进行画图计算：情况一：如图①，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，∴；情况二：如图②，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，∴；情况三：如图③，当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，∴；情况四：如图④，当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，；综上所述：的度数为：或或或．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握并灵活运用三角形的外角性质，注意要分情况讨论．13．（1）如图①，在锐角△ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分∠ACB，请分别写出∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系，并选择其中一个说明理由；（2）如图②，在锐角△ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分外角∠ACM，请分别写出∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系，并选择其中一个说明理由；（3）如图③，在锐角△ABC中，BD和BE三等分外角∠PBC，CD和CE三等分外角∠QCB，请分别直接写出∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系．【答案】（1）∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D＝60°+∠A，∠E＝120°+∠A，见解析；（2）∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D＝∠A，∠E＝∠A，见解析；（3）∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D＝60°﹣∠A，∠E＝120°﹣∠A，见解析.【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再利用三等分角求出∠EBC+∠ECB，然后列式计算即可求解；（2）根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和，列式计算即可；（3）根据三角形内角和、外角和定理，及平角定义，列式计算即可．【详解】（1）∠D＝60°+∠A，∠E＝120°+∠A．理由如下：∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BE三等分∠ABC，CE三等分∠ACB，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB，∴∠EBC+∠ECB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝60°﹣∠A，∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=120°-∠A，∴∠E＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣（60°﹣∠A）＝120°+∠A．∠D=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-（120°-∠A）=60°+∠A，答：∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D＝60°+∠A，∠E＝120°+∠A．（2）∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D＝∠A，∠E＝∠A．理由如下：∵BE三等分∠ABC，CE三等分外角∠ACM，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECM＝∠ACM，∠DBC=∠ABC，∠DCM=∠ACM，∴∠E＝∠ECM﹣∠EBC＝（∠ACM﹣∠ABC）＝∠A．∠D=∠DCM-∠DBC=（∠ACM﹣∠ABC）=∠A.答：∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D＝∠A，∠E＝∠A．（3）∠D＝60°﹣∠A，∠E＝120﹣∠A．理由如下：∵BE三等分外角∠PBC，CE三等分外角∠QCB，∴∠CBE＝∠CBP，∠BCE＝∠BCQ，∠CBD=∠CBP，∠BCD=∠BCQ，∴∠E＝180°﹣（∠CBP+∠BCQ）＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝18