等腰三角形和直角三角形

第十七讲

等腰三角形和直角三角形一、等腰三角形定义有_____相等的三角形性质轴对称性等腰三角形是轴对称图形，___________________________________________________是它的对称轴定理1.等腰三角形的两个底角_____(简称：___________)2.等腰三角形顶角_______、底边上的中线和底边上的___相互重合(简称“三线合一”)底边上的中线(或底边上的高或顶角平分线)所在的直线相等等边对等角平分线高两边判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也_____(简写为“___________”)相等等角对等边二、等边三角形定义_____相等的三角形性质1.等边三角形的三个内角都_____，并且每一个角都等于_____2.等边三角形是轴对称图形，并且有___条对称轴判定1.三个角都_____的三角形2.有一个角是60°的_____三角形三边相等60°三相等等腰三、线段的垂直平分线1.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_____.2.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的___________上.相等垂直平分线四、直角三角形的性质与判定性质(1)直角三角形的两个锐角_____(2)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的_____(3)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的_____判定(1)定义法：有一个角是_____的三角形(2)两个内角_____的三角形(3)如果三角形一边上的中线等于这条边的_____，那么这个三角形为直角三角形互余一半一半直角互余一半五、勾股定理及逆定理1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么________.2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足________，那么这个三角形是直角三角形.a2+b2=c2a2+b2=c2六、命题、定理1.互逆命题：如果两个命题的_____和_____正好相反，我们把这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______.2.互逆定理：若一个定理的逆命题是正确的，那么它就是这个定理的逆定理，称这两个定理为_____定理.题设结论逆命题互逆【自我诊断】(打“√”或“×”)1.轴对称图形的对称轴是对应点连线的垂直平分线.()2.三角形纸片上有一点P，量得PA=3cm，PB=3cm，则点P一定在边AB的垂直平分线上.()√√3.等腰三角形的一边为3，另一边为8，则这个三角形的周长为14或19. ()4.等腰三角形的底角取值范围是：0°<底角<90°. ()5.“等边对等角”和“等角对等边”不适用于等边三角形.()×√×6.有一个角是60°的三角形是等边三角形.()7.等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为.()×√8.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边上的中线. ()9.三角形的三边长a，b，c满足2ab=(a+b)2-c2，则此三角形是直角三角形. ()10.一个定理的逆命题，称为这个定理的逆定理.()√√×11.如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是115°.()√考点一等腰三角形的性质与判定【示范题1】(2017·内江中考)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形.【思路点拨】直接利用平行线的性质得出∠ADE=∠CAD，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出∠B=∠BDE，即可得出答案.【自主解答】∵DE∥AC，∴∠1=∠3.∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∵AD⊥BD，∴∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°.∴∠B=∠BDE.∴△BDE是等腰三角形.【答题关键指导】运用等腰三角形性质的两个技巧(1)有底边中线(高线、角平分线)，优先考虑“三线合一”；无底边中线(高线、角平分线)，一般要用“等边对等角”.(2)用“等边对等角”求角的度数，若推理条件不足，往往需要设未知数列方程.【跟踪训练】(2018·青岛中考)如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点.沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕与BC交于点F.已知EF=，则BC的长是 (

)A. B. C.3 D.3

【解析】选B.∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，∴∠B=∠EAF=45°，∴∠AFB=90°，∵点E为AB中点，∴EF=AB，EF=，∴AB=AC=3，∵∠BAC=90°，∴BC==3.考点二等边三角形的性质与判定【示范题2】(2018·福建中考)如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于 (

)A.15° B.30° C.45° D.60°【思路点拨】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论.【自主解答】选A.∵在等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵∠EBC=45°，∴∠ECB=45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°.【答题关键指导】活用等边三角形的性质等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于60°的结论，所以要充分利用这些隐含条件，证明全等或者构造全等.【跟踪训练】(2017·攀枝花中考)如图，D是等边△ABC边AB上的点，AD=2，BD=4.现将△ABC折叠，使得点C与点D重合，折痕为EF，且点E，F分别在边AC和BC上，则

=_______.

【解析】由题易知∠A=∠B=∠EDF=60°，∴∠AED=∠FDB，∴△AED∽△BDF，∴=，由翻折易知EC=ED，FC=FD，∴=，∴=.答案：

考点三线段垂直平分线的性质与判定【示范题3】(2018·常德中考)如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC=90°，AD=3，则CE的长为(

)A.6 B.5 C.4 D.3

【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠C=∠DBC=∠ABD=30°，根据直角三角形的性质解答.【自主解答】选D.∵ED是BC的垂直平分线，∴DB=DC，∴∠C=∠DBC，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴BD=2AD=6，∴CE=CD×cosC=3.【答题关键指导】线段垂直平分线的应用特征(1)线段垂直平分线中的两组线段相等：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；②被垂直平分的线段，被分为两条相等的线段.(2)当出现“垂直平分”字眼或题目中有垂直，且垂足是中点时，要联想到线段垂直平分线的性质.【跟踪训练】(2018·襄阳中考)如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E.若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为 (

)A.16cm B.19cm C.22cm D.25cm【解析】选B.由题意知MN垂直平分AC，则CE=AE=3；因D是AC垂直平分线上一点，∴CD=AD.∴AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13(cm).∴AB+BC+AC=13+6=19(cm).考点四利用勾股定理求线段的长度【考情分析】利用勾股定理进行计算是中考命题的一个热点，这类题常与正方形网格、平面直角坐标系、折叠、旋转、实际问题相结合.【示范题4】(2018·黄冈中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=(

)A.2 B.3 C.4 D.2

【思路点拨】根据直角三角形的性质得出AE=CE=5，进而得出DE=3，利用勾股定理解答即可.【自主解答】选C.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，∴CE=AE=5，又∵AD=2，∴DE=AE-AD=5-2=3，∵CD为AB边上的高，∴∠CDE=90°，∴△CDE为直角三角形∴CD===4.命题角度1：运用勾股定理进行几何图形的计算或证明【示范题1】(2016·益阳中考)在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积.某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.【思路点拨】根据题意利用勾股定理表示出AD2的值，进而得出等式求出答案.【自主解答】在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，设BD=x，则CD=14-x，由勾股定理得：AD2=AB2-BD2=152-x2，AD2=AC2-CD2=132-(14-x)2，故152-x2=132-(14-x)2，解之得：x=9.∴AD=12.∴S△ABC=BC·AD=×14×12=84.命题角度2：运用勾股定理求点的坐标【示范题2】(2016·台州中考)如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是 (

)A.

B.

C.

D.【思路点拨】直接利用勾股定理得出OC的长，进而得出答案.【自主解答】选B.如图所示：连接OC，由题意可得：OB=2，BC=1，则AC==，故点M对应的数是：.【答题关键指导】运用勾股定理解决问题两注意(1)题中有直角三角形可直接用，题中无直角三角形需要作垂线构造直角三角形.(2)直角三角形两边已知可直接用，两边未全知需要设未知数列方程.【跟踪训练】1.(2018·襄阳中考)已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为________.

【解析】①如图，由勾股定理得，AC=2，∴AB=2AC=4，∴BD=3，BC=2.②如图，由勾股定理得，AC=2，∴AB=2AC=4，∴BD=5，BC=2.∴BC的长为2或2.答案：2或2

2.(2018·荆州中考)为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1.通过计算可得

+1______.(填“>”或“<”或“=”)【解析】由BC=3，D在BC上且BD=AC=1得DC=2，在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=，同理得AB=，在△ABD中，由构成三角形的条件得AD+BD>AB，即

+1>.答案：>考点五勾股定理的逆定理【示范题5】(2018·曲靖中考)如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是

.

【思路点拨】利用中位线求得AC的长，再利用勾股定理的逆定理确定为直角三角形，从而求得CD的长，进而得到答案.【自主解答】由于DE是△ABC的中位线，所以AC=5，由于AB=13，BC=12，52+122=132，因此△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD是斜边AB的中线，因此CD=AB÷2=6.5，而AD=6.5，AC=5，所以△ACD的周长是6.5+6.5+5=18.答案：18【答题关键指导】判定直角三角形的两种方法(1)当已知条件是“三条边”或三边的比时，利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形.(2)如果三角形某一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.【跟踪训练】1.下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是 (

)A.3，4，4 B.3，4，5C.3，4，6 D.3，4，7【解题指南】在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形，依此求解即可.【解析】选C.A.因为32+42>42，所以三条线段能组成锐角三角形，不符合题意；B.因为32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形，不符合题意；C.因为3+4>6，且32+42<62，所以三条线段能组成钝角三角形，符合题意；D.因为3+4=7，所以三条线段不能组成三角形，不符合题意.2.下列各组线段能构成直角三角形的一组是(

)A.30，40，50 B.7，12，13C.5，9，12 D.3，4，6【解析】选A.A.∵302+402=502，∴符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；B.∵72+122≠132，∴不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；C.∵52+92≠122，∴不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；D.∵32+42≠62，∴不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；故选A.考点六命题、定理及逆定理【示范题6】(2018·重庆中考B卷)下列命题是真命题的是 (

)A.如果一个数的相反数等于这个数本身，