材料非线性有限元讲义

第三章材料非线性

有限元分析1非线性弹性问题的有限单元法2弹塑性问题的有限单元法2000.41哈尔滨建筑大学王焕定教授制作1非线性弹性问题的有限单元法

前提：材料处于弹性状态，但是应力-应变关系是非线性的。位移和应变是微小的。因此象线性问题一样，设位移和应变分别为则全量形式的应力为增量形式的应力为2000.42哈尔滨建筑大学王焕定教授制作同线性问题分析一样，可得单元刚度方程为进行先处理（定位向量）集成，可得与线性问题不同，上式是非线性的方程组，因此要用第一章介绍的方法来求解。1）切线刚度法——牛顿法集成非线性方程用牛顿法求解时，切线刚度矩阵为(这里认为)2000.43哈尔滨建筑大学王焕定教授制作经整体集成后，可得整体切线刚度矩阵，由此可建立（自修正的）牛顿法迭代公式为式中Rn是应力σn引起的结点力，因此其中σn为第n步位移对应的非线性单元应力。讲义上列出切线刚度法分析的计算步骤，这里不再赘述。(P.22)因为R-Rn物理含义是不平衡力，所以牛顿法也可理解为按不平衡力修正位移，使不平衡力足够小。表示集成2000.44哈尔滨建筑大学王焕定教授制作

5)由式（3．6）进行迭代，直到满足精度要求。从此可得切线刚度法的计算步骤为：1）设=，求线弹性解；2）由求各单元的应变、应力；3）从计算单元切线刚度矩阵并集装；4）计算并集装；2000.45哈尔滨建筑大学王焕定教授制作2）应力转移、初应力法——修正牛顿法为避免每次迭代形成切线矩阵并求解，以初始切线矩阵（即线弹性的刚度矩阵）迭代，则这相当于按弹性刚度分配不平衡力。迭代的过程就是不断调整个单元的应力，使刚度弱的单元不能承受的应力逐渐转移到刚度大的单元或边界上，因此也称为“应力转移法”。它先求位移修正值，然后求下一迭代步的位移。因为初始切线刚度矩阵，故表示集成2000.46哈尔滨建筑大学王焕定教授制作式中是第n步非线性位移对应的弹性应力。由此从修正牛顿法迭代公式可得因为非线性应力所以若将视作“初应力”，并记则表示集成它是不断修改初应力，使趋于一常量（弹性应力和真实应力之差）。因此也称初应力法。2000.47哈尔滨建筑大学王焕定教授制作4）由(3．8)求，反复迭代，直到足够小。从讲始义式贱（膨3．虑8）达可得冶初应讲力法貌的计油算步布骤为袜：1）

由集装初始切线刚度矩阵；2）由求线弹性的解；3）

由计算各单元的，并集装；20徐00会.48哈尔撒滨建斧筑大遣学恨王的焕定宰教授斯制作又设背第n步单第元非捐线性行应力崭对应生的弹性垂应变为则非也线性哭的应快变可向表为残余宵(初捏)应挺变式中也可视作“初应变”，由上式可得因此火单元仪刚度搂方程裹为有些询问题原的本哈构关颠系是患用应前力表榨示应谱变,权即3）斜初应放变法叙——宅修正碑牛顿员法20姻00悲.49哈尔裤滨建鸭筑大碍学路王扰焕定拥教授意制作也即极初应窗变可右作为铅等效叹结点张荷载驴考虑由此木，象漂初应宜力法中一样端，可宫得迭夺代公置式为因为支它是啄不断聪修改粱初应门变，咽使趋依于一屈常量缓（总仓应变谅和弹谈性应妥变之的差）驶。因阵此也期称初应叫变法。其新求解迷步骤辉如下页所示醉。表示局集成为了粱更好苹地掌凡握上打述知免识，曾讲义网上举被了一决个简汗单例侵子，听用以何说明夜切线古刚度浪法和质初应妻力法书。20物00概.410哈尔佩滨建冷筑大桑学去王艰焕定惭教授殖制作初应牵变法景的计母算步介骤为链：1）由集装初始切线矩阵；2）由求线弹性的解；3）计算单元线弹性应变和单元初应变；4）

由集装;5）由（3．8）求;迭代直到很小。20而00楼.411哈尔诸滨建者筑大健学仙王享焕定翠教授取制作为了莲更好萄地理梨解，蚀这一聋例子揪各种栽方法姜的示衬意图奔如下眨所示妈。20欧00斤.412哈尔妹滨建计筑大浅学月王植焕定走教授黑制作20拢00讽.413哈尔倾滨建嫩筑大傍学臂王踢焕定雀教授杆制作20锁00率.414哈尔商滨建兴筑大首学测王闭焕定济教授校制作20忘00惑.415哈尔颜滨建炭筑大巷学内王蛮焕定博教授短制作20呜00铸.416哈尔拐滨建敌筑大区学映王铁焕定绣教授振制作2锻弹塑幕性问件题的夺有限酱单元熟法材料衣应力凯应变绸非线思性、缝岩土互工程踢的开及挖和魔施工退过程企等对够结果猾有重兰大影秩响的革问题客，都娱必须授用增献量法萝来求伯解。在增盒量荷棋载ΔRm作用庸下，士位移霜、应牲力、削应变代和内剑变量仰等的投增量环分别冷为下一洁步迭的代时仅的荷逮载水男平为设m迭代概步的揭结果管已知乞，位帜移、情应力竹、应棍变和吩内变滔量等危分别职记作20希00都.417哈尔寇滨建漏筑大家学新王琴焕定岛教授债制作由于显所讨堂论的哲是小巩变形心问题馅，因寻此或对弹军塑性网问题绘，本志构关若系为也即单元增量应变为。象弹性问题一样，第m+1步单元刚度方程为弹性斗矩阵塑性拐矩阵弹塑肯性矩俊阵精确匠解时20比00望.418哈尔畜滨建燃筑大撞学卫王桐焕定咸教授桨制作因此砌应力弟增量够为由于吵在ΔRm作用侍前后震，单粗元高券斯积疾分点戴的应难力状趴态可余能是顺弹性句，也烘可能寻是塑弓性。艰因此忆首先项得解钢决状添态判员别问胜题。基于歉此，格由单黄元集挠成可狠得整难体非荐线性政方程近为在第爱二章稻已讨分论了疗应变欲空间评的加删、卸厨载的队规则璃，它忍们是20墨00榴.419哈尔话滨建金筑大酱学钓王咸焕定乳教授梅制作为进芒一步排讨论萍状态酱判别疯，设掘在荷僵载Rm作用慈下应出力和淡内变苦量对炒应一赶弹性图状态离，也桶即其几源何解树释为缓：弹性庸应力朽增量指向敲屈服进面内立侧或叶相切恨时，益反应鸡是弹配性的劫。否屑则是井塑性忍加载朽，反蚊应是牵弹塑闭性的强。增加屈荷载ΔRm后，硬转入川塑性强状态顽，即弹性偿应力弹性全应力20界00安.420哈尔乳滨建屠筑大成学悦王腐焕定耍教授再制作也可繁由下略式线奶性内供插确白定因此仓可用惰下式谢确定往中性反变载体点处棉弹、悲塑性芒部分躬的比启例因律子r基于甘此，边加荷妖载ΔRm后，垒应力鱼增量粒为弹性荒应力转图20泼00归.421哈尔蚂滨建确筑大腿学黄王亡焕定底教授诵制作当ΔRm足够捏小时烈(Δεm足够票小)派，上初式可秒写为跳转式中Dp是按计算的塑性矩阵。当r=1时，隔反应室是纯抵弹性穿的，睬可以宪是弹缠性到忧弹性求、塑户性卸闪载到优弹性猜或中累性变氧载。当r=0时，航应力声应变骡是塑门性的维，是凳弹性帐到塑旗性的值加载貌。0勇<r<1时，节应力酷应变呼是弹应塑性命的。转图讲义悉上给把出了吗由应哄变求属应力面的计厅算步灯骤，较可供叼编程稀时参拥考。傍(P.迫31邻)弹性猪应力20钳00吉.422哈尔四滨建知筑大提学远王幅焕定抄教授地制作弹性弹性塑性fmfm+1弹性转18有状翁态改淋变无状习态改覆变弹性塑性由中蜜性状盖态改绢变到找塑性20光00测.423哈尔办滨建惭筑大白学朗王剖焕定服教授叨制作解决茶了由贿应变幅求应雅力的灭计算苗，下池面再饿解决狠弹塑兵性问剧题非冒线性慈方程神组求蝇解问育题。将其携代入验单元厨刚度乳方程崖，可溉得首先，以下的弹塑性矩阵代替增量应力应变关系中的，也即有“线性关系”进行整体集成，可得（认为）集成20用00向.424哈尔狭滨建泪筑大窝学