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文档简介
完全平方式1.若x2+2kx+64是一个完全平方式,则k的值是()A.8 B. C.16 D.【答案】B【分析】根据完全平方式得出kx=±2•x•8,再求出k即可.【详解】解:∵x2+2kx+64是一个完全平方式,∴2kx=±2•x•8,解得:k=±8.故选:B.【点睛】本题考查了完全平方式,能熟记完全平方式的特点是解此题的关键,注意:完全平方式有两个:a2+2ab+b2和a2-2ab+b2.2.若多项式是完全平方式,则k的值为(
)A.8 B.-8 C.±8 D.32【答案】C【分析】先根据两平方项确定出这两个数,再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值.【详解】解:∵x2+kx+16=x2+kx+42,∴kx=±2×x×4,解得k=±8.故选:C.【点睛】本题主要考查了完全平方式,根据平方项确定出这两个数是解题的关键,也是难点,熟记完全平方公式是解题的关键.3.关于m、n的整式m2+kmn+9n2是完全平方式,则k的值为()A.6 B.-6 C.±6 D.±18【答案】C【分析】根据完全平方式的定义:形如的式子叫做完全平方式,进行求解即可【详解】解:∵关于m、n的整式m2+kmn+9n2是完全平方式,∴,故选C.【点睛】本题主要考查了完全平方式,熟知完全平方式的定义是解题的关键.4.若是完全平方式,则的值为(
)A.16b2 B.4b2 C.±8b2 D.±16b2【答案】A【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值.【详解】解:∵是完全平方式,∴,故选:A.【点睛】本题考查了完全平方式,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.5.如果x2﹣3x+k(k是常数)是完全平方式,那么k的值为()A.6 B.9 C. D.【答案】D【分析】根据完全平方公式解答即可.【详解】解:∵x2-3x+k(k是常数)是完全平方式,∴x2-3x+k=(x-)2=x2-3x+,∴k=.故选:D.【点睛】本题主要考查了完全平方公式的运用;其中两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免漏解.6.若代数式x2﹣16x+k2是完全平方式,则k等于()A.6 B.64 C.±64 D.±8【答案】D【分析】根据完全平方公式解答即可.【详解】解:∵x2﹣16x+k2是一个完全平方式,∴x2﹣16x+k2=x2﹣16x+64,∴k=±8.故选:D.【点睛】本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.此题解题的关键是利用平方项来确定这两个数.7.若多项式是一个完全平方式,则m的值为___________.【答案】36【分析】先根据乘积二倍项确定出这两个数是x和6,再根据完全平方公式求解即可.【详解】解:∵12x=2×6x,∴这两个数是x和6,∴m=62=36.故答案为:36.【点睛】本题是完全平方公式的应用,两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.此题解题的关键是利用乘积项来确定这两个数.8.若是完全平方式,则m=___________.【答案】【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值.【详解】解:∵,是完全平方式,∴,解得:.故答案为:【点睛】此题考查了完全平方式,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.9.若关于x代数式是完全平方式,则常数______.【答案】±1【分析】根据完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2求出m的值.【详解】解:∵x2±4x+4=(x±2)2,x2+4mx+4是完全平方式,∴±4x=4mx,∴m=±1.故答案为:±1.【点睛】本题考查了完全平方式,掌握a2±2ab+b2=(a±b)2的熟练应用,两种情况是求m值得关键.10.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.【答案】±8【分析】先根据两平方项确定出这两个数,再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值.【详解】解:∵x2-mx+16=x2-mx+42,∴m=±2×4,解得m=±8.故答案为:±8.【点睛】本题主要考查了完全平方式,根据平方项确定出这两个数是解题的关键,也是难点,熟记完全平方公式对解题非常重要.11.若x2+mx+4是完全平方式,则m=_____________.【答案】【分析】根据多项式x2+mx+2是完全平方式,可得:m=±2×1×2,据此求出m的值是多少即可.【详解】解:∵多项式x2+mx+4是完全平方式,∴m=±2×1×2=4.故答案为:±4.【点睛】本题主要考查了完全平方式,根据平方项确定出这两个数是解题的关键,也是难点,熟记完全平方公式对解题非常重要.12.若多项式4a2-ka+16是一个完全平方式,则k=_________;【答案】【分析】根据完全平方公式即可得.【详解】解:由题意得:,即,所以,故答案为:.【点睛】本题考查了完全平方公式,熟记公式是解题关键.三、解答题13.已知正实数x、y,满足(x+y)2=25,xy=4.(1)求x2+y2的值;(2)若m=(x﹣y)2时,4a2+na+m是完全平方式,求n的值.【答案】(1)17(2)±12【分析】(1)依据完全平方公式可知即可求解;(2)由题意可知m的值,再依据完全平方公式的特点可求n的值(1)∵,∴,∴=17.(2)∵,∴,∴是完全平方式,∴,∴,【点睛】本题考查了完全平方公式,关键在于要理解它的特征,灵活运用.14.如图a是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中实线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图b的形状拼成一个大正方形.(1)如图b中的小正方形的边长等于;(2)如图a中四个长方形的面积和为,如图b中四个小长方形的面积和还可以表示为;(3)由(2)写出代数式:(m+n)2,(m﹣n)2,mn之间的等量关系:;(4)根据(3)中的等量关系,解决如下问题:若x+y=8,xy=7,求(2x﹣2y)2的值.【答案】(1)m-n;(2)4mn;(m+n)2-(m-n)2;(3)(m+n)2-(m-n)2=4mn;(4)144【分析】(1)观察得到长为m,宽为n的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长;(2)根据长方形面积公式可求图a中四个长方形的面积和;可以用大正方形的面积减去先方形的面积得到图b中四个小长方形的面积和;(3)利用(2)可以得到(m+n)2-(m-n)2=4mn;(4)根据(3)的结论得到(2x-2y)2=4(x-y)2=4(x+y)2-16xy,然后把x+y=8,xy=7代入计算.【详解】解:(1)图b中的阴影部分的正方形的边长等于长为m,宽为n的长方形的长宽之差,即m-n;故答案为:m-n;(2)图a中四个长方形的面积和为4mn;图b中四个小长方形的面积和还可以表示为(m+n)2-(m-n)2;故答案为:4mn;(m+n)2-(m-n)2;(3)(m+n)2-(m-n)2=4mn;故答案为:(m+n)2-(m-n)2=4mn;(4)(2x-2y)2=4(x-y)2=4(x+y)2-16xy,当x+y=8,xy=7时,原式=256-112=144.【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景:利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式.15.学习整式乘法时,老师拿出三种型号卡片,如图.(1)利用多项式与多项式相乘的法则,计算:;(2)选取张型卡片,张型卡片,则应取张型卡片才能用他们拼成一个新的正方形,此新的正方形的边长是(用含,的代数式表示);(3)选取张型卡片在纸上按图的方式拼图,并剪出中间正方形作为第四种型卡片,由此可检验的等量关系为;(4)选取张型卡片,张型卡片按图的方式不重复的叠放长方形框架内,已知的长度固定不变,的长度可以变化,且.图中两阴影部分(长方形)的面积分别表示为,,若,则与有什么关系?请说明理由.【答案】(1);(2)4,;(3);(4),见解析.【分析】(1)利用多项式乘以多项式法则解题;(2)利用完全平方公式解题;(3)由图可知型卡片的面积为,是一个边长为的正方形的面积减去张型卡片的面积,即,据此得到等量关系;(4)根据图形列等量关系,,再结合计算解题即可.【详解】解:(1),故答案为:;(2)取张型卡片,张型卡片,面积之和为:,由完全平方公式的几何背景可知,一个正方形的面积可以表达成一个完全平方公式,即,故应取4张型卡片能拼成一个新的正方形,此正方形的边长为:,故答案为:4,;(3)选取张型卡片在纸上按图的方式拼图,由图可知,型卡片是一个边长为的正方形,也可以是一个边长为的正方形,减去张型卡片的面积,即,即得到等量关系:,故答案为:;(4)设MN的长度为x,或(舍去).【点睛】本题以数形结合的方式巧妙考查了完全平方公式的几何背景,题目新颖独特,掌握相关知识是解题关键.16.如图1,正方形纸片ABCD的边长为4,点E、F、M、N分别是正方形纸片四条边上的点,且AE=BF=CM=DN,(1)求证:四边形EFMN是正方形;(2)把图1的四个直角三角形剪下来,拼成如图2所示的“赵爽弦图”(由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形).若EN=,求中间小正方形的面积.【答案】(1)见解析;(2)中间小正方形QHGR的面积为4.【分析】(1)通过证明△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE(SAS),先得出四边形EFMN是菱形,再证明四边形EFMN中一个内角为90°,从而得出四边形EFMN是正方形的结论;(2)设直角三角形中较小边长为a,较长的边为b,则小正方形QHGR的边长QH=b-a,a+b=4,进而得到a2+b2+2ab=16,小正方形QHGR的面积为(b-a)2=a2+b2-2ab,由勾股定理求出a2+b2,进而得到2ab,代入即可求得结果.【详解】(1)证明:如图1∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∵AE=BF=CM=DN,∴AN=DM=CF=BE,∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,∴△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE(SAS),∴EN=NM=MF=EF,∠ENA=∠DMN,∴四边形EFMN是菱形,∵∠ENA=∠DMN,∠DMN+∠DNM=90°,∴∠ENA+∠DNM=90°,∴∠ENM=90°,∴四边形EFMN是正方形;(2)解:∵△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE,∴EF=FM=MN=NE,EH=FG=MR=NQ,如图2,设正方形EFMN的边长EF=FM=MN=NE=c,EH=FG=MR=NQ=b,EQ=FH=MG=NR=a,则小正方形QHGR的边长QH=b﹣a,∴小正方形QHGR的面积为(b﹣a)2=a2+b2﹣2ab,∴由勾股定理得:a2+b2=c2=EN2=10,∵正方形ABCD的边长为4,∴a+b=4,∴a2+b2+2ab=16,∴2ab=16﹣(a2+b2)=6,∴中间小正方形QHGR的面积为10﹣6=4.【点睛】此题考查了勾股定理,正方形的性质,全等三角形的性质和判定等知识点,正确理解题意,会利用勾股定理解题是解决问题的关键.17.阅读下面的材料,然后解答后面的问题:在数学中,“算两次”是一种常用的方法.其思想是,对一个具体的量用方法甲来计算,得到的答案是A,而用方法乙计算则得到的答案是B,那么等式A=B成立.例如,我们运用“算两次”的方法计算图1中最大的正方形的面积,可以得到等式(a+b)2=a2+2ab+b2.理解:(1)运用“算两次”的方法计算图2中最大的正方形的面积,可以得到的等式是;应用:(2)七(1)班某数学学习小组用8个直角边长为a、b的全等直角三角形拼成如图3所示的中间内含正方形A1B1C1D1与A2B2C2D2的正方形ABCD,运用“算两次”的方法计算正方形A2B2C2D2的面积,可以得到的等式是;拓展:如图4,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,点D是AB上一动点.求CD的最小值.【答案】(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;(2)(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab;拓展:4.8【分析】(1)利用“算两次”方法,先从整体上看是边长为(a+b+c)的正方形的面积,再利用9块“分面积”的和即可;(2)正方形A2B2C2D2的边长为(a﹣b),因此面积为(a﹣b)2,也可以看做边长为(a+b)的正方形ABCD面积减去四个长为a,宽为b的长方形的面积;(3)当CD⊥AB时,CD最短,由三角形的面积计算可得.【详解】解:(1)从整体上看为边长为(a+b+c)的正方形,所以面积为(a+b+c)2,从各个部分的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;(2)正方形A2B2C2D2的边长(a﹣b),因此面积为(a﹣b)2,也可以看做边长为(a+b)的正方形ABCD面积减去四个长为a,宽为b的长方形的面积,即(a+b)2﹣4ab,因此有:(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab;由“直线外一点到直线上所有点的连线中,垂线段最短”可得,当CD⊥AB时,CD最短,由三角形的面积可得,AC•BC=AB•CD,即6×8=10CD,∴CD=4.8,答:CD的最小值为4.8.
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